1、標準實用燕尾定理文案大全日如蚱 例題精講燕尾定理:在三角形 ABC中，AD , BE, CF相交于同一點 O, 那么，S ABO : S ACO = BD :DC上述定理給出了一個新的轉化面積比與線段比的手段，因為AABO和AACO的形狀很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱為燕尾定理.該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用，它的特殊性在于，它可以存在于 任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應底邊之間提供互相聯系的途徑通過一道例題 證明燕尾定理:如右圖，D是BC上任意一點，請你說明：S : S4 = & : S3 = BD : DC【解析】三角形BED與三角形CED同高，分別以BD、DC為底

2、，所以有S1 ： S4 = BD ：DC ； 三角形ABE與三角形EBD同高，SS=ED:EA；三角形ACE與三角形CED同高，S4=ED:EA,所以 0=$2：0;綜上可得， ：S4 =& = BD : DC .BC上，且BD:DC=1:2, AD與BE交于點F.則四邊形DFEC的面積等于ABC的面積是1, E是AC的中點，點例1 （2009年第七屆希望杯五年級一試試題）如圖，三角形方法一：連接CF ,根據燕尾定理,Sa abfBDSa abfSa acfDC一2S CBFAE1 EC設SA BDF =1份，則SA DCF =2份， SA ABF =3份,SAAEF - SA EFC=3份，

3、如圖所標5 -所以 Sdcef = Sa ABC1212方法二：連接DE ,1由題目條件可得到Sa abdSa abc3Sa ADEAADC2& ABC2 3BFSaabdSa def=1 Sa DEB2而 SA CDE2 1二SAABC3 2如圖，已知 BD =DC ,FESaade111c& ABC2 3 21，一，-.所以則四邊形3EC=2AE,三角形12，DFEC的面積等于1230,求陰影部分面積.ABC的面積是題中條件只有三角形面積給出具體數值，其他條件給出的實際上是比例的關系，由此我們可以初步判斷這道題不應該通過面積公式求面積.又因為陰影部分是一個不規則四邊形，所以我們需要對它進行

4、改造，那么我們需要連一條輔助線,（法一）連接CF,因為BD=DC,EC=2AE,三角形ABC的面積是30,1 -所以 Sa abe Sa abc =10, Sa abd31 c=S ABC =15 2根據燕尾定理,SA ABFAESA ABFBDSA CBFECCD二1,1 _c所以Sz ABF - - Sa ABC = 7.5 ,Sa BFD4= 157.5 =7.5 ,所以陰影部分面積是30107.5=12.5 .（法二）連接DE,由題目條件可得到1Sa ABE =-Sa ABC =10 ,3-1_12-Sabde =_Sabec =-Saabc =10,所以22 3AFFDSA ABEc

5、 1c 11c 111cSA DEF = - M SA DEA =父一父 Sa ADC =一父 一 X X Sa abc =2.5 ,22 32 3 2一2 1一而Sacde =-X-xSaabc =10.所以陰影部分的面積為12.5.3 22【鞏固】如圖，二角形ABC的面積是200 cm , E在AC上，點D在BC上，且AE: EC = 3:5 , BD:DC = 2:3 , AD與BE交于點F .則四邊形 DFEC的面積等于 .連接CF ,根據燕尾定理,SA ABFBDSA ABFAESA ACFDCSA CBFEC10設 SA ABF 6 份,則 SAACF 9 份，SABCF510 份

6、,Saefc =9乂3 545份,Sa cdf3=10 =6 份,2 345452所以 Sdcfe =200,(6 9 10) (6)=8 (6) =93 (cm )88【鞏固】如圖，已知BD=3DC, EC=2AE, BE與CD相交于點O,則4ABC被分成的4部分面積各占 4ABC 面積的幾分之幾？【解析】連接CO,設SAaeo =1份，則其他部分的面積如圖所示，所以Saabc=1+2+9+18 = 30份，所以四部分按從小到大各占 4ABC面積的 工,5=,旦=2,曳5=9303060 30 10 3020（2007年香港圣公會數學競賽）如圖所示，在 4ABC中，CP=1CB, CQ =C

