1、精品文檔精品文檔第二章極限與連續(xù)第一講數(shù)列的極限教學內(nèi)容1 .數(shù)列極限的定義；2 .收斂數(shù)列的性質(zhì).教學目的與要求1 .理解數(shù)列的概念；2 .了解數(shù)列極限的的定義，在學習過程中要逐步加深對極限思想的理解;3 .理解收斂數(shù)列的有界性，極限的唯一性等性質(zhì).教學重點與難點極限概念及其計算，極限的精確定義，利用定義求極限.教學學時2§2.1數(shù)列的極限、數(shù)列數(shù)列按照一定順序排列著的無窮多個數(shù)，x1,x2,L,xn,L，記為xn,xn叫數(shù)列的般項或通項如:1,-1,n 1-1n 1，通項xn =( -1 )；n1n14n+：；Tn+(12,-,-,III,-,llh通項4=-23nn幾何上，數(shù)列

2、xn可視為數(shù)軸上一動點，它依次取數(shù)軸上點%?2,|11xn,|.從這個意義上講，數(shù)列又可視為定義在自然數(shù)集上的一個函數(shù)xn=f(n),當自變量依次取1,2,3,時，對應(yīng)的函數(shù)值就排成數(shù)列%.二、數(shù)列的極限直觀定義：極限是數(shù)列穩(wěn)定的變化趨勢./n414n：i-1,觀察數(shù)列2,4,川,一-Jib可見當n無限增大時，xn無限接近1；即當n無23n.1限增大時，xn與1的距離xn-1=一無限接近0；也即是說，當n無限增大時，xn與1的n距離可以任意小；即是說，無論事先給定一個怎樣小的正數(shù)，總可以在n無限增大的過程中,一1找到一個確定的N,在N項之后，距離xn-1=很小并保持比事先給定的那個正數(shù)更小.n

3、具體說來，當給定的正數(shù)為10時，N可取為大于10的整數(shù)；當給定的正數(shù)為10/時，N可取為大于100的整數(shù)；當給定的正數(shù)為104時，N可取為大于10000的整數(shù)；當給定o>Q時，N取大于|+1的整數(shù).精確定義(名N定義)：對數(shù)列xn,寸名A0,三N>0,當nAN時有xnA<6,則稱A為4的極限，記為limXn=A.此時亦說xn收斂于A,否則稱4發(fā)散.n.注1:8的理解，名是事先給定的正數(shù)，它具有兩重性.(1)任意性：這樣，才能保證Xn與A無限接近，即xn-A任意小.(2)相對固定性：只有這樣，才能由此找到N使xn-A<w.注2：N是什么數(shù)，怎樣找N,它與什么有關(guān)，是否唯一

4、？(1)N是數(shù)列中項數(shù)n的取值，故為某一正數(shù)，它由w確定.(2)找N的方法：由xnA<8出發(fā)解不等式得ngHWN2q8)(或N=Rn).不過，有時為了使不等式|xn-Ace,需要采取適當放大.要xn - A < ® ,只要g (n )< w即可.由此解出,x-AM|Mg（n）（nT）g（n尸0n>9（£）,取N至中（名）.(3)由N =四方知,N與有關(guān)，君越小，N越大.(4) N不唯一.若三N ,則數(shù)列%以A為極限的幾何解釋：N +1,N +2,| 都可以.定義xn - A幾何意義任取開區(qū)間 A- ；, A .；存在一點xNxn以后的點都有xn -

5、A(名例1用定義證明在(A-鞏A+名)內(nèi)，而之外只有有限個點一、 1 nmT0；limQ;xf 5n 25（3） 0.1 , 0.11 ,0.1110.111,的極限為.9證（1） xn - 0 =十 一°vn_ 1飛'一八一一 1一 1要Xn -0 < £ ,只要- < £ ,即n>,即可取Jn名-0 < 8.故 lim二=0. n(2)由 Xn2n -1 25n 25 5n 2 5n 2-2 r 2 _只要一 < w即n > 即可.故可以取 n,當n a N時N =Xn<®.故 lim 引二1(3)先

6、寫出數(shù)列通項1xn 一9111HI1 110n 一9|9|9-10n9 10n19 10n10n-1r ,1 r 一一只要一n <，即n > lg 即可.故取N =10；lg1 8，則當naN1xn -9n 二2sin 一問limn ：二 n二？2 3觀察極限;并且當w =10，時，求出N .(2)驗證;(3)求 N .解分三步：(1)2< nn 二2sin 一._ 一 _22Vs >0,要 xn0<6,只要一< & 即 n A nw2sin M=0.即可.故取N=.|2,當naN時，有Xn-0<6，所以lim8_n5= 2000 .(3)當君

