1、一級倒立擺的系統分析一、 倒立擺系統的模型建立如圖1-1所示為一級倒立擺的物理模型小 車導 軌xlF擺桿圖1-1 一級倒立擺物理模型對于上圖的物理模型我們做以下假設：M：小車質量m：擺桿質量b：小車摩擦系數l：擺桿轉動軸心到桿質心的長度I：擺桿慣量F：加在小車上的力x：小車位置：擺桿與垂直向上方向的夾角：擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）圖1-2是系統中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：實際倒立擺系統中的檢測和執行裝置的正負方向已經完全確定，因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向為矢量正方向。FNPMXBxXmgNPI圖1

2、-2 小車及擺桿受力分析分析小車水平方向受力，可以得到以下方程：Mx-x- (1-1)由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到以下方程：N=md2dt2(x+lsin) (1-2)即： N=mx+mlcos-ml2sin (1-3)將這個等式代入式（1-1）中，可以得到系統的第一個運動方程：M+mx+bx+mlcos-ml2sin=F (1-4)為推出系統的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得出以下方程：P-mg=md2dt2(lcos) (1-5)P-mg=- mlsin-ml2cos (1-6)利用力矩平衡方程可以有：-Plsin-Nlcos=I (1-7)注意：此方程中

3、的力矩方向，由于=+，cos=-cos，sin=-sin，所以等式前面含有負號。合并兩個方程，約去P和N可以得到第二個運動方程：I+ml2+mglsin=-mlxcos (1-8)設=+，假設與1（單位是弧度）相比很小，即1，則可以進行近似處理：cos=-1，sin=-，（ddt）2=0。用u來代表被控對象的輸入力F，線性化后的兩個運動方程如下：I+ml2-mgl=mlxM+mx+bx-ml=u (1-9)假設初始條件為0，則對式（1-9）進行拉普拉斯變換，可以得到：I+ml2ss2-mgls=mlX(s)s2M+mXss2+bXss-mlss2=U(s) (1-10)由于輸出為角度，求解方程

4、組的第一個方程，可以得到：Xs=I+ml2ml-gs2s (1-11)或改寫為：sXs=mls2I+ml2s2-mgl (1-12)如果令v=x,則有：sV（s）=mlI+ml2s2-mgl (1-13)如果將上式代入方程組的第二個方程，可以得到：M+mI+ml2ml-gsss2+bI+ml2ml+gs2ss-mlss2=U(s) (1-14)整理后可得傳遞函數：sU(s)=mlqs2s4+bI+ml2qs3-M+mmglqs2-bmglqs (1-15)其中 q=M+mI+ml2-(ml)2假設系統狀態空間方程為：X=AX+Bu y=CX+Du (1-16)方程組對x,解代數方程，可以得到解

5、如下：x=xx=-I+ml2bIM+m+Mml2x+m2gl2IM+m+Mml2+I+ml2IM+m+Mml2u=-mlbIM+m+Mml2x+mgl(M+m)IM+m+Mml2+mlIM+m+Mml2u (1-17)整理后可以得到系統狀態空間方程：xx=01000-I+ml2bIM+m+Mml2m2gl2IM+m+Mml2000010-mlbIM+m+Mml2mgl(M+m)IM+m+Mml20xx+0I+ml2IM+m+Mml20mlIM+m+Mml2u y=x=10000010xx+00u (1-18)由（1-9）的第一個方程為：I+ml2-mgl =mlx對于質量均勻分布的擺桿可以有：

6、I=13ml2于是可以得到：13ml2+ml2-mgl =mlx化簡可以得到：=3g4l+34lx (1-19)設X=x, x, , ，u=x則有：xx =010000000001003g4l0xx+01034lu y=x=10000010xx+00u (1-20)以上公式推理是根據牛頓力學的微分方程驗證的。在實際系統中模型參數如下：M 小車質量 1.096 Kgm 擺桿質量 0.109 Kgb 小車摩擦系數 0 .1N/m/secl 擺桿轉動軸心到桿質心的長度 0.2 5mI 擺桿慣量 0.0034 kg*m*m將上述參數代入，就可以得到系統的實際模型。擺桿角度和小車位移的傳遞函數：sXs=

7、0.02725s20.0102125s2-0.26705 (1-21)擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數為：sV（s）=0.027250.0102125s2-0.26705(1-22)擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數：sU（s）=2.35655ss3+0.0883167s2-27.9169s-2.30942(1-23)以外界作用力作為輸入的系統狀態方程：xx =01000-0.08831670.629317000010-0.23565527.82850xx+00.88316702.35655uy=x=10000010xx+00u (1-24)以小車加速度作為輸入的系統狀態方程：xx =0