7、A , 23點X ,若4ABC的面積為6 ,則4ABX的面積等于 .BQ與AP相交于1 一 一12一 一 1 一 1 一由于 CP = -CB , CQ=CA,所以 SaBQ = S ABC , SjBPQ = SbCQ = S ABC .233 _2 _6 _21由蝴蝶7E理知，AX : XP = Slabq : SjBPQ = S_ABC : - S ABC = 4:1 ,3 -6 -所以Slabx= -Sabp5 一41c2=一S ABC=一S ABC52 -5-2二一M6 = 2.4 .5方法二：連接CX設Sacpx =1份，根據燕尾定理標出其他部分面積,所以 Saabx =6-：-（

8、1 14 4） 4=2.4【鞏固】如圖，三角形 ABC的面積是1, BD=2DC , 的面積各是多少？CE=2AE, AD與BE相交于點F ,請寫出這4部分【解析】連接CF ,設SAaef =1份，則其他幾部分面積可以有燕尾定理標出如圖所示，所以Sa AEF =，Sa ABF21&BDF21 78, Sfdce2121【鞏固】如圖，E在AC上,D 在 BC 上，且 AE:EC=2:3 , BD:DC=1:2, AD 與 BE 交于點 F .四邊形 DFEC的面積等于22 cm【解析】連接CF,根據燕尾定理,則三角形ABC的面積Sa ABF BD 1SA ABF AE=- = Saacf DC

9、2Sa cbf EC設 Sabdf =1份，則 Sad c產2份，Sa ABF =2份 ,Sa afc =4份，Sa AEF =4 =1.62 3-3份,Saefc =4黑=2.4 份，如圖所標，所以 Sefdc =2+2.4=4.4 份,SAabc =2+3+4 =9份 2 3. _2所以 SA ABC =22- 4.4 9 =45 （cm ）已知 AC=2, CD=2, CB=3, AM=BM,那么三角形 AMN （陰影三角形 ABC中，C是直角, 部分）的面積為多少？【解析】連接BN . ABC的面積為3 M2 +2 =3根據燕尾定理， ACWAABN =CD :BD =2:1 ;同理C

10、BN:CAN =BM : AM =1:1設4AMN面積為1份，則AHNB的面積也是1份，所以4ANB的面積是1+1=2份，而4ACN的 面積就是2 M2 =4份，4CBN也是 4份，這樣 ABC的面積為4+4+1+1=10份，所以 4AMN的 面積為 3-10X1 =0.3.【鞏固】如圖，長方形 ABCD的面積是2平方厘米, 平方厘米？EC = 2DE , F是DG的中點.陰影部分的面積是多少【解析】BDECDEC5設Sa def =1份，則根據燕尾定理其他面積如圖所小%影=? Sa bcd125=平方厘米.12例2如圖所示，在四邊形 ABCD中, 形BODC的面積為.AB=3BE, AD=3

11、AF,四邊形AEOF的面積是12,那么平行四邊【斛析】連接 AO, BD ,根據燃尾7E理SAABO : SA BDO= AF: FD =1： 2 , SA aOD： SABOD= AE ： BE 2 :1，設SA BEO=1,則其他圖形面積，如圖所標，所以Sbodc =2Saeof =2 12 =24.例3 ABCD是邊長為12厘米的正方形，E、F分別是AB、BC邊的中點，AF與CE交于G ,則四邊形 AGCD的面積是 平方厘米.【解析】連接八。、68,設$AC=1份，根據燕尾定理得SAagb =1份，SAbgc =1份，貝U S正方形=(1 + 1+1 乂2 =6份，Sadcg =3+1

