1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第四講 圖形描繪 曲率授課題目：§3.6函數圖形的描繪§3.7曲率教學目的與要求：1.掌握函數作圖的方法和步驟，會描繪簡單函數的圖形2.了解并會計算曲率及曲率半徑教學重點與難點：重點：曲率及曲率半徑的定義難點：曲率及曲率半徑的應用講授內容： 一、函數圖形的描繪將前面關于函數性態(tài)討論的結果應用到函數的作圖上，可以把函數的圖形畫得比較準確 利用導數描繪函數圖形的一般步驟如下； 第一步 確定函數的定義域及函數所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等）； 第二步 求和及和的根或和不存在的點，用這些點把函數的定義域劃分成幾個部分區(qū)間； 第三步 根據和符號，確定函

2、數圖形的升降和凹凸，極值點和拐點；第四步 找水平漸近線 或鉛直漸近線 或第五步 找特殊點（與坐標軸交點、的間斷點、極值點、拐點），有時還需要補充一些點.例1 畫出函數的圖形解 (1)定義域為()， ，的零點為、1； 的零點為，(2)將點，1由小到大排列，依次把定義域()劃分成下列四個部分區(qū)間： ()， (3)列表如下：（）（）（）1（）+00+0+的圖形極大拐點極大 (4) 當時，；當時，；(5) 算出處的函數值： （），（），（）. 適當補充一些點如計算出 ，就可補充描出點（），點（0，1）和點（）.結合（3）、（4）中得到的結果，畫出的圖形（圖4）.圖4例5 描繪函數的圖形解(1)定義域為

3、（）.(2)是偶函數，只討論上該函數的圖形（3） ，令 ； . 令 列表：0（0，1）1（）00+的圖形極大拐點(4)由于，所以圖形有一條水平漸近線(5)算出，又，得函數圖形上的三點，和.畫出函數在上的圖形最后，利用圖形的對稱性，便可得到函數在上的圖形(圖5) 圖5二、弧微分 作為曲率的預備知識，先介紹弧微分的撅念 設函數在區(qū)間()內具有連續(xù)導數在曲線上取固定點作為度量弧長的基點(圖1)，并規(guī)定依增大的方向作為曲線的正向對曲線上任一點，規(guī)定有向弧段的值(簡稱為弧)如下：的絕對值等于這弧段的長度，當有向弧段的方向與曲線的正向一致時，相反時顯然，弧是的函數：，而且是的單調增加函數下面來求的導數及微

4、分圖1 設為()內兩個鄰近的點它們在曲線上的對應點為(圖320)，并設對應于的增量，弧的增量為那末.于是 ， .令取極限，由于時，這時弧的長度與弦的長度之比的極限等于1，即，又，因此得由于是單調增加函數，從而根號前應取正號，于是有 這就是弧微分公式三、曲率及其計算公式 我們直覺地認識到；直線不彎曲，半徑較小的圓彎曲得比半徑較大的圓厲害些，而其他曲線的不同部分有不同的彎曲程度，例如拋物線在頂點附近彎曲得比遠離頂點的部分厲害些 在工程技術中，有時需要研究曲線的彎曲程度例如，船體結構中的鋼梁，機床的轉軸等，它們在荷載作用下要產生彎曲變形，在設計時對它們的彎曲必須有一定的限制，這就要定量地研究它們的彎

5、曲程度為此首先要討論如何用數量來描述曲線的彎曲程度 在圖2中可以看出，弧段比較平直，當動點沿這段弧從移動到時，切線轉過的角度不大，而弧段，彎曲得比較厲害，角就比較大圖2圖3 但是，切線轉過的角度的大小還不能完全反映曲線彎曲的程度例如，從圖3中可以看出，兩段曲線及盡管切線轉過的角度都是，然而彎曲程度并不相同，短弧段比長弧段彎曲得厲害些由此可見，曲線弧的彎曲程度還與弧段的長度有關 按上面的分析，我們引入描述曲線彎曲程度的曲率概念如下圖4 設曲線C是光滑，在曲線C上選定一點作為度量弧的基點設曲線上點M對應于弧，在點M處切線的傾角為(這里假定曲線C所在的平面上已設立了坐標系)，曲線上另外一點對應于弧，

