1、中考數(shù)學壓軸題專題圓與相似的經(jīng)典綜合題附答案解析一、相似1.如圖，在等腰RtABC中，O為斜邊AC的中點，連接BO,以AB為斜邊向三角內(nèi)部作RtAABE,且/AEB=90,連接EO.求證:(1) /OAE=/OBE;(2) AE=BEhOE.【答案】（1）證明：在等腰RtAABC中，O為斜邊AC的中點, OBXAC,/AOB=90； /AEB=90, .A,B,E,O四點共圓,/OAE=ZOBE(2)證明：在AE上截取EF=BE5則EFB是等腰直角三角形,二隹,/FBE=45,在等腰RtAABC中，O為斜邊AC的中點,/ABO=45；/ABF=ZOBE,AB班BE.ABFABOE,Af儀,=二

2、，AF=,OE,.AE=AF+EF，AE=BE+OE.【解析】【分析】(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)，可證得/AOB=/AEB=90,可得出A,B,E,。四點共圓，再利用同弧所對的圓周角相等，可證得結(jié)論。(2)在AE上截取EF=BE易證EFB是等腰直角三角形，可得出BF與BE的比值為正，再證明/ABF=/OBE,AB與BO的比值為，工，就可證得AB、BO、BF、BE四條線段成比例，然后利用兩組對應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩三角形相似，可證得ABFsBOE,可證得AF=kOE,由AE=AF+EF可證得結(jié)論。2 .如圖1,在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,E、F分別是AB.BD的中點，連接

3、EF,點P從點E出發(fā)，沿EF方向勻速運動，速度為1cm/s,同時，點Q從點D出發(fā)，沿DB方Q也停止運動.連接PQ,設(shè)運動時間向勻速運動，速度為2cm/s,當點P停止運動時，點為t(0vtv4)s,解答下列問題：(1)求證：BEFDCB;(2)當點Q在線段DF上運動時，若4PQF的面積為0.6cm2,求t的值；(3)如圖2過點Q作QGXAB,垂足為G,當t為何值時，四邊形EPQG為矩形，請說明理由;更備用更(4)當t為何值時，4PQF為等腰三角形？試說明理由.【答案】(1)解：證明：四邊形隨工是矩形，;&二BC=8,AD#BC,-R-901在Ri中,BD組丁尼分別是必/的中點，113SAm=-P

4、f7x-r)X-(5-2t)-a6f*以甘q-MI二EFADfEF-/D-4,BF=DF-5,:ZBEF=ZA=909=占BJ：NBFE=甌(2)解：如圖1,過點作戰(zhàn)上吁于必，(舍)或，秒(3)解：四邊形承優(yōu)為矩形時，如圖所示:解得：3(4)解：當點|在，1上時，如圖2,尸尸防當點6在的上時，F(xiàn)F=0F,|如圖3,二I=3.此時，如圖4,20件時，如圖5,196(-3,0)、B(1,0),與y軸交于點D(0,3),過頂點C作CHIx軸于點H.(2)連結(jié)AD、CD,若點E為拋物線上一動點(點綜上所述，f，或|3或7或6秒時，色/豺是等腰三角形.【解析】【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可證得AD/BC

5、,/A=/C,根據(jù)中位線定理可證得EF/AD,就可得出EF/BC,可證得/BEF土C,/BFE土DBC,從而可證得結(jié)論。(2)過點Q作QMLEF,易證QM/BE,可證得QMFsBEF,得出對應(yīng)邊成比例，可求出QM的值，再根據(jù)4PQF的面積為0.6cm2,建立關(guān)于t的方程，求解即可。(3)分情況討論：當點Q在DF上時，如圖2,PF=QF當點Q在BF上時，PF=QF,如圖3;PQ=FQ時，如圖4;PQ=PF時，如圖5,分別列方程即可解決問題。3 .在平面直角坐標系中，拋物線-,b工+e6H勿與上軸的兩個交點分別為AE與頂點C不重合)，當4ADE與ACD面積相等時，求點E的坐標；P向CD所在的直線作