12、=4份，所以 Sadcg =122 +6父4 =96 (cm2)例4如圖，正方形 ABCD的面積是120平方厘米，E是AB的中點，F是BC的中點，四邊形 BGHF的 面積是 平方厘米.【解析】連接BH,根據沙漏模型得BG:GD=1:2 SAbhc =1份，根據燕尾定理SAchd =2份，SAbhd = 2份,1 277因此 Se 方形=（1+2+2）乂2=10 份，Sbfhg所以 Sbfhg =120+10父=14（平萬厘米）.2 366例5如圖所示，在 4ABC中，BE: EC =3:1 , D是AE的中點，那么AF:FC =連接CD .由于 SA ABD : SA BED =1:1 ,根據

13、燕尾定理， AF : FCSA BED : SA BCD =3: 4 ,所以 SA ABD : SA BCDSA ABD : SA BCD =3； 4 .在 MBC 中，BD:DC =3:2,AE: EC =3:1 ,求 OB:OE=?連接OC .因為BD: DC =3: 2 ,根據燕尾定理,3 _SaOB : S由oc = BD : BC =3: 2 ,即 S&OB = S&OC ;2.4 一又 AE : EC 3:1 ,所以 Soc S曲oe .所以 OB:OE =S&OB:SOE =2:1 .3八34八八則 SAOB SAOC - M&S&OE =2Soe ,【鞏固】在 MBC中，BD:

14、DC=2:1,AE : EC =1:3 ,求 OB:OE=?D【解析】 題目求的是邊的比值，一般來說可以通過分別求出每條邊的值再作比值，也可以通過三角形的面積 比來做橋梁，但題目沒告訴我們邊的長度，所以應該通過面積比而得到邊長的比.本題的圖形一看 就聯想到燕尾定理，但兩個燕尾似乎少了一個，因此應該補全，所以第一步要連接OC .連接OC .因為 BD : DC =2:1 ,根據燕尾7E理，SOB : S&OC =BD : BC =2:1 ,即 SmOB =2SOC ；又 AE : EC =1:3 ,所以 S為oc =4S逸oe .則 S淺ob =2S占oc =2父 4s淺oe =8S占oe ,

15、所以 OB：OE =S宓0b ：S型e =8:1 .例6 （2009年清華附中入學測試題）如圖，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、BC上的點，且11AE = AB , CF =BC ,34AF與CE相交于G ,若矩形ABCD的面積為120,則AAEG與ACGF的面積之和為.（法1）如圖，過F做CE的平行線交 AB于H ,則EH : HB=CF : FB=1:3 ,1所以 AE =EB =2EH , AG:GF =AE:EH =2 ,即 AG=2GF , 212c 231”所以 S&EG =- 父一 MS&BF =- 父一父一 SABCD =10 .3 39 4 2-22 311且 EG

16、=HF =mEC =EC ,故 CG = GE ,則 SAgf =1 父一 mSaeg =5 .33 42C2 A所以兩三角形面積之和為 10+5=15 .（法2）如上右圖，連接 AC、BG .根據燕尾定理，S ABG : S ACG -BF :CF -3:1一 1 一而 S&BC S ABCD 60 ,3.1 一一所以 Sabg =, Sabc =一父 60 30 ,3 2 1211.則 S&EG &S2BG -10 , S&FG 7 S&CG -5 ,，s掩cg:Sacg=BE: AE = 2:1 ,S.BCG2 八 1 一一 丁，Sbc =一父60 =20 ,3 2 13所以兩個三角形的

17、面積之和為15.【例7】如右圖，三角形 ABC中,BD:DC=4:9, CE:EA=4:3 ,求 AF : FB .【解析】 根據燕尾定理得 SAOB ： SAAOC =BD：CD =4:9 =12:27SA AOB ： SA BOC = AE ： CE =3：4=12：16（都有 AOB的面積要統一，所以找最小公倍數）所以 Saoc ： SABOC =27:16 =AF ：FB【點評】本題關鍵是把 4AOB的面積統一，這種找最小公倍數的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果 能掌握它的轉化本質，我們就能達到解奧數題四兩撥千斤的巨大力量！【鞏固】如右圖，三角形ABC中，BD:DC=3:4, A

