1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載三角函數(shù)圖像變換及零點(diǎn)問題一、圖像變換知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典例題知識(shí)點(diǎn)1：平移變換：函數(shù)y = f(x +a)的圖象可由y=f(x)的圖象向(a>0)或向(a<0) 平移 個(gè)單位得到；函數(shù)y = f(x) +a的圖象可由函數(shù)y=f(x)的圖象向(a>0)或向(a<0)平移個(gè)單位得到知識(shí)點(diǎn)2:對(duì)稱變換：奇函數(shù)的圖象關(guān)于 對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于 軸對(duì)稱；f(x)與f( -x)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；f(x)與f(x)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；f(x)與一f( x)的圖象關(guān)于對(duì)稱；f(x)與f(2a x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；曲線f(x , y)=0與曲線f(2a x,2b y) =0

2、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；|f(x)|的圖象先保留f(x)原來在x軸 的圖象，作出x軸下方的圖象關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形，然后擦去x軸下方的圖象得到；f(|x|)的圖象先保留f(x)在y軸的圖象，擦去y軸左方的圖象，然后作出y軸右方的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形得到.知識(shí)點(diǎn)3：伸縮變換：函數(shù)y=f(ax) (a>0)的圖象可由y = f(x)的圖象沿x軸伸長(0<a<1)1 ,、或縮短()到原來的二倍得到:函數(shù)y = af(x) (a>0)的圖象可由函數(shù)y = f(x)的圖象沿y軸伸長a()或縮短()為原來的儕得到.(可以結(jié)合三角函數(shù)中的圖象變換加以理解)例1:題型1:考察函數(shù)圖像平移的法則1.

3、 (2009 北京)為了得到函數(shù)y=lg"3的圖象，只需把函數(shù)y = lgx的圖象上所有的點(diǎn)() 10A.向左平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度B.向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度C向左平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度D.向右平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度分析：把y=lg x3變形，可得y = lg -x3=lg(x+3)-1 ,函數(shù)圖像平移的法則，應(yīng)選 Co 1010題型2:考察函數(shù)圖像對(duì)稱變換的法則。例1:函數(shù)f(x)一x的圖象關(guān)于()xA. y軸對(duì)稱B.直線丫= x對(duì)稱 C .坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D.直線y = x對(duì)稱分析：: f(-x)=- 1+x

4、=-( 1-x)=f(x), f(x)是奇函數(shù)，即f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。應(yīng)選 Cx x例2:已知y=f(x)的圖象如圖所示，則 y = f(1x)的圖象為()分析：因?yàn)閒(1-x)=f(-(x-1)，故y=f(1-x)的圖象可以由y=f(x)的圖象按照如下變換得到：先將y=f(x)的圖象關(guān)于y軸翻折，得y=f(-x)的圖象，然后將y=f(-x) 的圖象向右平移個(gè)單億 即得y=f(-x+1)的圖象.另解：因?yàn)閒(x)與f(1-x)的函數(shù)圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱，所以應(yīng)選A24x +1 例3: 1. (2010 重慶)函數(shù)f(x) =4一1的圖象()2xA關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B .關(guān)于直線y = x對(duì)稱

5、 C .關(guān)于x軸對(duì)稱 D .關(guān)于y軸對(duì)稱分析：因?yàn)閒(x) =2x+2 x,因?yàn)閒( x)=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).所以f(x)圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱.應(yīng)選D題型3:考察函數(shù)圖像伸縮變換的法則 1例1: (2012 北樂海淀二模)為了得到函數(shù)y=2log2(x1)的圖象，可將函數(shù)y=log2x的圖象 上所有的點(diǎn)的()1A .縱坐標(biāo)縮短到原來的2 ,橫坐標(biāo)不變，再向右平移1個(gè)單位長度B.縱坐標(biāo)縮短到原來的-,橫2坐標(biāo)不變，再向左平移1個(gè)單位長度C橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移1個(gè)單位長度D.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移1個(gè)單位長度分析：根據(jù)函數(shù)圖像伸縮變換的

6、法則，首先由y=log2x的圖像，縱坐標(biāo)縮短到原來的-,得到2111y = 2log2x的函數(shù)，再將y = 2log 2x向右平移一個(gè)單包即可得到y(tǒng) = 2log 2(x 1)的圖像。應(yīng)選A二、函數(shù)零點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典練習(xí)題知識(shí)點(diǎn)1:函數(shù)零點(diǎn)的定義(1)對(duì)于函數(shù)y=f(x) ( xCD,把使 成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x) ( xCD)的零點(diǎn).(2)方程f(x)=0有實(shí)根？函數(shù)y=f(x)的圖象與 有交點(diǎn)？函數(shù)y=f(x)有知識(shí)點(diǎn)2:函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線， 并且有,那么函數(shù)y = f(x) 在區(qū)間 內(nèi)有零點(diǎn)，即存在cC(a,b),使得,這個(gè)

7、 也就是f(x) = 0的根.我們不妨.把這一結(jié)論稱為零點(diǎn)存題型1:函數(shù)零點(diǎn)的判斷例1:判斷函數(shù)y = ln x+2x 6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分析：判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)最常用的方法是令f(x) = 0,轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)，解出方程有幾個(gè)根，函數(shù)y = f(x)就有幾個(gè)零點(diǎn)，如果方程的根解不出，還有兩種方法判斷：方法一是基本方法，是利用零點(diǎn)的存在性原理，要注意參考單調(diào)性可判定零點(diǎn)的唯一性；方法二是數(shù)形結(jié)合法，要注意作圖技巧.解方法一設(shè) f(x) = ln x+2x 6,y= ln x和y = 2x 6均為增函數(shù)， .f(x)也是增函數(shù).又. fCl) =0+2-6=- 4<0, f(3) =ln 3&g