7、=10"時，N=J-231,10三、收斂數(shù)列的性質(zhì)1.唯一性：若%收斂，則極限唯一.b-a證（反證法）設(shè)limxn=a,limxn=b，且a<b.取6=n_.n二2:Tim xn =a,故三N1,當 n >N1 時有 xn ncb-a口口ab-al<,即xn<,22b-aa+blimxn=b,.3N2,當naN2時有xn-b<,即xn>,5122abab取N=maxN1，N2,當n>N時，有“<,xn>同時成立.廣生矛盾.二a=b222.有界性定義對4,若三MA0,使對一切xn有xn|<M,則稱4有界，否則無界.定理若xn收

8、斂，則xn必有界.證設(shè)limxn=a,則Vea0,蟲>0,當nN時，有xnacs,從而有n衿xn=|xna+a£xna+a<8+a,取6=1，三N1>0,當nN1時，有xn<1+a,取M=maxx1,x2,|xN1,1+a,則對一切n有xn<M，xn有界.注意：有界是4收斂的必要條件，非充分條件.如4=1-1f有界，但非收斂推論：若改口無界，則板口一點發(fā)散.（反證法）作業(yè)：練習冊等3次第二講函數(shù)的極限教學內(nèi)容1 .自變量趨近無窮大時函數(shù)的極限；2 .自變量趨近有限值時函數(shù)的極限；3 .函數(shù)極限的性質(zhì).教學目的與要求1 .理解函數(shù)極限的定義，能在學習過程中

9、逐步加深對極限思想的理解2. 了解函數(shù)極限的性質(zhì)；3. 了解函數(shù)的左、右極限及其與函數(shù)極限的關(guān)系；4. 了解函數(shù)的左、右極限及其與函數(shù)極限的關(guān)系.教學重點與難點函數(shù)極限的概念教學時數(shù)2§ 2.2 函數(shù)的極限XT時的極限1 .樸素語言：如在XT8的過程中，函數(shù)值f(x)無限接近于確定常數(shù)A,那么A叫做函數(shù)f(x)當XTg時的極限.2.精確定義:V 名 >0,三X A0,當 X >X 時，都有 f(x)A<8,則 lim f x = AX j二二3.幾何意義:4.給定名0,怎樣找X方法：先化簡|f僅)一 A EEg(X ),然后由g(|x )注解出|x A中()，取 X

10、 =中0 )即可.5.證明舉例例：用定義證明1 X31lim 3-=一f ： 2x 21 x32x3113 :二-32xxVs >0,要1 x32x31只要Jx3rr1即x Al即可.品11+x 1取X = 3 l ,當網(wǎng)> X時就有33 & 一2x“231 x 1limz- =一x，2x32注：x T +9有定義:V® >0,5X >0 ,當 x>X 時，都有f (x ) A <君，則lim f x = A.x_J 二xt q 有定義：VWA0,三Xa0,當x<X時，都有f(x)-A<® ,則lim f x = A.

11、x j 一二同樣 lim f x = A :=x 二lim f x = lim f x = A.x二二x一j-二二二、xtx0時的極限1 .精確定義(名-6定義)若Vw>0,ms>0,當0<|xx0<6時，有f(xA<"則稱A為f(x)當xtx0時的極限.記作：limf(x)=慶或f(xA(xtx0)xx0注：6是一個小正數(shù)，它不是任意給定的，找a的方法與找n的方法類似.先化簡f(x)AMillWg(xx0|)Ig而單，要f(x)A<6,只要g(|xx)(注解出一(gT0),1x%<華(注).取6=中(W)，由此可知，6與&有關(guān),不唯

12、一.0<x-x0<6表示x0的去心鄰域.因為極限只注重xt%時f(x)TA,并不注重f(x堆x=x0時是否有意義，所以定義中加了x0可除外.2 .名-6定義的幾何解釋0%-3/九X極限的定義x-2 <-即可.3-2 <6 時，有 3x-2-4 <£.lim 3x-2)=4例 2 證明lim 1 -4xx -2 2x 1=2 ,并問? =?可以使得0 < x + < 6時有f (x)-2 <10，.3 .用定義驗證極限舉例例1證明的（3x2）=4.3x-2-4=3x-6=3x-2證（1）山_22x+1= 2x+1 =20,要f （x）2，

