1、基礎知識基礎知識一、等比數列的基本概念與公式一、等比數列的基本概念與公式1如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的的 等于等于 ，這個數列叫等比數列，這個常數叫，這個數列叫等比數列，這個常數叫等比數列的等比數列的 即即 q(nN*，且，且n2)或或 q(nN*)或或an 比比同一個常數同一個常數公比公比2若若an是等比數列，則通項是等比數列，則通項an 或或an，當，當nm為大于為大于1的奇數時，的奇數時，q用用an、am表示為表示為q ；當；當nm為正偶數時，為正偶數時，q ana1qn1可變形為可變形為anAqn，其中，其中A ；點；點(n，a

2、n)是曲線是曲線y 上一群彼此上一群彼此 的點的點 單調性：單調性： an是是 ； a1qn1amqnm孤立孤立遞增數列遞增數列 an是是 ；q1an是是 ；q0an為為 若若a，b，c成等比數列，則稱成等比數列，則稱b為為a，c的的 ，且，且b2 或或b .因此，因此，a，b，c是等比數列是等比數列 遞減數列遞減數列常數數列常數數列擺動數列擺動數列等比中項等比中項acb2ac或或b ，其中，其中ac0 3等比數列等比數列an中，中，Sn求和公式的推導方法是求和公式的推導方法是 求和公式求和公式變形為變形為SnBqnB(q1)，其中，其中B 且且q0，q1. 已知三數成等比，設三數為已知三數成

3、等比，設三數為 或設為或設為 四個數成等比，可設為四個數成等比，可設為 ，其中公比，其中公比為為 . 乘公比，錯位相減法乘公比，錯位相減法a，aq，aq2q24等比數列的判定方法等比數列的判定方法(1)an1anq(q是不為是不為0的常數，的常數，nN*)an是等比是等比數列數列(2)ancqn(c，q均是不為均是不為0的常數，的常數，nN*)an是等是等比數列比數列(3)A anan2(anan1an20，nN*)an是等是等比數列比數列(4)SnAqnA(A、q為常數且為常數且A0，q0,1)an是是公比不為公比不為1的等比數列的等比數列二、等比數列的性質二、等比數列的性質1amanqmn

4、，q (m，nN*)2在等比數列中，若在等比數列中，若pqmn，則，則apaqaman；若；若2mpq，則，則a apaq(p，q，m，nN*)3若若an、bn均為等比數列，且公比為均為等比數列，且公比為q1、q2，則，則數列數列 pan、anbn、 仍為等比數列且公比為仍為等比數列且公比為 ， ， ， q1q1q24在等比數列中，等距離取出若干項，也構成一個在等比數列中，等距離取出若干項，也構成一個等比數列，即等比數列，即an，anm，an2m仍為等比數列，公比仍為等比數列，公比為為 .5等比數列前等比數列前n項和項和(均不為零均不為零)構成等比數列，即構成等比數列，即Sn，S2nSn，S3

5、nS2n，構成等比數列且公比為構成等比數列且公比為 .6等比數列中依次等比數列中依次k項積成等比數列，記項積成等比數列，記Tn為前為前n項項積，即積，即Tk、 成等比數列，其公比為成等比數列，其公比為 . qmqmqk27等比數列等比數列an的前的前n項積為項積為Tn，則，則當當n為奇數時，為奇數時，Tn 為中間項為中間項) 8對于一個確定的等比數列，在通項公式對于一個確定的等比數列，在通項公式ana1qn1中，中，an是是n的函數，這個函數由正比例函數的函數，這個函數由正比例函數an 和指數函數和指數函數uqn(nN*)復合而成復合而成當當a10， 或或a10, 時，等比數列是遞增時，等比數

