1、w1.只含有一個未知數，且未知數的次數是的二次的整式方程叫做一元二次方程.w2.一元二次方程的一般形式.w ax2+bx+c=0(a0).考點整合一元二次方程的解法及中考例題一元二次方程的解法及中考例題北師大版北師大版23(1)10_.xmxxm 、已知關于 的一元二次方程有實根，則 的取值范圍是145mm且4、已知二次函數 的圖象和x軸有交點，則 的取值范圍是_277yaxxa._05) 1(. 1122axxaxaa一元二次方程，則是的方程已知關于._04. 22aaxxx么兩個相等的實數根，那有的方程如果關于w(1)配方法w通過配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,這種解一元二次

2、方程的方法稱為配方法w用配方解方程的一般步驟:1.化1:把二次項系數化為1(方程兩邊都除以二次項系數);3.配方:方程兩邊都加上一次項系數絕對值一半的平方;4.變形:方程左分解因式,右邊合并同類;5.開方:方程左分解因式,右邊合并同類;6.求解:解一元一次方程;7.定解:寫出原方程的解.2.移項:把常數項移到方程的左邊;3. 一元二次方程的解法：一元二次方程的解法：(1)配方法；配方法；(2)公式法；公式法；(3)分解因式法分解因式法.w(2)(2)公式法公式法: :w1 1. .一元二次方程一元二次方程: :axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0):,042它的根是時當 a

3、cb.04.2422acbaacbbxw2.用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法.w3.用公式法解題的一般步驟:w變形:化已知方程為一般形式;w計算: b2-4ac的值;w代入:把有關數值代入公式計算;w定根:寫出原方程的根.w確定系數:用a,b,c寫出各項系數;(3)分解因式法:1.當一元二次方程的一邊是0,而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時,我們就可以用分解因式的方法求解.這種用分解因式解一元二次方程的方法你為分解因式法.2.2.分解因式法解一元二次方程的一般步驟是分解因式法解一元二次方程的一般步驟是: :(2).(2).將方程左邊因式分解將方程左邊因式分解; ;(3).(3).根

4、據根據“兩個因式的積等于零兩個因式的積等于零, ,至少有一個因式為零至少有一個因式為零”, , 轉化為兩個一元一次方程轉化為兩個一元一次方程. . (4). (4).分別解兩個一元一次方程，它們的根就是原方程的根分別解兩個一元一次方程，它們的根就是原方程的根. .(1).(1).化方程為一般形式化方程為一般形式; ;北師大版北師大版2222)25(96. 3312. 2014. 1xxxxxxx解方程：用配方法解方程：解方程：.)3()2() 1 (032) 1(. 42的取值范圍有兩個實數根，求的取值范圍；只有一個實數根，求的取值范圍；有實數根，求的方程已知關于mmmmmxxmx方程的屬性不

5、方程的屬性不確定確定方程的屬性確定方程的屬性確定方程的屬性確定方程的屬性確定(七七)、一元二次方程根的判別式、一元二次方程根的判別式w 我們知道:代數式b2-4ac對于方程的根起著關鍵的作用.2422, 1aacbbx有兩個不相等的實數根方程時當00,0422acbxaxacb:00,0422有兩個相等的實數根方程時當acbxaxacb.22, 1abx沒有實數根方程時當00,0422acbxaxacb.4.004222acbacbxaxacb即來表示用根的判別式的叫做方程我們把代數式 一元二次方程的兩個根與它的系數有如下關系： 兩根之和等于一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數;兩根之積等

6、于常數項除以二次項系數所得的商. 一般地,若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個根是: ,2421aacbbx,2421aacbbx22122244224422;2bbacbbacxxaabbac bbacabbaa ;444)4(22)4()4(24242222222221acaacaacbbaaacbbacbbaacbbaacbbxx.;2121定理這一結論通常稱為韋達即acxxabxx(八八)、根與系數的關系、根與系數的關系韋達定理韋達定理要點、考點聚焦要點、考點聚焦1.1.一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)根的情況：根的情況：(

7、1)(1)當當0 0時，方程有兩個不相等的實數根；時，方程有兩個不相等的實數根；(2)(2)當當=0=0時，方程有兩個相等的實數根；時，方程有兩個相等的實數根；(3)(3)當當0 0時，方程無實數根時，方程無實數根. .2.2.根據根的情況，也可以逆推出根據根的情況，也可以逆推出的情況，這方面的情況，這方面的知識主要用來求取值范圍等問題的知識主要用來求取值范圍等問題. .例例1：不解方程，判別下列方程的根的情況：不解方程，判別下列方程的根的情況（1）04322 xx（3）07152xx（2）yy2491620414243422 acb解：解：（1） = 判別式的應用:所以，原方程有兩個不相等的