13、只要c 工10 < x +- <26 時有 f (x )-2 MJ.1 -4x2 lim = 2x . 1 2x 11,1”(2)當 6=10工時，d =-10 .所以，取 8=310f (x)-2 <104.例 3 證明當 x0 >0 時，lim xx =Jx0.Jx0x -x0xx0x - xo<6時有Vs >0,要1< 名,只要x x0 < w, x0x x0< Jx"名即可.所以為了保證 x>0,取6 = minx0，vx5則當0 < x -x04.左、右極限6 有卜x - vx7 <. lim x x

14、= xx0 .x jx。左極限：當x <x0,而xT x0時f （x Z A ,則稱A為xTx0的左極限.（精確描述）V 8 A0,三每A0 ,當x0 -6 < x < x0時，有l(wèi)im f x = A = f x0 - 0 = lim f x .x 網(wǎng) -xx0 -0右極限：當x Ax0 ,而xT x0時f （x Z A ,則稱A為xT（精確描述）V® >0,35 >0 ,當x0 <x<x0+6時，有f(x) A<w ,則記為x0的右極限.寸£>0,要3x24名，只要3x2<6，即也fX=A=fX00=x%fx.

15、左右極限與極限的關(guān)系:limfx=A：=fx0-0=fx00=A.則lim f (x)不存在.x2x_X0由此可知：f(x00,f(x0+0)至少有一個不存在或存在不等時,1x -1, ，例：已知f (x )=<0,x 1,x：:0,x=0,證明！嗎f(x尸存在.x0.證:limf(x)=lim(x-1)=-1,x_0-x_0-lim1ffx)=lim/x+1)=1,即xp.,xWxlimf(x產(chǎn)+f(x)x_0-x_0故limf(x峰存在.x-Q作業(yè)：練習冊第4次第三講極限的性質(zhì)和運算法則教學內(nèi)容1 .極限的性質(zhì)；2 .極限運算法則.3 .復合函數(shù)的極限教學目的與要求1 .了解極限的性

16、質(zhì)；2 .熟練掌握極限的四則運算法則教學重點與難點極限的性質(zhì)，熟練求解極限.教學時數(shù)4§ 2.3 極限的性質(zhì)和運算法則僅以函數(shù)當XTXo時的情況為例進行討論，其余的情形相類似.一、極限的性質(zhì)1 .極限的唯一性定理1(極限的唯一性)設(shè)limf(x)=A,又limf(x)=B,則有A=B.X)X0x)Xo2 .極限的局部有界性定理2(收斂數(shù)列的有界性)設(shè)limf(x)=A,則存在0>0,使彳#0<xx0父6時，恒X-JX0有f(x)WM(MA0是常數(shù))證明：3 .極限的局部保號性定理3如果limf(x)=A>0(或A<0).則存在X。的某一去心鄰域.在該鄰域內(nèi).有

17、X)X0f(x)>0(或f(x)<0).證明設(shè)A#.取正數(shù)給.根據(jù)極限的定義.對于這個取定的正數(shù).必存在著一個正數(shù).當0x。01M時，不等式|f(x)'<或工<f(X)<A+成立.因為A2.所以f(x)>0.定理1,如果limf(x)=A(A/0).則存在點x0的某一去心鄰域.在該鄰域內(nèi).有x01|f(x)|1網(wǎng).定理2如果在xo的某一去心鄰域內(nèi)f(x)囚(或f(x)<0),而且limf(x)=A.那么x兇A>0(或A0),證明：設(shè)f(x)50.假設(shè)上述論斷不成立.即設(shè)A<0,那么由定理1就有x0的某一去心鄰域.在該鄰域內(nèi)我刈<

18、;0.這與£(刈/的假定矛盾.所以哈0.、極限的運算法則設(shè)limf(x)=A,limg(x)=B,A,B有限，則有法則I：limf(x)±g(x)=limf(x)±limg(x)二A±B(可推廣到有限個)證由limf(x)=A,limg(x)=B，則f(x)=A+。，g(x)=B+B,且limu=0,limB=0f(x)±g(x)=(A±B)+(a±P),而lim(a±P)=0limf(x)_g(x)=A_B法則n：limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB(可推廣)，特別地，limcf(x)=cl