18、E:CE =5:6 ,求AF : FB.【解析】根據燕尾定理得SAAOB : SAAOC =BD :CD =3: 4=15: 20SAaob : SAboc = AE :CE =5: 6 =15:18（都有 AOB的面積要統一，所以找最小公倍數）所以 SA AOC : SABOC =20 :18 =10:9 =AF : FB如圖， BD: DC =2:3 , AE:CE =5:3，則 AF : BF =【解析】根據燕尾定理有 SAABG : SAACG =2 :3 =10:15 , SAABG : SABCG =5:3 =10 : 6，所以SA ACG : SABCG=15: 6 =5: 2

19、=AF : BF【鞏固】如右圖，三角形ABC 中，BD:DC=2:3,EA:CE=5: 4,求 AF : FB.【解析】根據燕尾定理得SAAOB : SAAOC =BD :CD =2:3=10:15 /-OD/AOCSAaob : Saboc =AE:CE =5:4=10:8（都有 AOB的面積要統一，所以找最小公倍數）所以 Sa aoc : Sa boc =15:8 =AF : FB標準實用【點評】本題關鍵是把 4AOB的面積統一，這種找最小公倍數的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果 能掌握它的轉化本質，我們就能達到解奧數題四兩撥千斤的巨大力量！例8（2008年“學而思杯”六年級數學試題

20、）如右圖，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2, 且三角形ABC的面積是1 ,則三角形 ABE的面積為,三角形AGE的面積為,三角 形GHI的面積為.【分析】連接 AH、BI、CG .由于CE: AE=3: 2 ,所以AE根據燕尾定理，S ACG : S ABG= CD: BD=2:3 , S&cg；S&bg =CE:EA = 3:2 ,所以S&CG : S年G : S在CG =4 : 6: 9 ,則 S ACG4 S.,S/BCG19192o一 ?5 19 95那么 S age Sagc5 一9. 一_同樣分析可得SCH =，則 EG : EH = Sacg : SAC

21、H= 4:9, EG: EB = S戌cg : S小cb =4:19 ,所以19EG:GH :HB =4:5:10 ,同樣分析可得 AG:GI :ID =10:5: 4,-5 -521-5 -5 11所以 S 隹IE SjAE SGHI S 通IE 父1010 5 51919 5 19【鞏固】如右圖，三角形ABC的面積.ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2,且三角形 GHI的面積是1,求三角形【解析】連接BG ，Sa agc =6份根據燕尾定理,Saagc : Sabgc = AF : FB =3: 26:4, Saabg : Saagc = BD : DC 3:2 9 : 6

22、得 Sabgc =4（份），Saabg =9 （份），則 SAabc =19 （份），因此包餐= ,S ABC 19Sa ABH6Sa BIC6同理連接AI、CH得=一，=S ABC19 SA ABC19所以Sghi 19 -6 -6-6Sa abc19119三角形GHI的面積是1,所以三角形 ABC的面積是19【鞏固】（2009年第七屆“走進美妙的數學花園”初賽六年級 文案大全）如圖，AABC 中 BD=2DA, CE = 2EB,標準實用AF =2FC ,那么AABC的面積是陰影三角形面積的倍.文案大全【分析】如圖，連接AI .根據燕尾定理，S召ci ：S淺ci =BD : AD =2:1

23、 , S&ci : S逸bi =CF : AF =1:2,所以，S.CI ： SBCI : SABI =1: 2 : 4 ,丑k/Q2 c2 c那 4 S召CI - *2 +4 S,BC 亍 S注BC ,2同理可知 MCG和4ABH的面積也都等于 MBC面積的-，所以陰影三角形的面積等于AABC面積7,21 一. ._ . .一 一的1 父3 =,所以 MBC的面積是陰影三角形面積的7倍.【鞏固】如圖在 ABC中,的值.DC EA FB 1 oGHI 的面積=,求-DB EC FA 2 ABC 的面積【解析】連接 BG,設 SABGC 1 份，根據燕尾定理 SA AGC : SA BGC =