6、垂(3)若點P為拋物線上一動點(點P與頂點C不重合)，過點線，垂足為點Q,以P、CQ為頂點的三角形與4ACH相似時，求點P的坐標.【答案】(1)解：設(shè)拋物線的解析式為丫=d/.卜工+匚自拋物線過點A(-3,0),B(1,0),D(0,3),9a-3bc=Cab*w=G-11,解得，a=-1,b=-2,c=3,.拋物線解析式為卜二上43,頂點C(-1,4);(2)解：如圖1,A(-3,0),D(0,3),，直線AD的解析式為y=x+3,設(shè)直線AD與CH交點為F,則點F的坐標為（-1,2），CF=FH分別過點C、H作AD的平行線，與拋物線交于點E,由平行間距離處處相等，平行線分線段成比例可知，AD

7、E與ACD面積相等，直線EC的解析式為y=x+5,直線EH的解析式為y=x+1,y-x-f-5/y-xI分別與拋物線解析式聯(lián)立，得lr=F一+j,i=/213,-3十一.十31r-1-（，-）f，9解得點E坐標為（-2,3）,?1，二：；（3）解：若點P在對稱軸左側(cè)（如圖2）,只能是CPgACH,得/PCQ=ZCAH,PQCM而一疝,?分別過點C、P作x軸的平行線，過點Q作y軸的平行線，交點為M和N,由CQMsQPN,PQPNQN,=2,/MCQ=45,設(shè)CM=m,則MQ=m,PN=QN=2m,MN=3m,，P點坐標為(-m-1,4-3m),將點P坐標代入拋物線解析式，得-仙，+2向71+3=

8、-Ju,解得m=3,或m=0(與點C重合，舍去).P點坐標為(-4,-5);若點P在對稱軸右側(cè)(如圖)，只能是PCMACH,得/PCQ=ZACH,PQAH.CQ延長CD交x軸于M,M(3,0)N,PQCQFMCM/MCH=45；CH=MH=4.MN=FN=2,.F點坐標為(5,2),直線CF的解析式為y=聯(lián)立拋物線解析式，得綜上所得，符合條件的【解析】【分析】(P點坐標為(-4,-5),(,解得點p坐標為(35).1)將A(-3,0)、B(1,0)、D(0,3),代入38W),y=ax2+bx+3求出即可；(2)求出直線AD的解析式，分別過點C、H作AD的平行線，與拋物線交于點E,利用ADE與

9、4ACD面積相等，得出直線EC和直線EH的解析式，聯(lián)立出方程組求解即可;(3)(3)分兩種情況討論：點P在對稱軸左側(cè)；點P在對稱軸右側(cè).M、4.如圖1,ABC與4CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，連接AE、BD.BB(1)請直接寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系;MP、寫出(2)現(xiàn)將圖1中的4CDE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)a(0aCD,AD=AB+CD(1)利用尺規(guī)作/ADC的平分線DE,交BC于點E,連接AE(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)在(1)的條件下，證明：AEDE;若CD=2,AB=4,點M,N分別是AE,AB上的動點

10、，求BM+MN的最小值?！敬鸢浮?2)證明：在AD上取一點F使DF=DC,連接EF,.DE平分/ADC,/FDE=ZCDE,在FED和CDE中，DF=DQ/FDE=ZCDE,DE=DE.FEDACDE(SAS,，/DFE=/DCE=90,/AFE=180-2DFE=90/DEF=ZDEC,.AD=AB+CD,DF=DQ.AF=AB,在RtAAFERtAABE(HL)/AEB=ZAEF,Ill/AED=ZAEF+ZDEF=-/CEF+-/BEF(/CEFtZBEF)=90。AEXDE解：過點D作DP,AB于點巳 由可知，B,F關(guān)于AE對稱，BM=FM, .BM+MN=FM+MN,當F,M,N三點

11、共線且FNAB時，有最小值, .DPIAB,AD=AB+CD=6/DPB=ZABC=ZC=90；四邊形DPBC是矩形, .BP=DC=2,AP=AB-BP=2在RtAAPD中，DP=Alf-AP=入目, .FNXAB,由可知AF=AB=4, .FN/DP, .AFNsMDPAFFAD川,4FN卜=即呂.卓,叫解得FN=3,及BM+MN的最小值為3【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分的做法即可畫出圖.（2）在AD上取一點F使DF=DC,連接EF;角平分線定義得/FDE=ZCDE;根據(jù)全等三角形判定SAS得FEDACDE再由全等三角形性質(zhì)和補角定義得/DFE=/DCE=ZAFE=90；/DEF=/DE