19、imf(x)=cA;limf(x)n=limf(x)n=An.4皿f(x)limf(x)A法則出：limB=0-g(x)limg(x)B法則IV:由f(x)之g(x)=limf(x)之limg(x)證記邛(x)=f(x)g(x)之0,由保號性即證.注意：應(yīng)用法則時，要特別注意條件limf(x),limg(x)存在，否則法則不能用11-，、例如：limxsin=limxlimsin=0(x).x)0xx0x0x注意：對有理整式(即多項式)求xtx0的極限，只要將x0代入函數(shù)中即可例如：lim(3x2x-5)=3121-5-1.x：1注意：對有理分式lim上區(qū)，只要Q(x0)=0,則lim以刈=以

20、2.若xx)Q(x)x>x0Q(x)Q(x0)Q(x0)=0,則法則不能用.2x-3，不能用商的法則例如：lim23,.lim(x25x+4)=15+4=0x1x-5x4x1x2-5x40由于lim-一5x=0.原式=sx12x-3-1x-2又lim-不能用商的法則，先消去零因子,x2x-6lim=limx?(x3)(x-2)x2x3例如:nnlim23nim3n-2=lim-n>二二-tn12.x-x1求斛lim-2x二2x-3x2解原式分子與分母同除以x2得到2x -x 1lim 2二 limx r二 2x2 -3x 2 x r二2.W馬x x111 - lim lim 2x

21、r二 x x 丁二 x23r22 - lim - lim xlx x j：: x1-0 02-0 0例1.求lim(2x-1)X1解lim(2x-1)=lim2x-lim1=2limx_1=2X1=1x1x-.1x_1x_.1討論：多項式的極限limP(x)=?x的提不：設(shè)多項式P(x)=a0xn+a1xn_L+xxx為n.則x >X0limP(x)=lim(a0xna1xn，a)=a0(lim x)nxx0nnJ+a1(limx)n4+,+an)=a0x。珀仇。+xxx%n=P(x。),xjx。例2.求limx2x3-1x2-5x3lim(x3-1)解：！嗎£=蕨不x3-1l

22、imx3Tim1x立x2(limx)3-1x2limx2-5limxlim3x)2x2x2(lim2x)2-52323-122103解limx3x3x2-9x-3例4.求lim-x1x解limx1二limx2二limx3(x-3)(x3)xj3x32x-32-5x41x2-5x412514c-=-=0.2x-321-3xmlxim(x+3)根據(jù)無窮大與無窮小的關(guān)系得討論：limx-12x3x2-5x4有理函數(shù)的極限limPx)=?x及Q(x)提示當Q(x0)#0時.1所職=吃.jxoQ(x)Q(xo)當Q(xo)=0且P(x0)#0時.lim黑田.x詼Q(x)(x殳0)約去當Qx。)=P(x0

23、)=0時.先將分子分母的公因式3x34x22例5求limx.二7x35x2-31解：先用x3去除分子及分母.然后取極限：3x34x22xm：:7x35x2-33-23=lim一尸3x-/5.5373x3例6求崛x字L解：先用x3去除分子及分母.然后取極限：32_±lim3x_2x_1=lim-x-xx3x1二2x3-x25x）二1523xx3親0例7.求粵2U3x2-2x-1解：因為lim,.x.12x3-x25=0.所以2x3-x2-5lim2xox一5二二x.3x2-2x-1討論:有理函數(shù)的極限xn.axn4,anAm：二b0xmaxm，,bm0n:mlima0xnaixnj1.

24、an:a0n=mxF：b0xmbixm4-一bmb0nm提示三、復合函數(shù)的極限定理6設(shè)函數(shù)u(x)當xtx0時的極限存在且等于a.即lim中(x)=a.但存在點x0的x>Xq某去心鄰域內(nèi)(x)：#a,又limf(u)=A.則復合函數(shù)f(x)當口X0時的極限也存在,且u.alimf(x)=limf(u)=A,XjXou_a證明(略)定理6'設(shè)lim或x)=a.在點X0的某去心鄰域內(nèi)(x)#a.又limf(u)=A.則復合函數(shù)XKou_af(x)當XTXo時的極限也存在.且limf隊X)=limf(u)=A.x囪ua把定理中l(wèi)im穴x)=a換成limcp(x)田或lim平(x)=o.