24、AF : FB = 2：1 , SAABG : SA AGC = BD : DC =2 ：1 ,S2 得SA AGC =2（份） ,SAABG =4（份），則SA ABC =7（份），因此，金=一，同理連接 AI、CH得SA ABC7S ABH _ 2 SZXBIC _ 2SA ABC7 1SAABC7SAghi7 - 2 - 2 - 21所以=一SA ABC77【點評】如果任意一個三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置上的圖形，雖然形狀千變萬化， 但面積是相等的，這在這講里面很多題目都是用“同理得到”的，即再重復一次解題思路，因此我 們有對稱法作輔助線.【鞏固】如圖在 ABC中,DC

25、 EA FB 1 GHI 的面積= = -，一一DB EC FA 3 ABC 的面積的值.【解析】連接 BG,設 S.BGC =1 份，根據燕尾定理 SAAGC : SA BGC =AF：FB =3:1 abg : SA agc = BD：DC=3：1 ,S-3得Sa AGC =3（份），Sa ABG =9（份），則ABC =13（份），因此-C=2,同理連接AI、CH得Sa abc13SA ABHSA BIC3二13,二,Sa ABCSa ABC 13所以包絲=n-3-3-3 = 4Sa ABC1313【鞏固】如右圖,三角形ABC 中，AF :FB = BD :DC =CE: AE =4:3

26、 ，且三角形ABC的面積是74,求角形GHI【解析】的面積.連接 BG, SAagc =12 份根據燕尾定理,SA AGC : SABGC=AF :FB =4:3 =12:9 , SAabg : Saagc二BD :DC =4:3 =16:12得5乙 BGC =9（份），Saabg =16（份），則$ ABC =9+12+16=37（份），因此工AGCSA ABC1237S ,同理連接AI、CH得S金 SA ABC12 Sabic1237 SA ABC37,所以4Sa ABC37 -12 -12 -123737三角形ABC的面積是74,所以三角形 GHI的面積是74M2=237【例9】兩條線段

27、把三角形分為三個三角形和一個四邊形, 則陰影四邊形的面積是多少？如圖所示,三個三角形的面積分別是3,7,7,【解析】方法一：遇到沒有標注字母的圖形，我們第一步要做的就是給圖形各點標注字母，方便后面的計算 再看這道題，出現兩個面積相等且共底的三角形.設三角形為 ABC , BE和CD交于F ,則BF = FE ,再連結DE .所以三角形DEF的面積為3.設三角形ADE的面積為x ,則 x: (3+3)=AD : DB =(x+10):10 ,所以 x=15,四邊形的面積為 18.方法二：設 SA ADF =x , 根據燕尾定理 SA ABF : SA BFC = SA AFE : SA EFC

28、，得到SA AEF = x+3 ,再根據向右下飛的燕子，有(x+3+7):7=x:3 ,解得x=7.5四邊形的面積為 7.5 + 7.5 + 3=18【鞏固】右圖的大三角形被分成5個小三角形，其中 4個的面積已經標在圖中，那么，陰影三角形的面積是 .【解析】方法一：整個題目讀完，我們沒有發現任何與邊長相關的條件，也沒有任何與高或者垂直有關系的字眼，由此，我們可以推斷，這道題不能依靠三角形面積公式求解.我們發現右圖三角形中存在一個比例關系：2:隨影=(1 +3):4 ,解得 麗影=2.方法二：回顧下燕尾定理，有 2:(S陰影+4)=1:3,解得 時影=2.【例10 如圖，三角形 ABC被分成6個

