1、Thursday, March22, 2012Mechanics of Materials第七章 復雜應力狀態分析 7-1-2T×R T=£IP WtttmaxThursday, March22, 2012Mechanics of Materials§7-1 一點應力狀態的描述及其分類軸向拉壓時橫截面上的正應力一、N(x) N(x) s s=£sP A1、軸力引起的正應力 2、正應力在橫截面上均布二、 圓軸扭轉時橫截面上的剪應力dj T×rt =G×r×=r dx I T PM MMxxz中性軸Thursday, March

2、22, 2012Mechanics of Materials第七章復雜應力狀態分析7-1-3三、 矩形截面梁彎曲時y橫截面上的應力第七章 復雜應力狀態分析 7-1-4y彎曲的強度條件：MxQ£ssmaxsy =I smaxz=×=Iz 2 WzThursday, March22, 2012Mechanics of MaterialsMy M h M第七章 復雜應力狀態分析 7-1-5Thursday, March22, 2012Mechanics of Materials四、 軸向拉壓時斜截面上的應力1、應力均勻分布Pa N N NP P= cosa=scosaa A Aa

3、2、正應力、剪應力sa P sa=pasina=scos2aP at ta =pacosa=scosasinaa結論：在一點上， 沿不同的方向應力的大小不一樣， 破壞發生在應力較大的方向上。 s 第七章 復雜應力狀態分析 7-1-6一一點的應力狀態五、-單元體三個面上的應力表示六、yysxt xyszx過一點有無數的截面， 過這一點的各個截面上的應力的集合，稱為這一點的應力狀態（State of Stress at a GivenPoint） 。一一點應力狀態的表示1、 單元體-構件內的點的代表物， 是包圍被研究點的無限小的幾何體。 常用的是正六面體。2、單元體的性質1）單元體面上，應力均布；

4、2）平行面上，應力相等。七、 普通狀態下的應力表示Thursday, M九arc個h22分, 2量012，六個獨立Mec。hanics of Materiazls章s 第復y雜應力狀態分析 7-1 -7八、剪應力互等定理ymA mA txyThursday, March22, 2012Mechanics of Materials黃色： txy sx綠色： tyzsz txy蘭色： txzz x九、例子：原始單元體的表示1、軸向拉壓P PA s A sx x2、圓軸扭轉 tyx第七章 復雜應力狀態分析 7-1-8十、應力狀態分類1、基本概念1）主平面：2）主應力：A txys1s1三個主應力：

5、s1、 s2、 s3。規定： s1 > s2 > s3Thursday, March22, 2012Mechanics of Materials剪應力等于零的平面-主平面作用在主平面上的正應力t yxA依數學可以證明， 通過一點， 總可以找到三個相互垂直的平面，在其上剪應力等于0，而只有正應力的作用。-主應力狀態第七章 復雜應力狀態分析 7-1-92、分類As1s1s3s3t yxA txys1s s32 Mechanics of MaterialsThursday, March22, 20121） 單向應力狀態： 一般情況下， 三個主應力同時存在，若只有一個主應力不等于0，而其他

6、兩個為0， 則稱為單向應力狀態。A2） 二向應力狀態： 三個主應力中， 若有二個主應力不等于0，而另一個為0，則稱為二向應力s 狀態。2 s3A s1 s1 A s1 s 第七章 復雜應力狀態分析 7-1-10s3 s2As1s1t xys2Thursday, March22, 2012Mechanics of Materials3） 三向應力狀態： 三個主應力中， 若三個主應力都不等于0，則稱為三向應力狀態，亦稱為空間應力狀態。ysxs3十一一、 應力狀態分析的目標和意義尋找構件可能發生破壞的點及其方向 （最大正應力、 最大剪應力、最大線變形、最大變形比能的方向），并以此為條件建立復雜應力時

7、的強度判據第七章 復雜應力狀態分析 7-1-11十一sys2ys1sx應力狀態分析s txyzz xs3Thursday, March22, 2012Mechanics of Materials、 應力狀態分析的目標和意義第七章 復雜應力狀態分析 7-1-12一txysxThursday, March22, 2012Mechanics of Materials§7-3 二向應力狀態分析、 二向應力狀態的一般形式ysy sytyxtyxtxy sxsx sxdyxdx dzz sy sy第七章 復雜應力狀態分析 7-1-13二、 任意斜截面上的應力yysytyxnsytxya sx x

8、xy sx sxx1、符號規定：1） sx、 sy： 分別為x、 y的截面上的正應力，外法向為正2） txy、 tyx： 截面上的剪應力，繞塊體順時針轉動為正2、任意斜截面，與x軸成a角，將單元體分成二部分，取其中sx t sy syzThursday的, M一arc部h 22分, 2為012研究對象， Me考chan慮ics其of平Mat衡eria。lsysytyx第七章復雜應力狀態分析 7-1-14dAcosa ntAxy santxya sx xasxsxtaB CdAsinasysyThursday, March22, 2012Mechanics of Materials3 取圖示部分