25、把limf(u)=A換成limf(u)=Ax_Xox_XoXj二:u>auj二二可類似結(jié)果作業(yè)：練習冊等5次第六講極限存在準則兩個重要的極限教學內(nèi)容1 .兩個極限存在準則(夾逼準則和單調(diào)有界法則)；2 .兩個重要的極限.教學目的與要求1 .掌握兩個極限存在準則(夾逼準則和單調(diào)有界法則)2 .熟練掌握極限的兩個重要的極限及其應(yīng)用.教學重點與難點掌握兩個極限存在準則，熟練掌握兩個重要極限及其應(yīng)用教學時數(shù)2§ 1.7 極限存在準則、兩個重要極限一、極限存在準則1、夾逼定理準則I(夾逼定理，兩邊夾準則)：如果 yn-Xn<Zn，n=1,2, nm/n=nmzn=a則limXn=a

26、.n:，證由limyn=limzn=a知，V*M0,NN2，當n'N1時有yna<*，當n之N2時有Znay名取N=ma乂Ni,心則當n之N時，有yn_a|<名，Zna<名同時成立即a&<yn<a+w,a-s<Zn<a+s,又yn<Xn<Zn,故當n之N時，有a名<yMxn<常+a,即xna<wlimxn=an-jc對于函數(shù)也有類似的準則.準則I':如果g(x)<f(x)Eh(x)；Dlimg(x)=limh(x)=A；則limf(x)=A.2.單調(diào)有界法則準則n：單調(diào)有界數(shù)列必有極限.（數(shù)列

27、收斂必有界，反之不真；但加上單調(diào)則收斂）該定理的證明超出了本書，下面只作幾何解釋如圖，X1應(yīng)且M極限準則二單調(diào)數(shù)列的點xn只可能沿一個方向移動，故趨勢也只可能有二：要么向右趨于無窮遠,要么趨于某一常數(shù)A.但已知數(shù)列有界，故上述情形一不可能發(fā)生，這就只有情形二，所以數(shù)列xn有極限.1+1 =e,(e = 2.718281828p x利用準則n可以證明第二重要極限：limx-j二這里只就證明思路與步驟說一下，詳細證明見書證明分三步完成：證x取正整數(shù)情況，即limi+3=e二n1l、nI1B1、將xn=1+I與xn由=J+比較得<nJIn+1jii、對xn適當放大為等比數(shù)列前n項之和，從而證明

28、xn<3.由準則nlimJi+-1存在，記為en,二n二、兩個重要的極限sinx1.lim1x,0x利用準則i可以證明下面的第一重要極限:.sinxlim=1.x0sinx/證先證lim=1.x一0x由于XT 0 +不妨設(shè)0<x<一.作單位圓并設(shè)圓心角/AOB=x2貝USAOB:二S扇形AOB:二SAODS2.AOB1=OABC21=sinx2S扇形AODOA2cAB1=OAOA21OAAD2tanx21sinx2即sinx<x<tanx,從而有<<-或cosxsinxcosxsinx<:二1.0<1-cosx=2sin2-,2l'

29、22§0(xt0。，sinx.lim£osx=1，lim=1x)0x_.0xsinx乂limx=-tlim-x)0xJ0*:1-'tlimxJ0sinx-1.般有公式：lim°sin(x)：(x)二1（表面特性sin口limx0tanx二網(wǎng)（sinxlimx)0tansinxlimx01-cosxcosx)=1.tgsinxsinxsinx,xlimx)02x2sin一22xJim2x)0.一xsin一（或者原式=sin2x1cosx）w）.lim 2n sinn1二4 ="m2n n.二_xsin萬2nx=x,x2nsinxd但lim-1一：x

30、2.limx.二：t,般情況,xj可得另外一種形式1lim1xxx_°h(x)limi1h(x)HPC(h(x)j1lim.。13：區(qū)-lim*x1-2x=lim1-2xx=lim1x_°x_°x_°(-2x)與_2elimxx-1(11)xlimxx.1x(1-)xxlim1LXf、.x例31x1.或者原式=lix二exlim：(-x)=e°=1.x已知lii=e4,則c=?.-c左=e2c=右，所以c=2.lnx一一普二?,(p°).令t=lnx.由此可推出：limxplnx=°,(p°);limxx°