29、三角形，已知其中 4個三角形的面積，問三角形 ABC的面積是多【解析】設&bof =x,由題意知BD: DC =4:3根據燕尾定理，得3 一 _ _ 3SAABO : SA ACO SA BDO : SACDO =4. 所以 SA ACO =一 父(84 + x) = 63 +x ,4 43再根據 SAabo : SABCO =SAaoe : SAcoe ,列萬程(84 +x) :(40 +30) =(63 +- x -35) :35 解得 x=564SA AOE : 35 =(56 84) :(40 30)所以 SA aoe =70所以三角形ABC的面積是84 +40+30+35+56+70

30、=315【例11】 三角形ABC的面積為15平方厘米，D為AB中點，E為AC中點，F為BC中點，求陰影部分 的面積.【解析】 令BE與CD的交點為 M, CD與EF的交點為N,連接AM, BN.在 4ABC 中，根據燕尾定理，SA ABM :SABCM =AE:CE=1:1 ,SA ACM : SA BCM =AD:BD=1:1 ,1-所以 SA ABMSA ACMSA BCNSA ABC一 1 _由于 SA AEM = SA AMC21 _ _= 1SAABM S,所以 BM : ME =2:12在4EBC中，根據燕尾定理,Sa ben：Sacen-BF :CF= 1:1 S CEN : S

31、a CBN -ME :MB =1:2設SA CEN =1（份）,則1BEN =1（份），Sabcn=2（份），Sa bce = 4 （份），所以11SA BCN = _ SA BCE = SA ABC , SA BNE241S=S BCE4 ABC , 因為BM : ME =2:1 ,F為BC中點,所以所以SA BMN =_ SA BNE3S影=1 1 ：會 128）ABC【例12】如右圖， ABC中,1SSAABC812SA ABC241SA ABC , SA BFN =_ SA BNC21S二一 S ABC，82x15 =3.125 （平方厘米）24G是AC的中點，D、E、F是BC邊上的四

32、等分點,AD與BG交于M ,AF與BG交于N ,已知ABM的面積比四邊形 FCGN的面積大7.2平方厘米，則AABC的面積是 多少平方厘米？【解析】根據燕尾定理,Sa ABM:SA CBM =AG :GC =1:1 , SA ABM : SA ACM1 -BD : CD 1:3，所以 SA ABM =一 SA ABC ；5再根據燕尾定理,AN: NF =4:3 ,SA ABN : SA CBN = AG : GC =1:1 ,所以 SA ABN:SA FBN = SA CBN : SA FBN = 4 :3 , 所以那么uSA AFC, 一，1 根據題意，有-S.52,7 ,所以 SFCGN

33、=SA AFC5 1 .-SA ABC7 428SABC ； ABC - SA ABC28可得SA ABC =336（平方厘米）（2007年四中分班考試題）如圖， 若MBC的面積為1,那么四邊形MBC中，點D是邊AC的中點，點E、F是邊BC的三等分點,CDMF的面積是由于點D是邊AC的中點，點E、F是邊BC的三等分點，如果能求出BN、NM、MD三段的比,那么所分成的六小塊的面積都可以求出來，其中當然也包括四邊形CDMF的面積.連接CM、CN .根據燕尾定理,S&BM : SCM =BF :CF =2:1 ,而 S&CM =2%DM ,所以 %BM _ 2SCM = 4%DM ,那4么 BM =

34、4DM ,即 BM =BD .5那么S BmfBMBDBF SBCDBC4 2 1x- x-5 3 2-,酶邊形CDMF151530另解：得出S叢BM =2Sdcm -4SADM后，可得SADMS ABD51 1-X-5 210，貝u S四邊形 CDMF = S ACF -S ADM3 1030【例13】如圖，三角形 ABC的面積是1, 請寫出這9部分的面積各是多少？BD=DE=EC, CF=FG=GA,三角形 ABC被分成9部分,設BG與AD交于點P, BG與AE交于點Q, BF與AD交于點 M, BF與AE交于點N.連接CP,CQ, CM, CN.根據燕尾定理,SA ABP : SACBP

