1、1.2能得到直角三角形嗎（一）教學目標(一)教學知識點1.掌握直角三角形的判別條件.2.熟記一些勾股數.3.能對直角三角形的判別條件進行一些綜合應用.(二)能力訓練要求1.用三邊的數量關系來判斷一個三角形是否為直角三角形，培養學生數形結合的思想.2.通過對直角三角形判別條件的研究，培養學生大膽猜想，勇于探索的創新精神.(三)情感與價值觀要求1.通過介紹有關歷史資料，激發學生解決問題的愿望.2.通過對勾股定理逆定理的綜合應用，培養學生學習數學的興趣，克服困難的勇氣；體驗勾股定理及其逆定理在生活實際中的實用性.教學重點直角三角形的判別條件及其應用；它可用邊的關系來判斷一個三角形是否是直角三角形。教

2、學難點用直角三角形的判別條件判斷一個三角形是否為直角三角形及綜合應用直角三角形的知識解題.教學方法引導啟發法.教師通過介紹古埃及人作直角的方法啟發引導學生通過已知數據作出三角形，并用測量的方法、探索、歸納用三角形三邊關系判定直角三角形的條件.教具準備一根有13個等距的結的繩子.投影片兩張：第一張：例題(記作§1.2 A)；第二張：隨堂練習(記作§1.2 B).教學過程.創設問題情境，引入新課師下面我們來總結一下直角三角形有哪些性質.生直角三角形有如下性質：有一個內角為直角；兩個銳角互余；兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.生在含30°角的直角三角形中，30°

3、;的角所對的直角邊是斜邊的一半.師很好，反過來，一個三角形，滿足什么條件就是直角三角形呢？生如果有一個內角是直角，它就是直角三角形.生如果有兩個角的和是90°，那么這個三角形也是直角三角形.師我們可以注意到這些同學都是通過角的關系判定直角三角形的.前面，我們剛學習了勾股定理，知道一個直角三角形的兩直角邊a，b，斜邊c具有一定的數量關系即a2+b2=c2.我們是否也可以不用角，而用三角形三邊的關系來判定它是否為直角三角形呢？.講述新課1.古代埃及人作直角師其實，古代埃及人就曾用三角形三邊的關系作出了直角.下面我們一同演示一下.我這兒有一根繩子，上面有13個等距的結，把這根繩子分成等長的

4、12段.下面我讓一個同學同時握住繩子的第(1)個和第(13)個結，再讓兩個同學分別握住繩子的第(4)個結和第(8)個結，(如下圖所示)拉緊繩子，大家觀察可以發現什么？生得到一個直角三角形，在第(4)個結處的角是直角.師我們再來看在第(1)個結到第(4)個結是3個單位長度即AC=b=3；同理BC=a=4；AB=c=5.因為32+42=52，所以a2+b2=c2.那么是不是三角形的三邊滿足a2+b2=c2，就可以得到一個直角三角形呢？我們不妨再找幾組數試一試.2.做一做下面四組數分別是一個三角形的三邊長a，b，c：5，12，13；7，24，25；8，15，17；5，6，7.(1)這四組數都滿足a2

5、+b2=c2嗎？(2)分別以每組數為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？師生共析(1)52+122=169=132；72+242=625=252；82+152=289=172；52+62=6172.所以這四組數，前三組滿足a2+b2=c2，而最后一組不滿足.師以5，12，13這一組數為例，誰能告訴我如何作出以它們為邊長的三角形呢？生作法：作線段AB=5個單位長度；分別以A、B為圓心，12個單位長度，13個單位長度為半徑畫弧，交于線段AB的同旁于一點C；連結AC、BC.ABC就是以5、12、13為邊長的三角形.師很好.下面同學們就以小組為單位來完成第(2)小題.(讓學生親自動

6、手作三角形，并用量角器量出各個內角，然后小組內交流，從而獲得一個三角形是直角三角形三邊的條件)生我們通過作三角形，測量三角形三個內角發現：前三組數滿足a2+b2=c2，作出的三角形都是直角三角形；而后一組數不滿足a2+b2=c2，作出的三角形不是直角三角形.師你能告訴我在你作出的直角三角形中，哪一邊是斜邊嗎？哪一個角是直角嗎？生前三組數中，較長的邊是斜邊，斜邊所對的角是直角.師從“做一做”中你能猜想到什么結論呢？生如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.師剛才，我們只是從特例中猜想出來上面的結論.可能有的同學會產生疑慮，果真如此嗎？下面我用前面的知識解釋一