12、G再由直角三角形全等的判定HL得RtAFRtAABE：,由全等三角形性質(zhì)得ZAEB=ZAEF,再由補角定義可得AEDE.過點D作DP,AB于點P;由可知，B,F關(guān)于AE對稱，根據(jù)對稱性質(zhì)知BM=FM,當F,M,N三點共線且FNAB時，有最小值，即BM+MN=FM+MN=FN;在RtAPD中，根據(jù)勾股定理得DP=4一套=M;由相似三角形判定得AFNsADP,再由相似三AF4角形性質(zhì)得和加，從而求得FN,即BM+MN的最小值.7.在平面直角坐標系中，直線-與x軸交于點B,與y軸交于點C,二次函數(shù),-Jr小bn卓c的圖象經(jīng)過點B,C兩點，且與x軸的負半軸交于點A,動點D在直線BC下方的二次函數(shù)圖象上

13、.*j（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）如圖1,連接DC,DB設(shè)4BCD的面積為S求S的最大值；（3）如圖2,過點D作DMLBC于點M,是否存在點D,使得4CDM中的某個角恰好等于/ABC的2倍？若存在，直接寫出點D的橫坐標；若不存在，請說明理由./F雷-jy【答案】(1)解：直線2”，當1心時，f二；當r-d時,的圖象經(jīng)過瓦兩點,.二次函數(shù)二次函數(shù)的表達式為:(2)解：過點舊作班乂軸于點E,交及于點,過點f作8上班于點G,其中0a，77P3？FD=-a-2-(-ra-2)-（3）連接BG,過點A作AHBC,由（2）知/AEB=/ANC,四邊形ABED是平行四邊形，.-.AB=DE.DF/CN,

14、，/ADF=/ANC,./AEB=/ADF,，tan/AEB=tan/ADF=4,DG平分/ADC,./ADG=/CDG.AD/BC,/ADG=/CED,/NDC=/DCE./ABO/NDC,./ABC=/DCE.AB/DG,./ABC=/DEC,/DEC=ZECD=ZEDC,工DE是等邊三角形，.AB=DE=CE,:/GBC=ZGDC=60；/G=/DCB=60；.ABGE是等邊三角形，BE=GE=553.tanZAEB=tan/ADF=4J3,設(shè)HE=x，貝UAH=4/3x.,ZABE=ZDEC=60,，/BAH=30：.BH=4x,AB=8x,-4x+x=53,解得：x=73,，AB=8

15、/3,HB=473AH=12,EC=DE=AB=8V3,HOHE+EG百8石=9m.在RRAHC中，ac=Jah2hc2122（9萬）2=3而.AC作直徑AP,連接CP,ZACP=90,/P=/ABC=60,.sin/P=,APAPACsin60343、32屈9,，。的半徑是VT29.11.已知：如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線BD上，以O(shè)D的長為半徑的。與AD,BD分別交于點E、點F,且/ABE=/DBC.（1）判斷直線BE與。O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;（2）若sin/ABE=3,CD=2,求。的半徑.【答案】（1）直線BE與。O相切，證明見解析；（2）。的半徑為叵.2【解析】分析：

16、（1）連接OE,根據(jù)矩形的性質(zhì)，可證/BEO=90。，即可得出直線BE與OO相切；（2）連接EF,先根據(jù)已知條件得出BD的值，再在BEO中，利用勾股定理推知BE的長，設(shè)出。的半徑為r,利用切線的性質(zhì)，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值.詳解：（1）直線BE與。O相切.理由如下：連接OE,在矢巨形ABCD中，AD/BC,./ADB=/DBC. OD=OE,ZOED=ZODE.又/ABE=/DBC,ZABE=ZOED, 矩形ABDC,/A=90,ZABE+/AEB=90,ZOED+ZAEB=90；/BEO=90；.直線BE與。O相切；(2)連接EF,方法1:,四邊形ABCD是矩形，CD=2,.,