9、為研究對象 作受力分析 列平衡方程 dA 、 ， ，1）斜截面AC的面積dA，則平面AB面積dAcosa，平面BC面積dAsina；2）斜截面上的應力sa、 ta ，符號規定如上述；3） 列平衡方程。SFt=0SFn=0sadAdA × cosa ×cosa + txydA × cosa × sina-sxdA ×sin a ×cosa - sydA ×sin a ×sin a=0+ tyxtxy = tyxMechanics of MaterialsThursday, March22, 2012dAcosa n

10、第七章復雜應力狀態分析 7-1-15tAxy sas a dAxtaB C tdAsina sy= 0 tadA+ txydA× sina× sina+ sydA× sina× cosa- txydA × cosa × cosa - sxdA × cosa × sinaBdAsina2a-t sinxy2asa=-sysin2a + txy cos2ata=Thursday, March22, 2012Mechanics of MaterialsdAcosa n第七章復雜應力狀態分析 7-1-16tAxy sas

11、a dAxtaC tsy4、結論：sx + sy sx -sy cos2 + 2sx2已知sx、 sy、 txy，可求任意斜截面上的應力sa 、 ta第七章 y復雜應力狀態分析 7-1-17在(0,2p)內滿足上式要求有四個a,它們為:j sytyxt ixya0 sxxsxjsy主單元體)2 + t2xy1arctan( 2txy )a=-0 2s -sx3 y,p , , pa02+a0 p+a0 2 +a0a0有正負之分別! i(設sxsy， 且a0 為正值,則表示如圖)2）主應力的大小：siüï sx+sy (sx-syý=±sjþ&#

12、239; 2 2判斷 若sxsy，則a0對應的是最大正應力smax；：Thursday, March 22,若20s12x<sy， 則 a0Me對chan應ics的of是Mat最eri小als正應力 smin。第七y章 復雜應力狀態分析 7-1-184、主應力狀態圖形表示sytyxj(設sxsy， 則a0 對應的是i最大正應力si)sxx x5、最大、最小剪應力及位置ijdta=0 sy令da主單元體s -s得 tg2 x ya1 =2txyti üþýtjThursday, March22, 2012s -s)2 2 ± i j+txy =2s

13、-s±( x y =2Mechanics of Materials txy a0 圖示截面上的應力。（單位： Mpa）20a03030sx = 30MPa sy = 50MPa txy = 20MPa a=1200-解：sx +sy sx - sys=+a 2 2cos2asin2a-txy30+ 5030-+ 250 cos2400( 20)sin2400 -=227.7(MPa)=30 - 50t = sin Thurasday, March222, 20120 =18.7(MPa)0240+ (-20) cos240 Mechanics of Materials第七章復雜應力狀

14、態分析 7-1-19例題1試用解析法確定圖示應力狀態下： n 50第七章 復雜應力狀態分析 7-1-2050解：1、計算主應力的大小及位置50MPa txy=20MPasx =s=t=Thursday, March22, 2012Mechanics of Materials例題2 試求圖示應力狀態的：1）主應力大小，主平面位置；2） 在單元體上繪出主平面位置及主應力方向；3） 面內的最大剪應力。 (單位Mpa）20第七章 復雜應力狀態分析 7-1-21ü sx+sý=þ 2sis -sy± ( x y2)2 + t2xys j50+0 (50-02 &#

15、177; 2)2 +202=íì=î57.0(MPa) - 7.0-0.8-7.0MPas3 =tg2 2txy 2´20a =-=-=0 50 0s -s -x ya 19.4o a¢ 70.6o=-=0 0Thursday, Marchs22,1 2=012 57.0MPMaechaniscs2of =Mate0rials第七章 復雜應力狀態分析 7-1-22Thursday, March22, 2012Mechanics of Materials3、作主應力狀態圖，表達主平面的位置及大小 20s3s >s s1x y 50a0=-1

16、9.4o對應最大的正應力 19.40-s3 s14、 面內的最大剪應力si-sj 57+7 主單元體tmax =32(MPa)2 2第七章 復雜應力狀態分析 7-1-234040解：1、計算主應力的大小及位置=-40MPa sy=-20MPa txy= 40MPa-sxThursday, March22, 2012Mechanics of Materials習作 試求圖示應力狀態的：1）主應力大小，主平面位置；2） 在單元體上繪出主平面位置及主應力方向；3）面內的最大剪應力。 20第七章 復雜應力狀態分析 7-1-24si)2 + t2xys jíì=î-471.24MPa=-ü sx+sy (sx-sy ý=±þ 2 2-40-20 -40+202 2= 2 ± ( 2 ) +4011.24 (MPa) - 71.24tg2 2txy 2´(-40)a=-=-=0 sx sy 40+20-a 38.0o a&#