31、;'x°'例求limx )01-cosx1 -cosx limz-= limx0X 2 X02 X2sin 2_XXsinsin=2lim22J0XX_XXsinsin二2lim2lim2XPXXpx221例求!im(1+t)t一-1斛令 t = 一，ljm(1 +t)1 X=lim (1 一) = e.f： X特別地有:若！imu(t)=0,u(t)#0=im(1+u(t)u(Je.作業(yè)：練習冊等6次第七講無窮大量與無窮小量教學內(nèi)容1 .無窮大量；2 .無窮小量；3 .無窮小量的比較.教學目的與要求1 .理解無窮小量與無窮大量的概念；2 .了解無窮小量與無窮大量的關(guān)

32、系，無窮小量與函數(shù)極限的關(guān)系；3 .熟練掌握無窮小的比較、等價無窮小量的性質(zhì)及一些常見的等價無窮小教學重點與難點熟練掌握無窮小的比較、等價無窮小量的性質(zhì)及一些常見的等價無窮小教學時數(shù)2§ 1.8 無窮大量與無窮小量一、無窮大量1 .定義：若VM>0,36>0,當0<|xX0|<6時有f(X，>M,則稱xtx0時,為無窮大量.記為limf(x)=°°(極限不存在).XX0注1：無窮大是滿足limf(x)=8的一個函數(shù)，并非很大的數(shù)XX0注2:無窮大也與極限過程有關(guān).2 .用定義證明無窮大量一1例證明lim=0x1x-1-M>0,要

33、1x -1>M ,只要 x -1 <證>M ，11即 lim=:.x 1 x -1二、無窮小量1 .定義若limf(x)=0(或limf(x)=0)，則稱f(x)當xtx0(xt)時為無窮xx0X；二小量.精確定義Vw>0,>0,當0<|xx0<6時，f(xj<8注1.無窮小量是以0為極限的函數(shù)，并非很小的數(shù).2.無窮小量與極限過程有關(guān).2.性質(zhì)：性質(zhì)1有限個無窮小之和為無窮小.性質(zhì)2有界函數(shù)與無窮小之積為無窮小.證設(shè)u(x)在x0某鄰域(xO-a公+61)內(nèi)有界，limCt(x)=0.則由定義，xjx03M>0,使對Vxe(x0-61,x

34、0+61附有u(xgM.II8由limc(x)=0知，V&>0J62A0,當0<x-x0<62時，口(x1<一.于是取XfMm=minfe1,S2,，則當0<xx0<S時有u(x制(xj=u(x卜(x)<M-=z.所以MxTx0時,u(x財x)為無窮小量.1一.sinx例如：lim=0,sinxW1,則lim=0.Txx*x推論1：常數(shù)與無窮小之積為無窮小.推論2:有限個無窮小之積也是無窮小.性質(zhì)3：limf&)=Auf(x)=A+s,其中l(wèi)im口=0.(此定理給出了極限和無x風)x風)窮小之間的關(guān)系)證匕)由1mf(x)=A知，V&a

35、mp;A0m6A0,當0<xx0|<a時，f(x)A<8.(c=)由 f (x )= A 知,令Ct=f(x)A,則有a<£.-.a是無窮小且f(x)=A+a.f(x)A=a,又lima=0,即Vs>0,36>0,當x-00 < x -x0 < 6時有a <匕則f (x)A(名.故 lim f(x)=A.3.無窮大量與無窮小量的關(guān)系lim1.fx=8alimYj)=0或limf(x)=0,f(x0alim一.一一1一，一證(:)Vs>0,由limf(x)=笛知，對M=,3d,當0<|xx0|<6有1一11w1f(

36、xi>M=,則<名，故lim=0.；|fxfx一1一一1一一.(u)VM>0,由lim=0,對名=一,三6A0,當0<xx0<6時，f(x)Mf(x|)>M ,所以 lim f(x)=8.三、無窮小的比較已知極限為0的函數(shù)為無窮小量，但它們趨于0的快慢程度往往不同，如叫 3x = 0，2但 lim =0,x 0 3x2limsinx=Qlimx=0,x0x0sinx13xlim=一，lim=:xw3x3x力x2故有必要比較一下它們的快慢，這里用階的概念來表示1 .定義：設(shè)lima=0,limB=0若limE=0,則稱P是比o（高階無窮小，記P=0Q）；ct若