8、t;0, .f(x)在(1,3)上存在零點(diǎn).又f(x)為增函數(shù)， 函數(shù)在(1,3)上存在唯一零點(diǎn).方法二 在同一坐標(biāo)系畫出 y= ln x與y=6 2x的圖象，由圖可知兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù) y= ln x + 2x6只有一個(gè)零點(diǎn).例2:若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f (x+2) = f(x),且當(dāng)xC 0,1時(shí)，f (x)=x,則函數(shù)y=f (x) log3| x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.多于4個(gè)B. 4個(gè)C. 3個(gè)D. 2個(gè)答案B 由題意知f(x)是偶函數(shù)并且周期為 2.由f (x) log 3|x| =0,得f (x)= log 3| x| ,令y=f (x) , y= log 3|

9、 x| ,這兩個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)，畫兩函數(shù) y軸右邊的圖象 圖，兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，因此零點(diǎn)個(gè)數(shù)在 xW0, xCR的范圍內(nèi)共4個(gè).題型2:利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)例1:已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f (x) =2ax + 2x 3a,如果函數(shù)y = f(x)在區(qū)間1,1上有零點(diǎn)，求a的取值 范圍解 若a= 0, f (x) =2x3,顯然在1, 1上沒有零點(diǎn)，所以 aw。.令 A = 4+8a(3 + a) =8a2+24a+4= 0,解得a二與7當(dāng) a= -32逆時(shí),f(x)=0 的重根 x= 3Z2 -1,1,-3+<7, ,，-3+干一當(dāng) a=2""時(shí)，*)=0的重根*=2-

10、? 1,1, .y= f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)在 1,1上;當(dāng) f( 1) f(1) =(a1)( a 5)<0,即1<a<5時(shí)，y = f (x)在-1,1上也恰有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)y=f(x)在-1,1上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則a>02 一 2 一 ， ，一 = 8a + 24a + 4>0 - 1<- -<12af 1 20f 1 ；：.?0a<0產(chǎn)一 2 一. 一一 = 8a + 24a+4>0，或 T< ，<1Naf 1 點(diǎn)0' f -1 0解得a> 5或a<-3-52綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍是3一 .J 72例2:

11、若函數(shù)f (x) = 4x+ a - 2x+a+ 1在(-8, +oo )上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.分析：看到4x和2x出現(xiàn)，可以聯(lián)想到二次關(guān)系，然后根據(jù)根的存在性就可以完成該題目，需要注意的是根在什么范圍內(nèi)存在，易錯(cuò)解方法一(換元)設(shè) 2x = t ,則函數(shù) f (x) =4x + a 2x + a+ 1 化為 g(t) = t2+at + a+ 1 ( t e (0 , +0o ).函數(shù)f (x) = 4x+a 2x+a+1在(00, +8 )上存在零點(diǎn)，等價(jià)于方程+ at + a+1 = 0,有正實(shí)數(shù)根.(1)當(dāng)方程有兩個(gè)正實(shí)根時(shí)，=a2 4 a+1 泣a應(yīng)滿足 Stdt2=a&

12、gt;0,卜 1 , 12= a+ 1>0解得：1<aW2 2：2；(2)當(dāng)方程有一正根一負(fù)根時(shí)，只需 11 , 12= a+ 1<0,即 a< 1 ；(3)當(dāng)方程有一根為 0時(shí)，a=1,此時(shí)方程的另一根為1.綜上可知a<2-2<2.方法二 令 g(t) =t2+at + a+1 ( t e (0 ,十m).(1)當(dāng)函數(shù)g(t)在(0 , +°°)上存在兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)， = a2 4 a+1 孑0a實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足 2>0,g 0 a+ 1>0解得1<aW22, ,2;(2)當(dāng)函數(shù)g(t)在(0 , +8)上存在一個(gè)零點(diǎn)，另一個(gè)

13、零點(diǎn)在 (8, 0)時(shí)，實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足g(0) =a+1<0, 解得a<- 1 ；(3)當(dāng)函數(shù)g(t)的一個(gè)零點(diǎn)是0時(shí)，g(0) =a+1 = 0, a=- 1,此時(shí)可以求得，函數(shù)g(t)的另一個(gè)零點(diǎn)是1.綜上(1)(2)(3) 知 a<2-2'2.能力提升綜合題 1 設(shè)函數(shù) f(x) = ax2+bx+ c,且 f(1) = - a, 3a>2c>2b,求證:b 3 a>0 且3<-<-; a 4(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；設(shè)X1, X2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則 2< | X1-X2|<-47. a

14、證明(1)f(1) =a+b+c=2.3a+2b+2c= 0.又 3a>2c>2b,，3a>0,2b<0,. a>0, b<0.又 2c=3a2b,由 3a>2c>2b, 3a>- 3a-2b>2b.a>0,b3(4分)(7分)(10 分)(2) f(0) =c, f(2) =4a+2b+c= ac. 當(dāng)c>0時(shí)，< a>0,一a.f(0) =c>0且 f(1) = 2<0, 函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)cW 0時(shí)，a>0, a - .f(1) = 2<0 且 f(2) =a-c>0, 函數(shù)f (x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).綜合得f(x)在(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn). :* x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則 x1, x2是方程ax2+bx+ c=0的兩根.3 b1. x1 +x2= -xtK2 = -=a a x1 x2| = yx1 + x2 2 4x1x2yj ：+ 2 2+2.(12 分)2一a.o b 3 3V