1、與三角函數有關的幾何題例1、如圖3,直線經過。上的點，并且0,4= OB, CA= C8,。o交直線于E D,連接E3 CD（1）求證：直線力H是。的切線；（2）試猜想B3B£三者之間的等量關系，并加以證明；- Ilan Z CED =-八 4（3）若2 ,。的半徑為3,求的長.析解：（1）證明：如圖6,連接0C .圖7 0.4=05, CA=CB,:.0Cl AB.i/IH是。的切線.(2) BC2=BDXBE.”: ED 是直徑， ."ECD 好£E+£EDC 網又：N8C0+/OCD = 9O , AOCDODC, SCD".ADLDG垂

2、足為點m是AE的中RC RDBE B .BC2=BD >BE.I CD 1tan Z ( El) = - a = 一 2 , EC 2 .RD CD IJ ss -心BCDsAbec , BC EC 2設BD二鼠則BC = 2a .又 BC2=BDXBE,( 2x) 2=x(x+6解之，得 Ai = °, =.:BD= x>0,二" , 0A = 0B= BD+OD = 3 + 2 = 5.2、已知：如圖，/IB是O。的直徑，:I 切o。于點Cia a/j交©。于點e.(1)求證：BC EC ；4cos Z HEC =- (2)若5 ,求的長.cB3、

3、如圖，以線段 AB為直徑的。O交線段AC于點E,_1點，OM 交 AC 于點 D, / BOE=60 , cosC=2, BC=2 企.(1)求/ A的度數；(2)求證：BC是。的切線;(3)求MD的長度.分析：(1)根據三角函數的知識即可得出/ A的度數.(2)要證BC是。O的切線，只要證明 AB XBC即可.（3）根據切線的性質，運用三角函數的知識求出MD的長度.1解答：(1)解：/ BOE=60 , . . / A= 2/BOE=30 .1(2)證明：在 4ABC 中，: cosC=2, .-/ C=60 .又. / A=30° , . ABC=90 , . AB，BC. .

4、. BC 是。的切線. (3)解：.點 M是AE的中點，OM ± AE .在 RtAABC 中， BC=2炎，. . AB=BC?tan60 =2x/Sx/3=6.AB133.-OA= 2 =3,OD= 2oA= 2, .MD=2.點評：本題綜合考查了三角函數的知識、切線的判定.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上 某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可.4、如圖，已知 RtAABC和RtAEBC , / B=90° .以邊 AC上的點O為圓心、OA為半徑的。O 與EC相切，D為切點，AD / BC.（1）用尺規確定并標出圓心O;（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）求BC

5、的長.(3)若 AD=1 ,(2)求證：/ E=Z ACB ;/ V2tan/DAC 二 f2 ,分析：（1）若。O與EC相切，且切點為 D,可過D作EC的垂線，此垂線與 AC的交點即為 所求的O點.（2）由（1）知 ODLEC,則/ ODA、/ E 同為/ ADE 的余角，因此/ E=/ODA= / OAD , 而AD / BC,可得/ OAD= / ACB ,等量代換后即可證得/ E= / ACB .返（3）由（2）證得/ E=/ACB,即 tanZ E=tanZ DAC= 2 ,那么 BC=%AB ;由于AD / BC,易證得EADs EBC,可用AB表示出AE、BC的長，根據相似三角形

6、所得比例 線段即可求出 AB的長，進而可得到 BC的值.解答：（1）解：（提示：O即為AD中垂線與AC的交點或過D點作EC的垂線與AC的交點(2)證明：連接 OD. AD / BC , Z B=90° , . . / EAD=90C5 Z E+/ EDA=90,即/ E=90° - / EDA .又圓O與EC相切于 D點，OD ± EC . / EDA+ / ODA=90 ,即/ ODA=90 / EDA .又 OD=OA ,/ DAC= / ODA ,/ DAC= ZE.) AD / BC ,/ DAC= / ACB ,/ E= / ACB .DAV2(3)解：

7、RtADEA 中，tan/E=EA,又 tanZ E=tanZ DAC= 2 ,AB . AD=1 , . EA=爽.RtAABC 中，tan/ACB=BC, tanZ ACB=tan / DAC .AB送BC= 2, 可設 AB= V2x, BC=2x , AD / BC ,RtA EAD RtA EBC .EA AD 加 二.前二灰，即如十岳飛. .x=1 ,BC=2x=2點評：此題主要考查了切線的性質、直角三角形的性質、相似三角形的判斷和性質等重要知 識，能夠準確的判斷出 。點的位置，是解答此題的關鍵.D, DEL AC,垂足為 E.(1)求證：點D是BC的中點;如圖，在 4ABC中，A

8、B=AC ,以AB為直徑的半圓。交BC于點(2)判斷DE與。的位置關系，并證明你的結論;1(3)如果。的直徑為9, cosB= 3,求DE的長.分析：(1)連接AD,根據等腰三角形的性質易證；(2)相切.連接 OD,證明ODLDE即可.根據三角形中位線定理證明;解答：(1)證明：連接 AD. AB為直徑,AD ± BC . AB=AC ,(3)由已知可求 BD,即CD的長；又/ B=/C,在4CDE中求DE的長.1，cosC=3.在 CDE 中,80總，D是BC的中點;(2) DE是。的切線.證明：連接 OD. BD=DC , OB=OA , OD /AC . . AC IDE, O