8、100000000010029.40xx+0103uy=x=10000010xx+00u （1-25）綜述可知以上就是一級倒立擺系統的模型建立過程，最終得出了實際模型的傳遞函數和狀態空間方程。二、 系統模型的轉換以小車加速度作為輸入的系統狀態方程為例，將系統狀態方程轉化為能控標準型，能觀標準型和約當標準型。由系統狀態方程可知：A=0100000000010029.40B=0103C=10000010D=001、 轉化為能控標準型定出系統特征多項式： a=poly(A) a =1.0000 -0.0000 -29.4000 0 0由此可知a0=0, a1=0, a2=-29.4, a3=0。 b

9、3=C*Bb3 = 0 0b2=C*A*B+a3*C*Bb2 = 1 3 b1=C*A2*B+a3*C*A*B+a2*C*Bb1 = 0 0 b0=C*A3*B+a3*C*A2*B+a2*C*A*B+a1*C*Bb0 = -29.4000 0所以系統的能控標準型為：x1x1 11=0 10000 1000010029.40x1x111+ 0001uy=-29.40100030x1x111+00u2、 轉化為能觀標準型利用對偶性求出能觀標準型為：x1x1 11=0 00010 0001029.40010x1x111+ 0-29.4003300uy=0001x1x1113、 轉化為約當標準型首先求

10、出系統的特征值以及相應的特征向量：A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0A = 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 29.4000 0 V,D=eig(A)V = 0 0 1.0000 -1.0000 0 0 0 0.0000 0.1814 -0.1814 0 0 0.9834 0.9834 0 0D = 5.4222 0 0 0 0 -5.4222 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0其中D表示A全部特征值構成的對角陣，V表示相對應的特征向量。求出變換矩陣V的逆： V1=inv(V)Warning: Matrix i

11、s close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.720635e-292. V1 = 1.0e+291 * 0 0 0.0000 0.0000 0 0 -0.0000 0.0000 0.0000 2.4948 0 0 0 2.4948 0 0計算變換后的系數矩陣： A1=V1*A*VA1 = 5.4222 0 0 0 0.0000 -5.4222 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0B1=V1*BB1 = 1.0e+291 * 0.0000 0.0000 2.49482.4948所以系

12、統的約當標準型為：x1x1 11=5.4222 0000-5.4222 0000000000x1x111+ 1.0e+291 *002.49482.4948u三、 開環階躍響應曲線及分析利用已知的狀態空間方程來進行階躍響應分析，在MATLAB中可以寫入以下命令： A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0； B=0;1;0;3； C=1 0 0 0;0 1 0 0； D=0;0； step(A,B,C,D)可以看出，在單位階躍響應作用下，小車位置和擺桿角度都是發散的。四、 判斷系統穩定性判斷系統的穩定性可以利用根軌跡來判斷，已知實際系統的開環傳遞函數為：sV（s）

13、=0.027250.0102125s2-0.26705，則其根軌跡圖形可以利用MATLAB鍵入如下命令來完成。 num=0.02725; den=0.0102125 0 -0.26705; z=roots(num)z = Empty matrix: 0-by-1 p=roots(den)p = 5.1136 -5.1136 rlocus(num,den)可以看出系統沒有零點，有兩個極點，并且有一個極點為正。由畫出的根軌跡圖形可以看出閉環傳遞函數的一個極點位于復平面的右半平面，這就意味著系統是一個不穩定的系統。五、 能控性和能觀性分析對于系統的能控性和能觀性分析，可以利用能控性秩判據和能觀性秩判

14、據。能控性秩判據：對于n維連續時間線性時不變系統，構成能控性判別矩陣：Qc=BABAn-1B，則系統完全能控的充要條件為：rankQc=rankBABAn-1B=n能觀性秩判據：對于n維連續時間線性時不變系統，構成能觀性判別矩陣：Qo=CCACAn-1，則系統完全能觀的充要條件為：rankQo=rankCCACAn-1=n利用MATLAB鍵入以下命令來進行判斷： A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0; B=0;1;0;3; C=1 0 0 0;0 1 0 0; D=0;0; Qc=B A*B A2*B A3*BQc = 0 1.0000 0 0 1.0000

15、 0 0 0 0 3.0000 0 88.2000 3.0000 0 88.2000 0 R1=rank(Qc)R1 = 4 Qo=C;C*A;C*A2;C*A3Qo = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R2=rank(Qo)R2 = 2可以看出，系統的完全能控矩陣的秩等于系統的狀態變量維數，系統的輸出完全能觀測矩陣的秩等于系統輸出向量y的維數，所以系統是可以完全能控完全能觀測的系統。六、 根軌跡校正以及仿真已知系統的傳遞函數：Gs=0.027250.0102125s2-0.26705設計控制器使得調整時間ts=0.5s(2%)；最大超調Mp10%。計算整理可得超前校正裝置的零點和極點分別為：zc=-6.92214；zp=-26.4568，由此可得校正后的傳遞函數：Q=GsKs=K(s+6.92