35、 = AG : GCSa abc =1 2 2 =5（份），所以SaABP同理可得,SAABQ =一 ,1ABN7叵I 理，Sa bpm35Sa BDMSH邊形 MNED = 3如圖,35 70MBC的面積為邊形JKIH的面積是多少?連接 CK、CI、CJ .根據燕尾定理,=1: 2 , SA ABP : SA ACP = BD : CD =1: 2 ,設 SA ABP =1 （傷），則1=，而 SAABG 21 一,所以2142S四邊形PQMN,S3邊形 NFCE1,點，所以 SZ APQ3 2135,SA AQG21357042i,Si四邊形GFNQ3 21 642D、E是BC邊的三等分點

36、，點 F、G是AC邊的三等分點，那么四SACK : SABK =CD : BD 1: 2 , SABK : SCBK = AG : CG =1: 2 ,所以S. ACK :S.Abk :SBK =1:2:4,那么 S&CK =, 一，S 學12 4 7_1e.GK - 3 S. ACK21類似分析可得S.agi15又 S&bj : S&bj = AF : CF =2 :1 , Sbj : S2cj BD : CD 2:1 ,可得 S&cj那么，SCGKJ174 2184根據對稱性，可知四邊形一一一，17 一，一一CEHJ的面積也為 17,那么四邊形84JKIH周圍的圖形的面積之和為SCGKJ2

37、 S. AGI SABE172161 一 一 一一， 61=22 + +，所以四邊形JKIH的面積為1 巴8415 3 7070 70【例 14如右圖，面積為 1 的 4ABC 中，BD :DE : EC =1:2:1 , CF : FG:GA = 1:2:1 , AH : HI :IB =1:2:1 ,求陰影部分面積.IG交HF于M , IG交HD于N ,【解析】設DF交EI于P .連接 AM ，IF AI : AB =3:4 , AF : AC =3:4, , Safim : Sa amf =IH : HA =2,SafimSa aif = Sa abc16:Saaim =FG :GA =

38、2,Sa aim = Sa aif49-= Sa ABC AH : AI =1:3, -Saahm64ABC,64 AH : AB =1:4AF: AC 3 :4 Sa ahf3八叵I 理Sa cfd = Sa bdh =Sa abc16, , SA FDH3s=SA ABC167 S=Sa ABC16HM : HF643 / =1:4, 16 AI : AB =3: 4, AF : AC =3: 4 , .IF II BC ,又. IF : BC =3: 4,DE :BC =1:2 ,.DE : IF =2:3, DP :PF =2:3 ,同理 HN : ND =2:3，= HM : HFS

39、a hmn = Sa hdf =Sa abc10160=1:4 ,，HN : HD =2:57同理6個小陰影三角形的面積均為1607160、721陰影部分面積6 =2116080【例15如圖，面積為影部分面積.AB、BC、CA的三等分點，求陰中，D、的三角形ABCI分別是E、F、G、H、【解析】三角形在開會，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧!令BI與CD的交點為 M, AF與CD的交點為N, BI與AF的交點為 P,BI與CE的交點為 Q,連接AM、BN、CP求場邊形admi ：在4ABC中，根據燕尾定理,Sa ABM : Sa CBM -AI : CI -1:2 Sa acm

40、: Sa cbm = AD : BD -1:2設 SA ABM =1 （ 份），則 Sa CBM =2（ 份 ） , SA ACM =（ （ 份）,Sa ABC =4（ 份 ），1 一所以SA ABM =SA ACM = SA ABC， 所以SA ADM4111=SA ABM =SA ABC，SAAIM = SAABC，31212所以Sb邊形ADMIJ . 1c1c-（） SA ABC SA ABC，12 126同理可得另外兩個頂點的四邊形面積也分別是1 ABC面積的6求Se邊形 DNPQE : 在AABC中，根據燕尾定理Sa abn S ACN =BF :CF =1:2 SA acn : Sa bcn =AD :BD =1:2,1c 11c 11c所以 Sa adn =_ Sa abn = Saabc =S/xabc,叵I 理 Sabeq =Sa abc33 72121在 ABC 中，根據燕尾