7、下這個結論，大家就會知道，我們的猜想是正確的.已知：在ABC中AB=c， BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2.求證：c=90°證明：作ABC，使C=90°，BC=a，AC=b，那么AB2=a2+b2(為什么？).由已知條件a2+b2=c2，可得AB2=c2，即AB=c.(AB0，c0)在ABC和ABC中有BC=a=BC，CA=b=CA，AB=c=AB，則ABCABC.所以C=C=90°.現在大家沒有疑慮了吧.同時也明白了古埃及人那樣做的道理.實際上，古代中國人也曾利用相似的方法得到直角.直至科技發達的今天人類已跨入21世紀，建筑工地上的工人師傅們仍然離不開“

8、三四五放線法”.“三四五放線法”是一種古老的規范操作.所謂“歸方”，就是“做成直角”，譬如建造房屋，房角一般總是成90°，怎樣確定房角的縱橫兩線呢？如下圖，欲過基線MN上的一點C作它的垂線，可由三名工人操作：一人手拿布尺或測繩的0和12尺處，固定在C點；另一人拿4尺處，把尺拉直，在MN上定出A點；再由一人拿9尺處，把尺拉直，定出B點.于是連結BC，就是MN的垂線建筑工人用了3，4，5作出了一個直角，能不能用其他的整數組作出直角呢？生可以.例如7，24，25；8，15，17等.師是的.如果三角形三條邊滿足a2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數.那么滿足條件的勾股數有多少組呢？它們是如

9、何形成的？我們的先人數學家劉徽和希臘數學家曾相繼提出了表示所有勾股整數組的方法.下面我們來了解一下這方面的情況.3.讀一讀師同學們可以打開課本P11，閱讀“讀一讀”勾股數組與費馬大定理.(讀一讀介紹了尋找勾股數組的一種方法以及由此引發的一個重要數學問題費馬大定理)現在我們就來嘗試驗證其中提供的求勾股數組方法的合理性.即求證：m2n2，m2+n2，2mn(mn，m，n是正整數)是直角三角形的三條邊長.師生共析要證明它們是直角三角形的三邊，首先應判斷這三條線段是否組成三角形，然后再用勾股定理的逆定理即直角三角形的判定條件來判斷它們是否是一個直角三角形的三邊長.證明：mn，m、n是正整數.(m2n2

10、)+(m2+n2)=2m22mn.即(m2n2)+(m2+n2)2mn.又因為(m2n2)+2mn=m2+n(2mn)而2mn=m+(mn)0，所以(m2n2)+2mnm2+n2，由此可知， 這三條線段可組成三角形.又因為(m2n2)2+(2mn)2=m4+4m2n22m2n2+n4=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2.則(m2n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2.由直角三角形的判定條件，可知：這三條線段組成的三角形是直角三 角形.師你能用這個方法找到5組勾股數嗎？生可以，如下表mnm、n是正整數勾股數組m2n22mnm2+n2m=2，n=1345m=3，n=251213m=4，n=

11、372425m=5，n=494041m=3，n=18610下面我們利用直角三角形判定的條件來看幾個例題.4.例題講解出示投影片(§1.2A)例1一個零件的形狀如下圖所示，按規定這個零件中A和DBC都應為直角.工人師傅量出了這個零件各邊尺寸，那么這個零件符合要求嗎？分析：這是一個利用直角三角形的判定條件解決實際問題的例子.解：在ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以ABD是直角三角形，A是直角.在BCD中，BD2+BC2=25+144=169=132=CD2，所以BCD是直角三角形，DBC是直角.因此這個零件符合要求.隨堂練習1.(課本P11)下列幾組數能否作為直角三角

12、形的三邊長？說說你的理由.(1)9，12，15； (2)15，36，39；(3)12，35，36； (4)12，18，22.解：根據直角三角形的判定條件.(1)92+122=152；(2)152+362=392，所以(1)、(2)兩組數可以作為直角三角形的三邊；但(3)122+352362，(4)122+182322，所以(3)(4)兩組數不能作為直角三角形的三邊.2.(補充練習)出示投影片(§1.2 B)(1)判斷以a=10，b=8，c=6為邊組成的三角形是不是直角三角形.解：因為a2+b2=100+64=164c2即a2+b2c2，所以由a，b，c不能組成直角三角形.請問：上述解

