1、第五節兩個重要極限教學目的：1使學生理解極限存在的兩個準則；2使學生掌握利用兩個重要極限求極限的方法;教學重點：利用兩個重要極限求極限教學過程：一、講授新課：準則I:如果數列*丫0，20滿足下列條件：(i)對Vn,yn<Xn<Zn；(ii)limyn=limzn=an、二二n一)二二那么，數列xn的極限存在，且limxn=a。n)：:證明：因為limyn=limzn=a,所以對>0,3N1>0,當nN1時，有yn-a<s,nCn)pc即a-s<yn<a+s,對三N2,當nN2時，有Zna|<E,1Pa-s<Zn<a+s,又因為ynMX

2、n<Zn,所以當n>N=MaXNi,N2,有aW<yn<Xn<Znca十名，即有：a名<xn<a+£,即xn-a七名,所以limxn=a。n-JC準則I'如果函數f(X),g(x),h(x)滿足下列條件：A(i)當xwU(X0,r)(xAM)時，有g(x)Mf(x)Mh(x)。(ii)當XTX0(XT8)時，有g(x)TA,h(x)TA。那么當XTX°(XT咐時，f(X)的極限存在，且等于A。第一個重要極限：lim止=1x0X作為準則I'的應用，下面將證明第一個重要極限：lim型2=1x-PX證明：作單位圓，如下圖：

3、設x為圓心角/AOB1sin21:二-x21：tan2=1<sinx又因為所以并設<cos（因為0:二xJI<2當x改變符號時,cosx=1-(1-cosx)2x：cosx<1而limcosx0=lim1=1x0【例11limxQcsinxarcsin【例2】sinxlimxx'x-：limx【例3】limX0tan3x【例4】limx1-cos0<x<三見圖不難發現:2sinx<x<tanx,sinx二cosx:二：1所以上不等式不改變方向）cosx,sinx及1的值均不變,sinx:二：:12x=1-2sin()12=limcosx=

4、12x-2二14limx0limt0sin(二limx-0=limx0sinxsint-x)sin3x3x22sinSOBSS扇形AOBSS/OD，即。故對滿足0JI的一切limtpsintsintlim=-1t-二/t_0.t1一二311=3cosx(一)21lim2x0xsin一2準則R:單調有界數列必有極限如果數列Xn滿足:%<X2<<Xn<,就稱之為單調增加數列;若滿足：X1>X2>>Xn>,就稱之為單調減少數列；同理亦有嚴格單增或單減，以上通稱為單減數列和嚴格單減數列。如果三M，使得：Xn«M(n=1,2,)，就稱數列Xn為有

5、上界;若三M,使得：Xn之M(n=1,2,),就稱Xn有下界。準則:單調上升，且有上界的數列必有極限。準則：單調下降，且有下界的數列必有極限。注1:由前已知，有界數列未必有極限，若加單調性，就有極限。2:準則H,H',可推廣到函數情形中去，在此不一一陳述了1第二個重要極限：lim(1)=eX一'X作為準則II的一個應用，下面來證明極限lim(1+1)X是不存在的。XX先考慮X取正整數時的情形:1lim(1-)nn對于b>a>0,有不等式:n1n1b-an<(n+1)b)即:b-an1n1n/b-a<(n+1)b(b-a),即：an1.bn(n-1)anb

6、11(i)現令a=1+,b=1+一,顯然b>a>0n1n(n+1)a-nb=n+1+1-(n+1)=1將其代入，所以(1+')n*>(1+n,所以n1n(1+1門為單調數列。n1(ii)又令a=1,b=1+一2n11=(n-1)a-nb=n-1-(n)=一22一一.11所以1.(11)nJ2n21n1=2.(1,)=4.(1-)2n2n即對-n,儲4，又對"(1+.)2J(1+六廠<41c所以(1+一)n是有界的。n并使用e來表示，1_，4由準則ii或n知ii(m+-)n存在，Xf：nInlim(1)=e=2.718281828459045x-)二二關于此極限存在性的證明,書上有不同的方法，希望同學自己看!1我們可證明：lim(1-x)xX-J二二=lim(1+2)n=e,具體在此不證明了,n'n書上也有，由1證明過程知：lim(1x)xx-)二二1=lim(1+x)x=e。x.3:指數函數及自然對數y=lnx中的底就是這個常數e。【例11lim(1x)：2x-)x1=lim(1)x_：l：22122=lim(1一)2【例2】1lim(1x)xx-0=lim(1z)z-j