1、第六單元 微分方程一、 微分方程的一般概念1、定義：含有未知函數的導數或微分的等式。 2、階：未知函數最高階導數的階數。（一階、二階） 3、通解：含有與階數相同個數的任意常量，且不能合并。 4、特解：不含任意常量的解。 5、初始條件：一階：二階：y(x0)=y0,y /(x0)=y /0二、一階微分方程的解法 1、可分離變量方程：形如F(x)g(y)dx+f(x)G(y)dy=0或y /=f1(x)f2(y)， 分離變量后為：,兩端同時積分即可求出通解。 2、齊次方程：形如，令代入原方程，化為關于以u為新的未知函數的可分離變量方程，求出u，從而得到y的表達式。 3、一階線性方程：y /+P(x

2、)y=Q(x) 當Q(x)0時，y /+P(x)y=0稱為一階線性齊次方程，用分離變量法求解。 當Q(x)0時，y /+P(x)y=Q(x)稱為一階線性非齊次方程，其通解求法為（1）公式法： （2）常數變易法：先解出y /+P(x)y=0的通解為y=cu(x),再將c看作函數c(x)，求出導數y /=c /(x)u(x)+ c(x)u /(x)，代入原方程，求出c(x)，從而得到其通解。三、二階常系數線性微分方程的解法 1、一般形式：y/+py /+qy=f(x)，其中p、q為常數，f(x)稱為自由項。 2、解的結構：若Y是y/+py /+qy=0的通解，y是y/+py /+qy=f(x)的一

3、個特解，則y=Y+ y是y/+py /+qy=f(x)的通解。 3、當f(x)0時，y/+py /+qy=0稱為二階常系數線性齊次微分方程。 解法：特征根法 列出特征征方程：，解出r1,r2，討論：（1） 若r1r2，通解為（2） 若r1=r2=r，通解為（3） 若，通解為 4、當f(x)0時，y/+py /+qy=f(x)稱為二階常系數線性非齊次微分方程。 解法：先求出y/+py /+qy=0的通解Y，再求特解y y的求法：（1） 自由項f(x)為n次多項式Pn(x)時，設 （Qn(x)是與Pn(x)同次的多項式，其系數設為A、B、） 討論：特征根r1r20,取k=0 特征根r1或r2=0,

4、取k=1 特征根r1=r2=0,取k=2（2） 自由項f(x)=Pn(x)ex時，設ex（Qn(x)是與Pn(x)同次的多項式，其系數設為A、B、） 討論：不是特征方程的根，取k=0 是特征方程的單根，取k=1 是特征方程的重根，取k=2（3） 自由項f(x)= ex（Acosx+Bsinx）時，設ex(Ccosx+Dsinx）討論：±i不是特征方程的根，取k=0 ±i是特征方程的單根，取k=1四、可降階的微分方程 1、一般形式：y(n)=f(x) 2、求解方法：兩邊同時積分，得到n-1階的微分方程， 接連積分n次，含有n個任意常數項。五、y/=f(x,y /)型微分方程

5、（不含未知函數的一次項） 求解方法：右端不顯含未知函數，設y /=p,則，原方程變為p /=f(x,p)，是一個關于變量x,p的一階微分方程，設其通解為p=(x,c1),再由兩端積分得 六、y/=f(y,y /)型微分方程 （不含自變量的項） 求解方法：右端不顯含自變量的項，設y /=p,則， 將y /=p，代入原方程，使其降為關于p的一階微分方程，解出p后，再用p=y /代入，得到關于y /的微分方程，再求出y,得到方程的通解。 例如：求的通解 解：令 兩端同時積分得： 所以，。例1 求xyy /=1-x2的通解解：分離變量 兩端積分 ， 即：x2+y2=2lnx+c例2 求(xy2+x)d

6、x+y(1+x2)dy=0的通解解：原方程變形為 x（y2+1)dx+y(1+x2)dy=0 分離變量 兩端積分 即：（1+x2）(1+y2)=c例3 已知f /(x)=1+x2,且f(0)=1,求f(x) (解初值問題) 解：分離變量 df(x)=(1+x2)dx 兩端積分 因f(0)=1,即1=0+c,所以c=1 故 例4 求的通解 （奇次方程，變量替換）解：方程變形為 代入前式，化簡得 ，兩端積分得 例5 求的通解 （一階非齊次方程，化成一般形式）解：法一（公式法）因 所以 法二（常數變易用法）由y /+xy=0得 兩端積分 設原方程的通解為，則 代入原方程得 即 所以，通解為 例6 設

7、曲線y=f(x)上任意一點(x,y)處的切線斜率為，且該曲線經過點，求（1） 求曲線y=f(x)（2） 求曲線y=f(x),y=o,x=1所圍圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體體積。解：（1）由題意知 所以 由 （2）xy / +y =2x例7 設函數y=f(x)由微分 確定，求（1） 函數y=f(x)的表達式（2） 討論函數y=f(x)在（0,+）內的單調性 解：（1）方程化為 ，則 由（2）因在（0,+）內 故在（0,+）內的單調增加。 例8 設f(x)為連續函數，且由所確定，求f(x). 解：兩端同時求導得 xf(x)=2x+f /(x),記y=f(x),上式變為 y /-xy=-2x,所以