13、法對嗎？為什么？(2)已知：在ABC中，AB=13 cm，BC=10 cm，BC邊上的中線AD=12 cm.求證：AB=AC.(1)解：上述解法是不對的.因為a=10，b=8，c=6，b2+c2=64+36=100=102=a2.即b2+c2=a2.所以由a，b，c組成的三角形兩邊的平方和等于等三邊的平方，利用勾股定理的逆定理可知a，b，c可構成直角三角形，其中a是斜邊，b、c是兩直角邊.評注：在解題時，我們不能簡單地看兩邊的平方和是否等于第三邊的平方，而應先判斷哪一條邊有可能作為斜邊.往往只需看最大邊的平方是否等于另外兩邊的平方和.(2)證明：根據題意，畫出圖形.AB=13 cm，BC=10

14、 cm.AD是BC邊上的中線BD=CD=5 cm.在ABD中，AD=12 cm，BD=5 cm，AB=13 cm，AB2=169，AD2+BD2=122+52=169.所以AB2=AD2+BD2.則ADB=90°.ADC=180°ADB=180°90°=90°.在RtADC中，AC2=AD2+CD2=122+52=132.所以AC=AB=13 cm.課時小結這節課我們歸納推理出直角三角形判定條件，并用它去解決生活實際中的問題，最后我們還介紹了求勾股數組的方法.課后作業1.課本P12，習題6.3；2.熟記幾組常用的勾股數.活動與探究給出一組式子：

15、32+42=52，82+62=102，152+82=172，242+102=262(1)你能發現上面式子的規律嗎？請你用發現的規律，給出第5個式子；(2)請你證明你所發現的規律.過程：觀察式子，要注意這些式子中不變的形式，如等式兩邊每一項的指數為2，等式左邊是平方和的形式，右邊是一個數的平方.很顯然，我們發現的規律一定是“( )2+( )2=( )2”的形式.然后再觀察每一項與序號的關系.如32，82，152，242與序號有何關系，可知32=(221)2，82=(321)2，152=(421)2，242=(521)2；所以我們可推想，第一項一定是(n21)2.(其n1，n為整數).同理可得第二

16、項一定是(2n)2，等式右邊一定是(n2+1)2(其中n1，n為整數).(1)解：上面的式子是有規律的，即(n21)2+(2n)2=(n2+1)2(n為大于1的整數).第5個式子是n=6時，即(621)2+(2×6)2=(62+1)2化簡，得352+122=372.(2)證明：左邊=(n21)2+(2n)2=(n42n2+1)+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=右邊.證畢. 板書設計1.2 能得到直角三角形嗎（一）一、古埃及人作直角的方法二、做一做下面三組數能作出直角三角形嗎？1.7，24，25；2.8，15，17；3.5，6，7；三、由特例猜想：直角三角形用邊的關系來判定的

17、條件：如果三角形三邊長為a，b，c且滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.四、1.勾股數.2.求勾股數的方法：m2+n2，m2n2，2mn(其中mn，m、n是正整數).3.讀一讀.五、例題(略)六、隨堂練習同步練習(一)選擇題1.小紅要求ABC最長邊上的高，測得AB=8 cm，AC=6 cm，BC=10 cm，則可知最長邊上的高是A.48 cmB.4.8 cmC.0.48 cmD.5 cm答案：B2.滿足下列條件的ABC，不是直角三角形的是A.b2=c2a2B.abc=345C.C=ABD.ABC=121315答案：D3.在下列長度的各組線段中，能組成直角三角形的是A.5，6，7B

18、.1，4，9C.5，12，13D.5，11，12答案：C4.若一個三角形的三邊長的平方分別為：32，42，x2則此三角形是直角三角形的x2的值是A.42B.52C.7D.52或7答案：D(注意有兩種情況()32+42=52，()32+7=42)5.如果ABC的三邊分別為m21，2 m，m2+1(m1)那么A.ABC是直角三角形，且斜邊長為m2+1B.ABC是直角三角形，且斜邊長2 為mC.ABC是直角三角形，但斜邊長需由m的大小確定D.ABC不是直角三角形答案：A(二)解答題1.已知a，b，c為ABC三邊，且滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.試判斷ABC的形狀.解：由已知得