6、在點處切線的傾角為(圖4)，那未，弧段的長度為，當動點從M移動到時切線轉過的角度為我們用比值，即單位弧段上切線轉過的角度的大小來表達弧段的平均彎曲程度，把這比值叫做弧段的平均曲率、并記作，即.類似于從平均速度引進瞬時速度的方法，當時(即時)，上述平均曲率的極限叫做曲線C在點M處的曲率，記作K，即.在存在的條件下，K也可以表示為 . (2) 對于直線來說切線與直線本身重合當點沿直線移動時，切線的傾角不變(圖5)，而從而，這就是說，直線上任意點M處的曲率都等于零，這與我們直覺認識到的“直線不彎曲”一致圖5圖6設圓的半徑為由圖6可見在點M、處圓的切線所夾的角等于中心角但，于是,從而.因為點M是圓上任

7、意取定的點，上述結論表示圓上各點處的曲率都等于半徑r的倒數，這就是說，圓的彎曲程度到處一樣，且半徑越小曲率越大，即圓彎曲得越厲害 在一般情況下，我們根據(2)式來導出便于實際計算曲率的公式設曲線的直角坐標方程是，且具有二階導數(這時連續(xù)，從而曲線是光滑的)因為，所以 ， ，于是 .又由(1)知道 .從而，根據曲率K的表達式(2)，有 (3)設曲線由參數方程,給出，則可利用由參數方程所確定的函數的求導法,求出及，代入（3）便得 （4）例1 計算等邊雙曲線在點(1，1)處的曲率解 由得 .因此， 把它們代人公式(3)，便得曲線在點(1，1)處的曲率為 .例2 拋物線上哪一點處的曲率最大?解 由，得

8、 ，代人公式(3)，得 .因為K的分子是常數，所以只要分母最小，K就最大容易看出，當，即時，K的分母最小，因而K有最大值而所對應的點為拋物線的頂點因此，拋物線在原點處的曲率最大在有些實際問題中，同1比較起來是很小的（有的工程書上把這種關系記成<<1，可以忽略不計這時，由 ，而有曲率的近似計算公式 .這就是說，當時，曲率K近似于.經過這樣簡化后，對一些復雜問題的計算和討論就方便多了四、曲率圓與曲率半徑 設曲線在點M()處的曲率為K().在點M處的曲線的法線上，在凹的一側取點D，使.以D為圓心為半徑作圓(圖7)，這個圓叫做曲線在點M處的曲率圓，曲率圓的圓心D叫做曲線在點M處的曲率中心，

9、曲率圓的半徑做曲線在點M處的曲率半徑圖7按上述規(guī)定可知，曲率圓與曲線在點M有相同的切線和曲率，且在點M鄰近有相同的凹向因此，在實際問題中，常常用曲率圓在點M鄰近的段圓弧來近似代替曲線弧，以使問題簡化按上述規(guī)定，曲線在點M處的曲率與曲線在點M處的曲率半徑有如下關系： .這就是說；曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為例數例3 沒工件內表面的截線為拋物線(圖8)現在要用砂輪磨削其內表面問用直徑多大的砂輪才比較合適？圖8解 為了在磨削時不使砂輪與工件接觸處附近的那部分工件磨去太多，砂輪的半徑應不大于曲線上各點處曲率半徑中的最小值由本節(jié)例2知道，拋物線在其頂點處的曲率最大，也就是說，拋物線在其頂點處的曲率半徑最小因此，只要求出拋物線在頂點O(0，0)處的曲率半徑由 ，而有 把它們代人公式(3)