17、./A=/C=90：AB=CD=2. ZABE=ZDBC,.sinZCBD=sinABEDCBDsinCBD在RtAAEB中，CD=2,.BCDC.tanZCBD=tanZABE,一八BCAEAB2.2由勾股定理求得BE、.6.在RtBEO中，/BEO=90,EO2+eB?=OB2.設(shè)OO的半徑為r,則r2（J6）2（2，3r）2,r=,2方法2：DF是。的直徑，./DEF=90.四邊形ABCD是矩形，.1.ZA=ZC=90,AB=CD=2.一.3ZABE=ZDBC,.SinZCBD=sinABE.3設(shè)DCx,BD辰，則BCV2x.CD=2,BC272DCAE2AEtanZCBD=tanZAB

18、E,，尸BCAB222E為AD中點.1_.DF為直徑，ZFED=90,EF/AB,.DFBD2J3，.二oo的半徑為.2點睛：本題綜合考查了切線的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)的應(yīng)用等知識點，具有較強的綜合性，有一定的難度.12.如圖，在ABC中，BAC90,ABACJ2,ADBC,垂足為D,過A,D的。分別與AB,AC交于點E,F,連接EF,DE,DF.(1)求證：ADE且CDF;(2)當BC與。相切時，求。的面積.【答案】(1)見解析；(2).4【解析】分析：(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)知AD=CDZ1=Z0=45,由/EAF=90知EF是OO的直徑，據(jù)此知Z2+Z4=73+74=90,得/2

19、=/3,利用“ASAE明即可得；(2)當BC與。相切時，AD是直徑，根據(jù)/C=45、AC=J2可得AD=1,利用圓的面積公式可得答案.詳解：(1)如圖，-AB=AC,/BAC=90,ZC=45.，八八，1，八。一，八。又AD，BC,AB=AC,/1=/BAG=45BD=CD,/ADC=90：2又/BAC=90,BD=CD,.AD=CD.又/EAF=90：EF是。的直徑，./EDF=90：./2+/4=90又/3+/4=90,，/2=/3.在ADE和CDF中.1 C.ADCD,AADEACDF(ASA).2 3(2)當BC與。相切時，AD是直徑.在RtADC中，ZC=45,AC=J2,AD一1-

20、2.sinZC=,AD=ACsinZC=1,，OO的半徑為鼻，。0的面積為一.點睛：本題主要考查圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系等知識點.13.閱讀下列材料：如圖1,OOi和。O2外切于點C,AB是。Oi和。O2外公切線，A、B為切點，求證：ACBC證明：過點C作。Oi和。O2的內(nèi)公切線交AB于D,.DA、DC是。Oi的切線DA=DC.ZDAC=ZDCA.同理/DCB之DBC.又/DAC+ZDCA+ZDCB+ZDBC=180,/DCA+ZDCB=90,即ACBC.根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)在以上的證明過程中使用了哪些定理

21、？請寫出兩個定理的名稱或內(nèi)容；(2)以AB所在直線為x軸，過點C且垂直于AB的直線為y軸建立直角坐標系(如圖2),已知A、B兩點的坐標為(-4,0),(1,0),求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線y=ax2+bx+c的函數(shù)解析式；(3)根據(jù)(2)中所確定的拋物線，試判斷這條拋物線的頂點是否落在兩圓的連心O1O2上，并說明理由.123【答案】（1）見解析；（2）yxx2；（3）見解析22【解析】試題分析：（1）由切線長相等可知用了切線長定理；由三角形的內(nèi)角和是180。，可知用了三角形內(nèi)角和定理；（2）先根據(jù)勾股定理求出C點坐標，再用待定系數(shù)法即可求出經(jīng)過AB、C三點的拋物線的函數(shù)解析式；（3）過C作兩

22、圓的公切線，交AB于點D,由切線長定理可求出D點坐標，根據(jù)C,D兩點的坐標可求出過C,D兩點直線的解析式，根據(jù)過一點且互相垂直的兩條直線解析式的關(guān)系可求出過兩圓圓心的直線解析式，再把拋物線的頂點坐標代入直線的解析式看是否適合即可.試題解析：（1）DA、DC是eO1的切線，.DA=DC應(yīng)用的是切線長定理；DACDCADCBDBC180，應(yīng)用的是三角形內(nèi)角和定理.（2）設(shè)C點坐標為（0,y）,則AB2AC2BC；即41242y212y2,2即25172y，解得y=2（舍去）或y=-2.故C點坐標為（0,-2）,設(shè)經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的函數(shù)解析式為yax2bxc,16a4bc02,則abc0解