37、limE=c¥0,則稱P與口同階；a若lim?=0（k#0）,則稱P是口的k階無窮小；aB若lim=1,則稱B與久等價，記Ba.C£如：xt0時，x2=0（3x）,sinx與3x同階，sinxx2 .等價無窮小在求極限中可作代換以簡化計算te理：右口a,BB,且lim存在，則lim一=lim.：'工、工''二.''證lim=lim=lim.：'：'、；、：'在使用中要注意：（1）要記準一些函數(shù)的等價無窮小；（2）代換時要么分子、分母起換，要么只換分子或者分母，要么代換分子或分母中的部分因子，不可代換加式.xt0

38、時，xsinxtgxarcsinxln(1+x)ex-1231+x1),12必1-cosx一x等.21XX-1limXpln(1x)XX2lim2X0Xx1limx-02或者原式=limx_02XXx(,1xx21)tgx-sinxx-xlim3二lim-3-=0X0sinxJ0x應(yīng)該是原式=lim1-cosXX0cosxsinx(X).2Xcosx當xt0時，x,sinx,tanx都是無窮小，因為sinxtanxlim=1,以及l(fā)imxqxX-0Xsinx1(二lim=1,X>0Xcosx所以，當xt0時，x-sinxetanx.當XT0時,limx_0ln(1-x)1=limln(1

39、x)xx_0所以，當limX>0eX-1(令u=eu=1.-1)=limu>0ln(1u)xt0時，x-ln(1+x)-ex-1.設(shè)a為實數(shù)，容易3證，(1x)1-1e1_1limX0Xe：1n1X一1二ln1x：=a-：sln1xx所以，當XT0時，(1+X)a-1CtX.作業(yè)：練習冊等7次第八講連續(xù)函數(shù)教學內(nèi)容1 .函數(shù)的連續(xù)與間斷；2 .連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性；3 .閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).教學目的與要求1 .理解函數(shù)在一點連續(xù)的概念；2 .了解函數(shù)在一點處的左、右連續(xù)概念以及函數(shù)在一個區(qū)間上連續(xù)的概念3. 會判斷函數(shù)間斷點及其類型；4. 了解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、

40、商的連續(xù)性，知道反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性；5. 知道連續(xù)函數(shù)的保號性；6. 了解初等函數(shù)的連續(xù)性；掌握用連續(xù)性計算初等函數(shù)的極限；7. 了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一一最大、最小值定理、有界性定理、零點定理和介值定理.教學重點與難點連續(xù)函數(shù)的概念，問斷點的分類；用連續(xù)性求極限、用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)證明一些問題教學時數(shù)4一、函數(shù)的連續(xù)性與間斷1、函數(shù)在一點的連續(xù)性定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在xo的某領(lǐng)域U(Xo,S)內(nèi)有定義記Ax=x-X0自變量增量Ay=y-yo=f(xo+Ax)-f(x0)函數(shù)增量若limAy=0,則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù).xQ幾何解釋：變量改變不大時，函數(shù)值也改變

41、不大是函數(shù)連續(xù)的本質(zhì)定義2設(shè)y=f(x)在xo的某鄰域U(xo,6)內(nèi)有定義，若limf(x)=f(xo),則稱x>xo函數(shù)y=f(x)在點xo處連續(xù).定義3(精確定義，了解)設(shè)函數(shù)y=f(x)在xo的某鄰域U(xo,每)內(nèi)有定義，寸8A。,Ao,當xxo|<6時，有f(x)-f(%)<成立，則稱函數(shù)y=f(x)在點xo處連續(xù).定義4左、右連續(xù)若f(xo-。)=f(xo),則稱函數(shù)f(x)在點xo處左連續(xù)；若f(xo+。)=f(xo),則稱函數(shù)f(x)在點xo處右連續(xù).從而可得函數(shù)連續(xù)的充要條件：limf(x)=f(%)=f(xo-o)=f(x°o)=f(xo)XT

42、。2、函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性設(shè)丫=f(x)在區(qū)間I上有定義，VxowI,若limf(x)=f(xo),則稱函數(shù)y=f(x)X>xo在區(qū)間I上連續(xù)；若I為f(x)的定義域，則稱函數(shù)y=f(x)為連續(xù)函數(shù).對閉區(qū)間而言，端點的連續(xù)性分指左、右連續(xù)注：對有理分式P(x),若Q(x0)=0則limP(x)Q(x)xxoQ(x)Px,故有理分式在其定義Q(x。)域內(nèi)連續(xù).前面還有l(wèi)im<x=%10",則4x在0,+b)內(nèi)連續(xù).x/0,用精確定義還可證明sinx,cosx在(_g,+=c)內(nèi)連續(xù).3、函數(shù)的間斷點(1)、定義：若函數(shù)y=f(x)在xo處不滿足連續(xù)性的三個條件之一，則稱函