9、DXDE.DE是。O的切線.1(3)解：AB=9 , cosB=3, BD=3 . . . CD=3 . AB=AC , . . / B=/C, ce=i, de= 7cd2- CE£=V32- 12=2V2點評：此題考查了切線的判定、解直角三角形等知識點，屬基礎題，難度不大.6、如圖以4ABC的一邊AB為直徑作。O,。與BC邊的交點D恰好為BC的中點，過點D作。的切線交AC邊于點E.(1)求證：DELAC;(2)若/ ABC=30 ,求 tan/BCO 的值.分析：(1)連接OD,根據三角形的中位線定理可求出OD/AC,根據切線的性質可證明DEXOD,進而得證.(2)過。作OFLB

10、D,根據等腰三角形的性質及三角函數的定義用OB表示出OF、CF的長，根據三角函數的定義求解.解答：(1)證明：連接OD. O為AB中點，D為BC中點， .OD/AC. . 口£ 為。的切線，DEXOD.，DE，AC.(2)解：過。作 OFLBD,則 BF=FD .在 RtABFO 中，/ B=30° ,W3FC=3BF= O OB.在 RtOFC 中,VsO OB . BD=DC , BF=FD ,£obtan / BCO=OF 3<3_±_ 近二二=點評：本題比較復雜，綜合考查了三角形中位線定理及切線的性質、三角函數的定義等知識 點，有一定的綜合

11、性.DO為圓心，OC長為半徑作圓，交 邊相切，切點為 F.7、如圖，在等腰梯形ABCD中，AD/BC. O是CD邊的中點，以BC邊于點E.過E作EHLAB,垂足為H .已知。O與AB(1)求證：OE/ AB ;1(2)求證：eh=2ab；若BE -4,求CE的值.分析：（1）判斷出/ B=/OEC,根據同位角相等得出 OE/AB;1 1連接 OF,求出 EH=OF= 2dC= 2AB .（3）求出EHBsDEC,根據相似三角形的性質和勾股定理解答.解答：（1）證明：在等腰梯形 ABCD中，AB=DC ,，/B=/C, OE=OC , ，/OEC=/C, . B=/OEC, . OE/ AB .

12、(2)證明：連接 OF. 二。O 與 AB 切于點 F, OFXAB , / EHXAB ,.OF/ EH ,又 OE/AB,.EH=OF ,二四邊形OEHF為平行四邊形,4 1. OF= 2cD= 2AB ,1e EH= 2AB .(3)解：連接 DE.CD 是直徑，DEC=90 ,貝 U/ DEC= Z EHB ,BH BE 又. / B=/C, EHBA DEC,CE=CD, BE= 4,設 BH=k ,貝U BE=4k , EH=V&E2 - BH' =*'】二k,BH BE 4k2恒.CD=2EH=2 V15k, . . CE=CD=2V15k= 15 .點評

13、：本題考查了圓的切線性質，運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓 心和切點，利用垂直構造直角三角形、矩形解決有關問題.8、如圖，等腰三角形 ABC中，AC=BC=10 , AB=12 .以BC為直徑作。O交AB于點D,交 AC于點G, DFXAC ,垂足為F,交CB的延長線于點 E.(2)求sin/ E的值.（1）求證：直線EF是。O的切線;分析：（1）求證直線 EF是。的切線，只要連接 OD證明ODLEF即可；（2）根據/ E=/CBG,可以把求sin/E的值得問題轉化為求 sin / CBG ,進而轉化為求 RtA BCG中，兩邊的比的問題.解答：（1）證明：方法1:連接OD

14、、CD.BC是直徑，CDLAB .AC=BC .D是AB的中點O為CB的中點， .OD/AC. DFXAC, ODXEF.，EF 是 O 的切線.方法2:因為 AC=BC ,所以/ A=/ABC,因為 / ADF=/EDB （對頂角）， OB=OD ,所以/ DBO= Z BDO ,所以 / A+/ADF= / EDB+/ BDO=90 . . . EF 是 O 的切線.(2)解：連 BG. BC 是直徑，/ BGC=90 .CD= Vac2 - AD2=j7102 - &2=8, .AB?CD=2SAABC=AC?BG,BG=:二105 . cg=45c2-喈)2二卷E BGXAC,

15、 DFXAC , . BG/ EF. . . / E=Z CBG , 14CG T 7 . sin / E=sin / CBG= BC 10 25.點評：考查切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點，再證 垂直即可.I9、如圖9,直線y=kx-1與x軸、y軸分別交與 B、C兩點，tan / OCB=2 .(1)求B點的坐標和k的值;(2)若點A (x, y)是第一象限內的直線 y=kx-1上的一個動點.當點A運動過程中, 試寫出4AOB的面積S與x的函數關系式；(3)探索:1當點A運動到什么位置時， AOB的面積是4 ;2在成立的，情況下，x軸上是否存在一點 巳 使4POA是等腰三角形.若存在，請寫出滿足條件的所有P點的坐標；若不存在，請說明理由【答案】解：(