19、(a210a+25)+(b224b+144)+(c226c+169)=0(a5)2+(b12)2+(c13)2=0由于(a5)20，(b12)20，(c13)20.所以a5=0，得a=5；b12=0，得b=12；c13=0，得c=13.又因為132=52+122，即a2+b2=c2所以ABC是直角三角形.2.閱讀下列解題過程：已知a，b，c為ABC的三邊，且滿足a2c2b2c2=a4b4，試判定ABC的形狀.解： a2c2b2c2=a4b4 c2(a2b2)=(a2+b2)(a2b2) c2=a2+b2 ABC是直角三角形問：上述解題過程，從哪一步開始出現錯誤？請寫出該步的序號：_；錯誤的原因

20、為_；本題正確的結論是_.答案： a2b2可以為零 ABC為直角三角形或等腰三角形相關文章費爾馬費爾馬出身于法國的一個皮革商人家庭.由于家境富裕，父親特意給他請了兩個家庭教師，不入校門在家里接受系統教育，小時候的費爾馬雖稱不上是神童，可也算聰明.費爾馬父親比較開通，不寵愛孩子，因此，費爾馬學習十分努力，文科理科都不差，不過他最喜歡的功課還是數學.費爾馬是一個不追名逐利的人，因此平時比較清閑，空余時間他常看些古書，尤其愛看古希臘的數學名著.他不時做些題目，還作些數學研究，與當時的數學名家，如帕斯卡、笛卡兒、華利斯等人通信，交流心得體會.由于他刻苦鉆研，又敢于進行創造性的思考，所以取得的成果很多.

21、他與笛卡兒并列為解析幾何的發明者，又與帕斯卡一起分享開創概率論的榮譽.微積分雖說是由牛頓和萊布尼茲最后完成的，但大家公認費爾馬為他們作了奠基工作.不過，費爾馬最顯赫的業績是近代數論，也是近代數論的開創者.說起數論，費爾馬還是由于讀了丟蕃圖的算術一書，才開始產生興趣.在這本書中，丟番圖敘述了他是“怎樣將一個平方數(z2)，拆成兩個平方數(x2與y2)之和”的，也即敘述了他對方程x2+y2=z2的求解過程.費爾馬非常善于聯想，他讀了丟番圖的這段文章后，由此及彼地提出了一連串的同類問題：“能否將一個立方數(z3)表示為兩個立方數( x3與y3)之和；將一個四次方數(z4)表示為兩個四次方數(x4與y

22、4)之和；這一連串問題歸結起來就是：方程xn+yn=zn是否存在正整數解，其中n是大于或等于2的正整數.當n=2時，方程z2=x2+y2，這是被丟番圖和劉徽解決了的勾股方程.十世紀時，阿爾柯坦第曾對n=3的情況，即對方程z3=x3+y3提出過不存在正整數解的結論.顯然這都是特殊情況.一旦費爾馬所提出的問題得到解決，那么這些特殊情況也就隨之解決.費爾馬在丟番圖著作的空白處寫道：“我已經發現了這個結論的一個奇妙的證明，由于這里篇幅太小，寫不下”.費爾馬果真證明了他自己提出的結論嗎？在費爾馬死后人們提出了疑問，這個定理公布以后，引起了各國數學家的關注.他們圍繞著這個定理頑強地探索著，試圖證明它.19

23、95年，數學家懷爾斯終于證明了費爾馬大定理，解開了這個困惑世間無數智者300多年的謎.1.2能得到直角三角形嗎（二）教學目標：知識與技能掌握直角三角形的判別條件，并能進行簡單應用； 教學思考進一步發展數感，增加對勾股數的直觀體驗，培養從實際問題抽象出數學問題的能力，建立數學模型解決問題會通過邊長判斷一個三角形是否是直角三角形，并會辨析哪些問題應用哪個結論情感態度與價值觀敢于面對數學學習中的困難，并有獨立克服困難和運用知識解決問題的成功經驗，進一步體會數學的應用價值，發展運用數學的信心和能力，初步形成積極參與數學活動的意識重點和難點重點運用身邊熟悉的事物，從多種角度發展數感，會通過邊長判斷一個三角形是否是直角三角形，并會辨析哪些問題應用哪個結論難點會辨析哪些問題應用哪個結論課前準備標有單位長度的細繩、三