1、齊次平衡法求解非線性方程李士崗（包頭師范學院數學科學學院）摘 要：本文概述了齊次平衡原則的基本思想和步驟，并應用于非線性數學物理方程的求解。這是一種解題方法的創新及應用，以KdV方程為例，驗證齊次平衡原則并借之獲得KdV方程的周期解，并且還可獲得孤子解和其它形式的解。關鍵詞：齊次平衡原則；非線性變換；非線性偏微分方程；KdV方程；周期解。一、引言40多年來，非線性數學物理方程研究領域頗具特色成就之一是發現并構造了非線性偏微分方程精確解(特別是孤立波解)的各種精巧方法。如反散射方法、雙線性算子方法、變換(BT)等。近年來提出并發展起來的齊次平衡方法1-4，實際上是求非線性偏微分方程精確解的一種指

2、導原則，可事先判定某類非線性偏微分方程是否有一定形式的精確解存在，如果回答是肯定的，則可按一定步驟求出它來。因而齊次平衡原則具有直接、簡潔、步驟分明的特點；再者，還適用于用計算機符號計算系統進行計算，且得到的是精確的結果。本文基本內容安排如下：概述齊次平衡原則的主要思想與步驟；簡述用齊次平衡原則導出非線性偏微分方程的非線性變換及精確解。二、齊次平衡原則9我們概述一下齊次平衡原則的基本思想和步驟，為簡單起見，僅以一個未知函數，兩個自變量的情形為例來闡明，對若干個未知函數及多個自變量的方程組的情形，可類似地表述。給定一個非線性偏微分方程 （1）這里P一般是關于u對x，t的偏導數或混合導數的高階導數

3、表達式。一個函數稱為是方程（1）的擬解，如果存在單變元的函數，使關于x和t的一些偏導數的適當的線性組合，即 （2）關于x和t的低于m+n階偏導數的適當的線性組合，或者將（2）改寫為： （3）的各種偏導數為變元的低于m+n次的一個多項式（不管及其導數）， 精確地滿足（1）、（2）及（3）中的非負整數m,n,單變元函數以及函數都是特定的，將（3）代入（1）后，可通過下述步驟確定它們。首先，使最高階偏導數項中包含的的偏導數的最高冪次和非線性項中包含的關于的偏導數的最高冪次相等，來決定非負整數m及n是否存在（若發生m及n中有負數或分數的情形，可通過未知函數的變換，將原方程化為新未知函數方程，使相應的m

4、，n為非負的，其針對不同方程有不同的變換）。其次，集合的偏導數的最高冪次的全部項，使其系數為零，而得滿足的常微分方程，解之可得，一般是對數函數。第三，將的各階導數的非線性項，用的較高階的導數來代替，再將的各階導數項分別合并在一起，并令其系數為零，而得的各次齊次型的一般是過定的偏微分方程組，可適當選擇（2）中線性組合之系數，使過定的偏微分方程組有解。最后，若前三步的解答使肯定的，將這些結果代入（3），經過一些計算就可得到（1）的精確解。對許多非線性數學物理方程（組），上述步驟的解答使肯定的，故齊次平衡原則有一定的普適性。此外，也可用其它方式敘述齊次平衡原則，其敘述方式依賴于對方程（1）的解的相應

5、的先驗假設形式，這里不再贅述。三、非線性變換與周期解9用齊次平衡原則可導出相當廣泛的一大類非線性偏微分方程的非線性變換，借助這種變換，可得非線性偏微分方程的各種形式的精確解。這方面的主要結果可在1-9中找到。這類方程包括著名的Burgers方程(含高階情形，多維情形以及方程組的情形)，KdV方程7（含mKdV，高階KdV，多維情形以及耦合KdV方程組的情形），Benjamin-Bona-Mahony方程,Kuramoto-Sivashinsky方程,粒子物理的方程，Chaffea-Infante反應擴散方程,Fisher方程（含各種廣義Fisher方程）,水波的Boussinesq方程組及其各