8、實根。所以，原方程有兩個不相等的實根。說明說明：解這類題目時，一般要先把方程化為一般形式，求出，然后對進行計算，使的符號明朗化，進而說明的符號情況，得出結論。1、不解方程，判別方程的根的情況 課前熱身課前熱身1.(2008年年西寧市西寧市)若關于若關于x的一元二次方程的一元二次方程mx2-2x+1=0有有實數根，則實數根，則m的取值范圍是的取值范圍是 ( ) A.m1 B. m1且且m0 C.m1 1 D. m1且且m0D2.(2008年年昆明昆明)已知關于已知關于x的一元二次方程的一元二次方程x2+2x+k=0有有實數根，則實數根，則k的取值范圍是的取值范圍是 ( ) A.k1 B.k1 C

9、.k 1A3.(2008年年桂林市桂林市)如果方程組如果方程組 只有一個實只有一個實數解，那么數解，那么m的值為的值為 ( ) A. -3/8 B.3/8 C. -1 D.-3/4Ax x3 3y ym m2 2x xy y2 2 4.(2008年年南通市南通市)若關于若關于x的方程的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有兩個相等的實數根，則有兩個相等的實數根，則k= .25.(2008年年上海市上海市)關于關于x的一元二次方程的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判別式的值為其根的判別式的值為1，求，求m的的值及該方程的根。值及該方程的根。解：解：=-(3m-1)2

10、-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2 (m-1)2=1,即即 m12， m20(二次項系數不為二次項系數不為0，舍去，舍去)。當當m=2時，原方程變為時，原方程變為2x2-5x+30，x3/2或或x=1. 典型例題解析典型例題解析【例【例1】 已知關于已知關于x的方程的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，當當m為何非負整數時：為何非負整數時：(1)方程只有一個實數根；方程只有一個實數根；(2)方程有兩個相等的實數根；方程有兩個相等的實數根；(3)方程有兩個不等的實數根方程有兩個不等的實數根.當當m-2=0即即m=2時時 x=3/2,成立

11、成立m=3 m=0，1 【例【例2】 已知關于已知關于x的方程的方程x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0有兩個相等的實根，且滿足有兩個相等的實根，且滿足2a-b=0.(1)求求a、b的值；的值；(2)已知已知k為一實數，求證：關于為一實數，求證：關于x的方程的方程(-a+b)x2+bkx+2k-(a+b)=0有兩個不等的實根有兩個不等的實根.a=1,b=2將將a=1,b=2代入方程得代入方程得x2+2kx+2k-3=0.又又=4k2-4(2k-3)=4(k-1)2+80方程有兩個不等的實根方程有兩個不等的實根. 【例【例3】 (2008年年黑龍江黑龍江)關于關于x的方程的方程kx2+

12、(k+1)x+k/4=0有兩個不相等的實數根有兩個不相等的實數根.(1)求求k的取值范圍；的取值范圍；(2)是否存在實數是否存在實數k，使方程的兩個實數根的倒數和等于使方程的兩個實數根的倒數和等于0?若存在，求出若存在，求出k的值；若不存在，說明理由的值；若不存在，說明理由.k-1/2，且且k0. 不存在，理由略。不存在，理由略。 【例【例4】 已知：已知：a、b、c是是ABC的三邊，若方程的三邊，若方程 有兩個等根，試判斷有兩個等根，試判斷ABC的形狀的形狀.a a2 2) ) c cb b( ( 2 2x xc cb b2 2axax2 22 22 2 解：利用解：利用 0，得出，得出a=

13、b=c.ABC為等邊三角形為等邊三角形. 典型例題解析典型例題解析【例【例5】 已知：已知：m、n為整數，關于為整數，關于x的二次方程的二次方程x2+(7-m)x+3+n=0有兩個不相等的實數解，有兩個不相等的實數解，x2+(4+m)x+n+6=0有兩個相等的實數根，有兩個相等的實數根，x2-(m-4)x+n+1=0沒有實數根，求沒有實數根，求m、n的值的值. 典型例題解析典型例題解析解：解：方程方程x2+(4+m)x2+n+6=0有兩個相等的實根，有兩個相等的實根， (4+m)2-4(n+6)=0，即，即m2+8m-8=4n.又方程又方程x2+(7-m)x+3+n=0有兩個不等的實根，有兩個