8、當x=0時，代入得c=-2，故（初始條件不明顯，可取上限x=0） 例9 求y/+y /-2y=0的通解 解：特征方程為 r2+r-2=0,解得r1=1,r2=-2 （r1r2） 所以通解為 例10 求y/+ 2y=0的通解 解：特征方程為 r2 +2=0,解得 （無） 所以通解為 例11 求y/+y /=0的通解 解：特征方程為 r2+r=0,解得r1=0,r2=-1 （r1r2） 所以通解為 例12 求以y=(c1+c2x)ex為通解的二階線性常系數齊次微分方程。 解：法一：由y=(c1+c2x)ex知其特征根為重根r=1，相應的特征方程為,即r2-2r+1=0,從而知其對應的微分方程為：

9、y/-2y /+y=0 法二：因y=(c1+c2x)ex（1） y /=c2 ex+(c1+c2x)ex（2） y/=2c2 ex+(c1+c2x)ex（3） (3)-(2)×2+(1),消去c1,c2得y/-2y /+y=0 例13 已知二階線性常系數齊次方程的兩個特解為y1=ex,y2=e2x,求相應的微分方程。 解：由y1=ex及y2=e2x可知，原方程必有特征根r1=1,r2=2,故特征方程為（r-1）(r-2)=0,即r2-3r+2=0,所求的微分方程為： y/-3y /+2y=0 例14 求y/+y /-2y=e-x的通解 (Qn(x)為x的零次方) 解：對應的齊次方程的

10、特征方程為 r2+r-2=0,解得 r1=1,r2=-2,所以，對應的齊次方程的通解為Y=c1ex+c2e-2x 因自由項f(x)=e-x,=-1不特征根，取k=0,故設 (xkQn(x)e-x) ，代入原方程解得 所以，通解為 例15求微分方程y/+3y /=3x的通解 解：對應的齊次方程的特征方程為 r2+3r=0,解得 r1=0,r2=-3,所以，對應的齊次方程的通解為Y=c1+c2e-3x， 因自由項f(x)=3x,r1=0是特征方程的單根，取k=1,故設 (xkQn(x)代入原方程，得2a+6ax+3b=3x,比較系數有：2a+3b=0,6a=3,解得,因此 所以，通解為 例16求微

11、分方程y/+2y /+y=xex的通解 解：對應的齊次方程的特征方程為 r2+2r+1=0,解得 r1=r2=-1,所以，對應的齊次方程的通解為Y=（c1+c2x）e-x 因自由項f(x)=xex,=1不是特征根，取k=0,故設 (xkQn(x)ex)代入原方程整理得：4Ax+4(A+B)=x, 比較系數有：4A=1,4(A+B)=0,解得，因此 所以，通解為：例17 求微分方程y/=e2x-cosx的通解 解：對所給方程連續積分三次，得： 例18 求y/=xex滿足的特解。 解：對所給方程連續積分三次，得： 例19 求微分方程(1+x2)y/=2xy /的通解 （不含y,為y/=f(x,y

12、/)型，非常系數） 解：設y /=p,則y/=p /,代入方程得 分離變量得： y/=p=c1(1+x2) (取c1=±ec) 即dy=c1(1+x2)dx,兩端同時積分得 例20 求當的特解（不含y,為y/=f(x,y /)型，常系數非齊次） 解：設y /=p,則y/=p /,代入方程得 分離變量得： 所以： 由 故 例21求y/+y = x2+cox的通解 解：自由項為兩項之和，先求出其特解y1*和y2*，則y1*+y2*即為原方程的特解。 對應的齊次方程的特征方程為：r2+1=0,解得r=±i(1)求y/+y = x2的特解y1* 自由項為多項式，r1r20,取k=0

13、，令y1*=Ax2+Bx+Cy1*/=2Ax+B, y1*/=2A，代入y/+y = x2得2A+Ax2+Bx+C=x2,解得A=1,B=2,C=0,故y1*=x2-2(2) y/+y = cox的特解y2*=1為對應的齊次方程的單根，令y2*=Axcosx+Bxsinx, y2*/=Acosx-Axsinx+Bsinx+Bxcosx,y2*/=-Asinx-Asinx-Axcosx+Bcosx+Bcosx-Bxsinx=-2Asinx+2Bcosx-Axcosx-Bxsinx,代入y/+y=cox，得：-2Asinx+2Bcosx=cosx,解得A=0，故又，對應的齊次方程的通解為：Y=c1

14、cosx+c2sinx所以，原方程的通解為：y=Y+ y1*+ y2*= x2-2+c1cosx+c2sinx 例22求微分方程xy /+y=ex滿足初始條件的特解。 （05、20） 解：方程變形為 所以 用代入，解得c=0 故特解為： 例23求微分方程y/+10y /+9y=e-x的通解 （可看作Pn(x)=1） （05B、22） 解：對應的齊次方程的特征方程為 r2+10r+9=0,解得 r1=-1，r2=-9,所以，對應的齊次方程的通解為Y=c1 e-x +c2e-9x 因自由項f(x)=e-x,=-1是特征方程的單根，故設代入原方程，解得故通解為：例24 微分方程y/+3y /=0的通

15、解為 （y=c1+c2e-3x） (05B、11) R2+3r=0,r1=0,r2=-3 例25 求微分方程x2y /=xy-y2的通解 （06、17）（齊次方程） 解：方程變形為：，令，代入上式，化簡得xu /=-u2,分離變量為兩端積分得 所以通解為： 例20求微分方程xy / -y=2007x2滿足初始條件的特解 （07、18） 解：法一 原方程變形為： 所以 用代入，解得c=1 故特解為：y=x(2007x+1) 法二：原方程變形為： 其對應的齊次方程為：，設原方程的通解為：y=xc(x),y /=c(x)+xc /(x),代入原方程得c(x)+xc /(x)- c(x)=2007x,即c /(x)=2007, c(x)=2007x+c 所以原方程的通