6、列是遞增數列；數列；當當a10, 或或a10， 時，等比數列時，等比數列an是是遞減數列遞減數列當當 時，是一個常數列時，是一個常數列當當 時，無法判斷數列的單調性，它是一個擺動數時，無法判斷數列的單調性，它是一個擺動數列列q10q10q1q1q1q0易錯知識易錯知識一、不理解等比數列的定義一、不理解等比數列的定義1設數列設數列an為等比數列，則下列四個數列：為等比數列，則下列四個數列：a；pan(p為非零常數為非零常數)；anan1；anan1其中是等比數列的有其中是等比數列的有_(填正確的序號填正確的序號)答案：答案：二、等比數列的性質應用失誤二、等比數列的性質應用失誤2等比數列等比數列a

7、n中，中，S27，S691，則，則S4_.答案：答案：28三、忽視隱含條件失誤三、忽視隱含條件失誤3x 是是a、x、b成等比數列的成等比數列的_條件條件答案：答案：既不充分也不必要既不充分也不必要四、設元不當失誤四、設元不當失誤4若四個數符號相同成等比數列，還知這四個數的若四個數符號相同成等比數列，還知這四個數的積，則可設這四個數為積，則可設這四個數為_答案：答案：5若這四個數符號不相同成等比數列，還知這四個若這四個數符號不相同成等比數列，還知這四個數的積，則可設這四個數為數的積，則可設這四個數為_答案：答案： 五、等比數列中的符號問題五、等比數列中的符號問題6已知等比數列已知等比數列an中的

8、中的a3，a9是方程是方程x26x20的兩根，則的兩根，則a6_，若改為，若改為a2，a10是方程的兩是方程的兩根，則根，則a6_.答案：答案： 回歸教材回歸教材1(2009北京西城北京西城)若數列若數列an是公差為是公差為2的等差數的等差數列，則數列列，則數列2an是是()A公比為公比為4的等比數列的等比數列B公比為公比為2的等比數列的等比數列C公比為公比為 的等比數列的等比數列D公比為公比為 的等比數列的等比數列 解析：解析：n1， 2anan1224，所以數列，所以數列2an是公比為是公比為4的等比數列的等比數列答案：答案：A2 等 比 數 列 等 比 數 列 an 中 ，中 ， a1

9、1 ， a1 0 3 ， 則， 則a2a3a4a5a6a7a8a9()答案：答案：A3在等比數列在等比數列an中，若中，若a21，a52，則，則a11_.答案：答案：84(2009北京豐臺北京豐臺)設設S1393n 2(nN*)，則，則S_.解析：解析：由等比數列求和公式可得：由等比數列求和公式可得：S 答案：答案： 5(課本課本P133,7題原題題原題)已知已知an是等比數列，是等比數列，Sn是其前是其前n項和，項和，a1，a7，a4成等差數列，求證：成等差數列，求證：2S3，S6，S12S6成等比數列成等比數列 .證明：證明：由已知得由已知得2a1q6a1a1q3即即2q6q310得得q3

10、1或或q3 當當q31時即時即q1an為常數列，為常數列，2S3S6S12S6命題成立命題成立當當q3 命題成立命題成立【例【例1】an為等比數列，求下列各值為等比數列，求下列各值(1)已知已知a3a636，a4a718，an ，求，求n；(2)已知已知a2a836，a3a715，求公比，求公比q；(3)已知已知q ，S815(1 )，求，求a1.命題意圖命題意圖本題考查等比數列的基本公式本題考查等比數列的基本公式解答解答(1)解法一：解法一：又又a3a6a3(1q3)36，a332.a an na a3 3q qn n3 33232 n n3 32 28 8n n 21，8n1，即，即n9.

11、 解法二：解法二：a4a7a1q3(1q3)18且且a3a6a1q2(1q3)36，q ，a1128又又ana1qn127 n128n 218n1，即，即n9.(2)a2a8a3a736且且a3a715，a33，a712或或a312，a73，(2008福建福建)設設an是公比為正數的等比數列，若是公比為正數的等比數列，若a11，a516，則數列，則數列an前前7項的和為項的和為()A63B64C127D128答案：答案：C解析：解析：a5a1q4，16q4.又又q0，故，故q2，S7 (課本課本P129習題習題3.5,1題題)在等比數列在等比數列an中，中，a31 【例【例2】(1)已知等比數