43、數(shù)y=f(x)在點x0處不連續(xù)或間斷，x0為f(x)的間斷點或不連續(xù)點.(2)、類型第一類間斷點：(1) limf(x)=A#f(%)(含f(x0)不存在)，則x0為可去間斷點(可補充或xx0修改定義使其連續(xù))；(2)若f(x00)=A,f(x0+0)=B但A#B,則xO為跳躍間斷點.第二類間斷點：若f(x0-0)、f(x0+0)中至少有一個不存在，則稱x0為第二類間斷與八、.，i1如，振湯型sin,x0=0；x一,1無窮型,x°=1.x-1x1例1求f(x)的間斷點，并判斷其類型.x-1解x=±1時f(x)無定義，故±1為f(x)的間斷點x11當x=1時，iim

44、=*，=1x=1為f(x)的第一類可去間斷點x1x2-121此時若補充f(1)=一,則f(x)在x=1處連續(xù)2x7當x=1時，lim=片=g.x=1為f(x)的第二類無窮間斷點x2-1x-1,xY0例2討論f(x)=<0,x=0在x=0處的連續(xù)性.X+1,x0解limf(x)=lim(x-1)=一1,x01x)0-limJ(x)=lim(x+1)=1,二者不等xJ0x0.x=0為f(x)的第一類跳躍間斷點x,0 < x < 1例 3 討論 f (x) =« 4x2,1 .13-x,3 <<x<3的連續(xù)性.x ：:解定義域為0,y)當 xw0,1)時

45、，f(x)=x,連續(xù)；當 xw(1,3)時，f(x) =4x2,連續(xù)；當 xw(3,y)時，f(x) =13x,連續(xù);當x = 1時,當x =3時, 處連續(xù)縱上所述， f(10)=1, f(1+0) = 2, x=1 為 f (x)的第一類跳躍間斷點； f(3 0)=10, f(3+0)=10，且 f(3) = 10, f (x)在 x = 3f (x)在0,1) = (1,y)上連續(xù).xn -1例4研究f (x) =lim 的連續(xù)性，若有間斷點則判斷其類型 n "xn 1解先求f(x)的表達式：當x <1時,當x >1時,xn -1 f (x) =hm f：x 11 ;

46、 f(x)=nmT1 F x=1 當x =1時,f(x) =0;,(-1)n -1當 x=-1 時，f(x)=nm"不存在，即f (x)在x=-1處無定義 故卜1,x<1;f(x)=1,|x>1;0,x=1.下面討論f(x)的連續(xù)性：當x>1或x<d時，f(x)連續(xù)當x=1時，f(10)=1,f(1+0)=1,x=1為f(x)的第一類跳躍間斷點當x=1時，f(10)=1,f(1+0)=1,.x=1為f(x)的第一類跳躍間斷點.二、連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性1 .連續(xù)函數(shù)的四則運算定理3f(x),g(x)在x0處連續(xù)，則f(x)±g(x)、f(x

47、)g(x)、f兇(g(x0)00)都g(x)在x0處連續(xù).(可推廣)2 .反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性定理4單值單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)也是單值單調(diào)連續(xù)的證明略(見書).如，y=sinx在,上單值單調(diào)連續(xù)，其反函數(shù)y=arcsinx在-1,1上也是單值單調(diào)連續(xù)的定理5設(shè)有y=f(u),u=%x),若mcp(x)=a(極限存在)，limf(u)=f(a)(連xxoua續(xù)),則limf甲(x)=f(lim9(x)=f(a).x先X外證limf(u)=f(a),V©>0>0,當u-a時，有uaf(u)-f(a)|<z又lim5(x)=a，對上述，至>0，當0<xx0<a時，有中(x)a<州即0u-a<n,.Vs>0,當0<xx0<S時，有f(u)-f(a)s.即f(5(x)f(a)(缸艘f呼(x)=f(a).111如ljmln(1+x)x,y=ln(1+x)x由y=lnu,u=(1+x)x復合而成1lim(1 x)xlim ln u = 1 u elimln(1x)x=lnlimfl(1x)x=lne=1定理6設(shè)有y=f(u),u=9(x),若lim中(x)=邛(乂。)=u0,limf(u)=f(u0)J。u1u0則limf中(x)=f(邛(x0).(連續(xù)