14、不等的實根，方程方程x2-(m-4)x+n+1=0無實根，無實根，(7-m)2-4(3+n)0，(m-4)2-4(n+1)0.把把4n=m2+8m-8代入上兩式得代入上兩式得 m為整數為整數m=2，從而，從而n=3.22224545m m161620201.1.求判別式時，應該先將方程化為一般形式求判別式時，應該先將方程化為一般形式. .2.2.應用判別式解決有關問題時，前提條件為應用判別式解決有關問題時，前提條件為“方程是一元二次方程方程是一元二次方程”，即二次項系數不為，即二次項系數不為0.0. 課時訓練課時訓練1.(2008年年大連大連)一元二次方程一元二次方程x2+2x+4=0的根的情

15、況的根的情況是是 ( ) A.有一個實數根有一個實數根 B.有兩個相等的實數根有兩個相等的實數根 C.有兩個不相等的實數根有兩個不相等的實數根 D.沒有實數根沒有實數根D2.(2008年年安徽安徽) 方程方程x2-3x+1=0的根的情況是的根的情況是( ) A.有兩個不相等的實數根有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根有兩個相等的實數根 C. 沒有實數根沒有實數根 D.只有一個實數根只有一個實數根A3.(2008年年長沙長沙)下列一元一次方程中，有實數根的是下列一元一次方程中，有實數根的是 ( ) A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0C 4

16、.(2008年年湖北黃岡湖北黃岡)關于關于x的方程的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有實數有實數根，則下列結論正確的是根，則下列結論正確的是 ( ) A.當當k=1/2時，方程兩根互為相反數時，方程兩根互為相反數 B.當當k=0時，方程的根是時，方程的根是x=-1 C.當當k=1時，方程兩根互為倒數時，方程兩根互為倒數 D.當當k1/4時，方程有實數根時，方程有實數根D5.若一元二次方程若一元二次方程 有兩個相等的實數根，有兩個相等的實數根，那么那么 的值為的值為 ( ) A.-4 B.4 C. 1/4 D.- 1/4 C 課時訓練課時訓練0 0n nx xm mx x2 2 m mn n

17、.240)2(0) 1 (084) 3(2. 122的值兩個整數根，求，且為整數，且方程有若等的實數根，求證方程有兩個不相若的一元二次方程已知關于mmmmmxmxx能力提升能力提升) 12(4m49121240mm.12410,20,1225124,10491212122121mmxxmmxxmmmm或綜上所述此時時，當，此時時，當必為完全平方數，為奇數，要使根為整數方程的屬性確定方程的屬性確定.2)2()3(;2)()2() 1 ()0(022)23(. 221221212myxxxymyxxxxmmxmmxx滿足什么條件時，的取值范圍圖象回答：當自變量的條件下，利用函數的在，求這個函數的解

18、析式的函數，且是關于若，其中、別為設方程的兩個實數根分的實數根求證方程有兩個不相等的一元二次方程已知關于方程的屬性確定方程的屬性確定2)2(mmmmx2)2()23(2mxx1, 12121xx 1211111424222aaaaaaa，求、已知.) 12(01. 3232的值，求已知xxxx.2)(,2,253322的值求其中、已知nmnmnmmnnmaaxxxxxxxxx，求若的兩個根，是一元二次方程、設24)35(03461222221221北師大版北師大版北師大版北師大版._36320103002009. 1題意可列方程為，由增長率為公頃，設綠化面積平均加到年底增年增加，到兩年綠化，綠化面積逐公頃，經過年底已有綠化面積某城市x.81100. 2分率相同，求兩次降價的百已知兩次降價的百分率元為元降降價，每瓶零售價由某藥品經過兩次連續的3.某廠生產一款工藝品某廠生產一款工藝品.已知這款工藝品的生產成本為已知這款工藝品的生產成本為60元。元。經過市場調研發現：該款工藝品每天的銷售量經過市場調研發現：該款工藝品每天的銷售量y(件件)與售價與售價x(元元)之間存在著如下表所示的一次函數關系之間存在著如下表所示的一次函數關系利潤利潤=(售價售價-成本價成本價) 銷售量銷售量(1)求銷售量求銷售量y(件件)