12、列已知等比數列an，a1a2a37，a1a2a38，則，則an_.(2)已知數列已知數列an是等比數列，且是等比數列，且Sm10，S2m30，則則S3m_(mN*)(3)在等比數列在等比數列an中，公比中，公比q2，前，前99項的和項的和S99 56，則，則a3a6a9a99_.分析分析利用等比數列的性質解題利用等比數列的性質解題解答解答(1)a1a2a3a 8，當當a11、a22、a34時，時，q2，an2n1，當當a14、a22、a31時，時，(2)an是等比數列，是等比數列，(S2mSm)2Sm(S3mS2m)，即，即20210(S3m30)得得S3m70.(3)a3a6a9a99是數列

13、是數列an的前的前99項中的一項中的一組，還有另外兩組，它們之間存在著必然的聯系組，還有另外兩組，它們之間存在著必然的聯系設設b1a1a4a7a97，b2a2a5a8a98，b3a3a6a9a99，則則b1qb2，b2qb3且且b1b2b356，b3b1q232.答案答案(1)4 總結評述總結評述整體思想就是從整體著眼考查所研究的整體思想就是從整體著眼考查所研究的問題中的數列特征，結構特征，以探求解題思想，從而優問題中的數列特征，結構特征，以探求解題思想，從而優化簡化解題過程的思想方法在數列中，倘若抓住等差、化簡化解題過程的思想方法在數列中，倘若抓住等差、等比數列的項的性質、整體代換可簡化解答

14、過程等比數列的項的性質、整體代換可簡化解答過程(2009山東濟南山東濟南)在等比數列在等比數列an中，若中，若a3a5a7a9a1132，則，則 的值為的值為()A4B2C2D4答案：答案：B解析：解析：由等比數列的性質可得：由等比數列的性質可得：等比數列等比數列an中，中，a1an66，a2an1128，前，前n項項的和的和Sn126，求，求n和公比和公比q.分析：分析：利用等比數列的性質、建立利用等比數列的性質、建立a1、an的方程組求的方程組求出出n與與q.解答：解答：a1ana2an1128，又，又a1an66，列的前列的前n項和公式時，注意公比是否等于項和公式時，注意公比是否等于1.

15、如不確定如不確定要討論要討論.【例【例3】(2008陜西陜西)(文文)已知數列已知數列an的首項的首項a1 在數列在數列an中，中，a12，an14an3n1，nN*.(1)證明數列證明數列ann是等比數列；是等比數列；(2)求數列求數列an的前的前n項和項和Sn；(3)求證對任意求證對任意nN*都有都有Sn14Sn命題意圖：命題意圖：本小題以數列的遞推關系式為載體，主本小題以數列的遞推關系式為載體，主要考查等比數列的概念、等比數列的通項公式及前要考查等比數列的概念、等比數列的通項公式及前n項和項和公式、不等式的證明等基礎知識，考查運算能力和推理論公式、不等式的證明等基礎知識，考查運算能力和推

16、理論證能力證能力解答：解答：(1)由題設由題設an14an3n1，得，得an1(n1)4(ann)，nN*.又又a111，所以數列，所以數列ann是首項為是首項為1，且公比為，且公比為4的等比數列的等比數列(2)由由(1)可知可知ann4n1，于是數列，于是數列an的通項公式的通項公式為為an4n1n.所以，數列所以，數列an的前的前n項和項和Sn 設設an，bn是公比不相等的兩個等比數列，且是公比不相等的兩個等比數列，且cnanbn，證明數列，證明數列cn不是等比數列不是等比數列分析：分析：考查等比數列的定義，證明一個數列是等比考查等比數列的定義，證明一個數列是等比數列應從定義入手，證明一個數列不是等比數列，只需舉數列應從定義入手，證明一個數列不是等比數列，只需舉出三項不成等比即可出三項不成等比即可證明：證明：采用分析法證明，采用分析法證明，設設an、bn的公比分別為的公比分別為p、q，pq，cnanbn，c(a1pb1q)2ap2bq22a1b1pq，c1c3(a1b1)(a1p2b1q2)ap2bq2a1b1