6、種變形等，至少有及十種之多5-6。現以KdV方程為例，驗證齊次平衡原則并借之獲得KdV方程的各種精確解，以便于對齊次平衡原則的具體應用有個清楚的了解。例1：對KdV方程9： （4）為使非線性項與最高次導數項部分平衡，設由此容易算出：在上式中要求：m+3=2m+1,n=2nm=2,n=0,于是（4）具有如下形式的解： （5）其中,為待定函數。 將（5）及上述等式代入（4），可得： （6）令 （7）可設： ，即：c=2 （8）進而可得如下關系： ， （9）利用（7）和（9），（6）可簡化為：令的系數為零，欲使這些條件成立，只須滿足 （10） （11）由于齊次方程具有余弦形式的解，依齊次平衡法，可假

7、設（10）、（11）具有如下形式解： （12）其中k，r為待定常數。， ，代入（10）、（11）可得：或或 當時，當時， ，當 時，例2：對KdV方程8： （13）為使非線性項與最高次導數項部分平衡，設由此容易算出：在上式中要求m+3=2m+1,n=2nm=2,n=0,于是（13）具有如下形式的解： （14）其中,為待定函數。 將（14）及上述等式代入（13），可得： （15）令 可設： ，即：進而可得如下關系：，把上述等式代入（15），化簡可得：令的系數為零，欲使這些條件成立，只須滿足 （16） （17）由于齊次方程具有余弦形式的解，依齊次平衡法，可假設（16）、（17）具有如下形式解： （

8、18）其中k，r為待定常數。，代入（16）、（17）可得：或或 當時，當時，,當 時，。四、齊次平衡原則的解題應用小結齊次平衡原則齊次平衡原則可導出相當廣泛的一大類非線性偏微分方程的非線性變換，借助這種變換，根據不同的w的假設形式如，可得非線性偏微分方程的各種形式的周期解。它實際上是求非線性偏微分方程精確解的一種指導原則，可事先判定某類非線性偏微分方程是否有一定形式的精確解存在，如果回答是肯定的，則可按一定步驟求出它來。因而，齊次平衡原則具有直接、簡潔、步驟分明的特點。這一特性已從上述例題中得以驗證，而且求出的解具有實用上和理論意義；另外還可運用軟件系統進行運算，操作性較強。齊次平衡原則對于求

9、解非線性數學物理方程具有直接、簡潔、步驟分明的特點，是求解非線性數學物理方程的便利方法。參考文獻：1.Wang Mingliang.The solitary wave solutions for variant Boussinesq equationsJ physics Latter A.1995.199:169172.2.Wang Mingliang.Exact solations for the Rlw-Burgers equationJ.Matheinatica Applicata.1995.8(1):5155.3.Wang Mingliang.Li Zhibin.Application

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11、線性波動方程的精確解J。蘭州大學報（自然科學版） 1996，32（1）：15。6.王明亮、周宇斌，淺水長波近似方程組的非線性變換和孤立波解J。蘭州大學報（自然科學版） 1998，34（2）：2125。7.范思貴，張鴻慶，齊次平衡法若干新的應用J。數學物理學報 1999.19（3）.280292。8.劉式括，付尊濤，趙強，physics Letters A 289(2001)6974.Jacob:橢圓函數法。9.王明亮, 齊次平衡原則及其應用，蘭州大學報（自然科學版）第35卷第3期：714。Application of homogeneous balance methodsolve nonlin

12、ear equationLI SHI GANG( Baotou normal school mathematics science college)Abstract:This text said all together basic thought and steps of an equilibrium principle, and apply in not the square distance of the line mathematics physics solve.This is the innovation of a method of a kind of solution and application, to take square distance of KdV as an example, verifying together an equilibrium principle also borrow it acquires the KdV period of the square distance solution, and can also acquire the solutio