23、得c2,1c3故所求二次函數(shù)的解析式為yx2x2.223過C作兩圓的公切線CD交AB于D,則AD=BD=CD,由A（-4,0）,B（1,0）可知D（一，0）,2設(shè)過CD兩點的直線為y=kx+b,則34-kb0k2 解得3b2,b2,故此一次函數(shù)的解析式為y4X2,34過Q,O2的直線必過C點且與直線y-x2垂直，33故過。,。2的直線的解析式為y-x2,4325由(2)中所求拋物線的解析式可知拋物線的頂點坐標為(-,5),28QO2上.3325代入直線解析式得一一2，故這條拋物線的頂點落在兩圓的連心42814.如圖，AB是。的直徑，DkD為。上兩點，C。AB于點F,C已AD交AD的延長線于點E

24、,且CE=CF.(1)求證：CE是。的切線；連接CDCB,若AD=CD=a求四邊形ABCD面積.【答案】(1)證明見解析；(2)-2【解析】【分析】(1)連接OC,AC,可先證明AC平分/BAE,結(jié)合圓的性質(zhì)可證明OC/AE,可得ZOCB=90,可證得結(jié)論；(2)可先證得四邊形AOCD為平行四邊形，再證明OCB為等邊三角形，可求得CRAB,利用梯形的面積公式可求得答案.【詳解】(1)證明：連接OC,AC.,.CUAB,CHAD,且CE=CF./CAE=/CAB.1 .OC=OA,/CAB=/OCA./CAE=/OCA.2 .OC/AE./OC曰ZAEC=180；/AEC=90；/OCE=90即

25、OCXCE,3 .OC是。O的半徑，點C為半徑外端，4 .CE是。O的切線.(2)解：-.AD=CD),/DAC=/DCA=/CAB,5 .DC/AB,6 /CAE=/OCA,7 .OC/AD, 四邊形AOCD是平行四邊形，.OC=AD=a,AB=2a, /CAE=/CAB,-.CD=CB=a,.CB=OC=OB, .OCB是等邊三角形，,a在RtACFB中，CF=W加一廠”=H, .S四邊形ABCD-j(DC+AB)?CF=az【點睛】本題主要考查切線的判定，掌握切線的兩種判定方法是解題的關(guān)鍵，即有切點時連接圓心和切點，然后證明垂直，沒有切點時，過圓心作垂直，證明圓心到直線的距離等于半徑.1

26、5.如圖，DABCD(勺邊AD是4ABC外接圓。的切線，切點為A,連接AO并延長交BC于點E,交。O于點F,過點C作直線CP交AO的延長線于點P,且/BCP=/ACD.(1)求證：PC是。的切線；(2)若/B=67.5,BC=2,求線段PC,PF與弧CF所圍成的陰影部分的面積S.P【答案】（1）見解析；（2）14【解析】【分析】（1）過C點作直徑CM,連接MB,根據(jù)CM為直徑，可得ZM+ZBCM=90,再根據(jù)AB/DC可得/ACD=/BAC,由圓周角定理可得/BAC=ZM,/BC之ZACD,從而可推導(dǎo)得出/PCM=90。，根據(jù)切線的判定即可得；（2）連接OB,由AD是。的切線，可得/PAD=90,再由BC/AD,可得APIBC,從而得BE=CE=1BC=1,繼而可得到/ABC=/ACB=67.5；從而得到ZBAC=45,由圓周2角定理可得ZBOC=90,從而可得ZBOE=ZCOE=ZOCE=45,根據(jù)已知條件可推導(dǎo)得出OE=CE=1,PC=OC=JOE2CE2亞，根據(jù)三角形面積以及扇形面積即可求得陰影部分的面積.【詳解】（1）過C點作直徑CM,連接MB,.CM為直徑，/MBC=90;即/M+/BCM=90, 四邊形ABCD是平行四邊形， .AB/DC,A