1、第五章 不定積分 習題 51 1. 1.       驗證在(-,+) 內, 都是同一函數的原函數.解 2. 2.       驗證在(-,+) 內, 的原函數.解 3.已知一個函數的導數是，并且當x = 1時, 該函數值是，求這個函數.解 設所求函數為f(x), 則由題意知 又當x = 1時，代入上式, 得C = 故滿足條件的函數為 =.3. 3.       設曲線通過點(1, 2) , 且其上任一點處

2、的切線的斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線的方程.解 設曲線方程為 , 則由題意知因為 所以 又因為曲線過點(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲線方程為 .5. 求函數y = cosx 的分別通過點( 0, 1) 與點(, -1)的積分曲線的方程. 解 設y = cos x積分曲線方程為 因為 所以 又因為積分曲線分別通過點( 0, 1) 與點(, -1),代入上式, 得C1 = 1 與 C2 = -1. 故滿足條件的積分曲線分別為 與 .6. 已知 f(x) = k tan2x的一個原函數是，求常數k.解 因為是f(x)的一個原函數所以 7. 已知 , 求函數f(x).解 因為

3、由不定積分的性質, 有所以, 令t = x+1,有8. 設f(x) 是(-,+)內的連續的奇函數, F(x)是它的一個原函數, 證明: F(x)是偶函數.證 由已知F(x)是f(x)的一個原函數, 則 又因為f(x) 是(-,+)內的連續的奇函數, 則于是 即,故F(x)是偶函數.9.設的原函數, 求.解 因為 的原函數, 則習題 52  1. 求下列不定積分： 解 2. . 解 當時,當>0時, 故 .3. 設某企業的邊際收益是 (其中x 為產品的產量)，且當產量 x = 0 時，收益R = 0. 試求收益函數R(x) 和平均收益函數.解 由已知邊際收益是 所以在上式兩端積分

4、, 得 將代入上式, 得C = 0故收益函數為 平均收益函數為 .4. 某商品的需求量Q為價格P的函數. 已知需求量的變化率為且該商品的最大需量為1000.求該商品的需求函數.解 由已知需求量的變化率為所以在上式兩端積分, 得又因為該商品的最大需求量為Q =1000（P = 0時），代入上式, 得C = 0故滿足條件的需求函數 .5. 一種流感病毒每天以 (240 t 3 t 2 ) / 天的速率增加, 其中 t 是首次爆發后的天數. 如果第一天有50個病人，試問在第10天有多少個人被感染?解 設為天被感染上的人數, 則由題意得 所以在上式兩端積分, 得 又當時，代入上式, 得C = 69 習

5、題 53(1)  1. 1.       填空：解 2. 求下列不定積分：  習題 53(2) 1. 1.       求下列不定積分：解 2. 若己知 . 求： (1) (2)(3) (4)解 （1）因為.（2）因為 （3）因為 （4）因為 3. 下列不定積分：解 .習題 53(3) 1 1  下列不定積分： （12） 解 . 移項解方程, 得 . 移項解方程, 得 2. 2.    

6、   已知的一個原函數是，求.解 因為的一個原函數是, 則所以兩邊求導, 得 于是 故 .3.已知，求.解 設 由已知，則所以 故 .4. 已知的一個原函數是，求.解 因為的一個原函數是,則 所以兩邊求導,得 于是 故 .習題 54 求下列不定積分： 解 解 解 解 解 解 解 解 解 綜合習題五 1.選擇填空：(1) 設, 則f(x) = ( ) . cot4x cot4x 3cos4 x 3cot4 x (2) 設, 則k = ( ) . -1 -2 1 2(3) 設 , 則f(x) = ( ) . (4) 如果 是函數f(x) 的一個原函數, 則(

7、 ). 1 (5) 設 ( ) . 解 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) .2.計算下列不定積分：解 3. 已知是f(x)的一個原函數, 求.解 因為 是f(x) 的一個原函數, 則于是 4.試求函數 y = 2x + 1的一條積分曲線, 使此曲線在 x =1 處的切線剛好通過(2, 1)點.解 設積分曲線為, 則由已知得 于是 又曲線在x =1 處的切線剛好通過(2, 1)點,于是曲線的切線方程為于是曲線在x =1的切線方程的縱坐標為 -2，代入方程, 得 C = 4 故滿足條件的積分曲線方程為 .5. 設 .解 由已知令，得6.設F(x) 為f(x) 的原函數, 且x 0, 已知 F(0) = 1, F(x) > 0, 試求f(x) . 解 因為F(x) 為f(x)的原函數，又因為 F(0）=1，代入上式, 得C = 0 7.設當x0 時，連續，求. 解 9.一公司某產品的邊際成本為3x+20, 它的邊際收益為44-5x, 當生產與銷售80單位產品時的成本為11400元，試求: (1)產量的最佳水平; (2)利潤函數; (3)在產量的最