1、曲線坐標計算一、 圓曲線圓曲線要素：-曲線轉向角 R-曲線半徑根據及R可以求出以下要素： T-切線長 L-曲線長 E-外矢距 q-切曲差（兩切線長與曲線全長之差） 1 / 33各要素的計算公式為： (弧長)（sec=cos的倒數）圓曲線主點里程：ZY=JDT QZ=ZYL2 或 QZ=JDq /2 YZ=QZL2 或 YZ=JDTq JD=QZq2（校核用）1、基本知識u 里程：由線路起點算起，沿線路中線到該中線樁的距離。u 表示方法：DK26284.56。“+”號前為公里數，即26km，“+”后為米數，即284.56m。CK 表示初測導線的里程。DK 表示定測中線的里程。 表示竣工后的連續里

2、程。鐵路和公路計算方法略有不同。 2、曲線點坐標計算（偏角法或弦切角法）已知條件：起點、終點及各交點的坐標。1）計算ZY、YZ點坐標通用公式： 2）計算曲線點坐標 計算坐標方位角i 點為曲線上任意一點。li 為 i 點與ZY點里程之差。 弧長所對的圓心角 弦切角 弦的方位角當曲線左轉時用“-”，右轉時用“+”。 計算弦長 計算曲線點坐標此時的已知數據為：ZY（xZY，yZY）、 aZY- i、 C。根據坐標正算原理：切線支距法 這種方法是以曲線起點ZY或終點YZ為坐標原點，以切線為X軸，以過原點的半徑為Y軸，則圓曲線上任意一點的切線支距坐標可通過以下公式求得：利用坐標平移和旋轉，該點在大地平面

3、直角坐標系中的坐標可由以下公式求得：式中：為ZY(YZ)點沿線路前進方向的切線方位角。當起點為ZY時，“±”取“”，X0=X(ZY), Y0=Y(ZY), 曲線為左偏時應以yi=-yi代入；當起點為YZ時，“±”取“-”，X0=X(YZ), Y0=Y(YZ), 曲線為左偏時應以yi=-yi代入；注：1、同弧所對的圓周角等于圓心角的一半2、切線性質 圓的切線與過切點的半徑相垂直3、弦切角定理 弦切角等于它所夾弧上的圓周角4、弧長公式 由 L/R=n°/180° 得L=n°R/ 180°=nR/180 二、 緩和曲線（回旋線）緩和曲線主要

4、有以下幾類：A：對稱完整緩和曲線（基本形）-切線長、ls1與ls2都相等。B: 非對稱完整緩和曲線-切線長、ls1與ls2都不相等C: 非完整緩和曲線（卵形曲線）-連接兩個同向、半徑不等的圓的緩和段所組成的卵形曲線D: 回頭曲線-回頭曲線是一種半徑小、轉彎急、線型標準低的曲線形式，其轉角接近、等于或大于180度。1、 基本形緩和曲線 基本公式： =A2/l A=Rls為緩和曲線上任意點的曲率半徑 A為回旋線參數l為緩和曲線上任意點到起點（ZH）的距離（弧長）ls為緩和曲線的全長切線角公式：緩和曲線直角坐標任意一點 P 處取一微分弧段 ds ，其所對應的中心角為 d xdx=dscos xdy=

5、dssin x緩和曲線常數主曲線的內移值 p 及切線增長值 q內移值： p=Ys-R(1-coss)=ls2/24R切線增長值： q=Xs-Rsins=ls/2-ls3/240R2緩和曲線的總偏角及總弦長總偏角： s=ls/2R 180總弦長： Cs=ls-ls3/90R2緩和曲線要素計算切線長外距  曲線長  圓曲線長 切線差 平曲線五個基本樁號：ZH HY QZ YH HZ緩和曲線主點里程：ZH=JD-T HY=ZH+Ls YH=HY+Ly HZ=YH+LsQZ=ZH+L總/2=HZ-L總/2 JD=QZ+q/2（校核）緩和曲線上任意點坐標計算切線支

6、距法：以緩和曲線起點ZH(HZ)點為坐標原點，起點的切線為x軸，過原點的垂直于切線的垂線為y軸建立坐標系，則緩和曲線上任意一點的切線支距坐標可通過以下公式求得：利用坐標平移和旋轉，該點在大地平面直角坐標系中的坐標可由以下公式求得：式中：為ZH(HZ)點沿線路前進方向的切線方位角。當起點為ZH時，“±”取“”，X0=X(ZH), Y0=Y(ZH), 曲線為左偏時應以yi=-yi代入；當起點為HZ時，“±”取“-”，X0=X(HZ), Y0=Y(HZ), 曲線為左偏時應以yi=-yi代入；曲線上任意點的方位角(i)=（ZH或HZ）± 為切線角 ± 為右轉“”

7、左轉“”當點位于圓曲線上，有：其中， ， 為點到坐標原點的曲線長。2、 非對稱完整緩和曲線 由于受特殊地形和地物條件限制采用對稱緩和曲線型平曲線難以與地形條件相結合，于是引入非對稱緩和曲線型平曲線。非對稱緩和曲線在計算時較困難，不能簡單套用對稱緩和曲線的公式。以下闡述非對稱緩和曲線幾何要素和任意點坐標及方位角的計算原理。（1）計算原理如圖1所示，平曲線由非對稱緩和曲線Ls1、Ls2及半徑R的圓曲線組成，JD為平曲線切線交點，轉角。由于平曲線兩端的緩和曲線不等長，因此在計算平曲線各要素時就不能簡單套用等長緩和曲線的計算公式。平曲線各要素計算：注：第一式最后一項應 +q1根據交點坐標和切線長計算緩

8、和曲線起點（ZH或HZ）坐標：X(ZH)=X(JD)+T1×COS Y(ZH)=Y(JD)+T1×Sin 為JDZH方位角X(HZ)=X(JD)+ T2×COSY(ZH)=Y(JD)+T2×Sin 為JDHZ方位角曲線上任意點坐標按基本型緩和曲線的切線支距法和坐標變換、旋轉來計算求出。3、 非完整緩和曲線（卵形曲線）卵形曲線是指在兩個同向、半徑不等的圓曲線間插入一段不完整的緩和曲線，即卵形曲線是緩和曲線的一段，在插入時去掉了靠近半徑無窮大方向的一段。首先需要計算出實際并不存在只是在計算過程中起輔助作用的完整緩和曲線段的起點即ZH或HZ點樁號、坐標和切線方

9、位角。這樣卵形曲線段的計算就轉化為完整緩和曲線段的計算。（1） 卵形曲線參數 式中：R大，R小為卵形曲線相連的兩圓曲線半徑，為非完整緩和曲線段即卵形曲線段長度。（2） 與相對應的完整緩和曲線的長度為 （3） 卵形曲線的起點Q（接大半徑圓的點）至假設存在的完整緩和曲線起點ZH或HZ點的弧長為或 =（4） 與對應的弦長為 又因為Q-切線角 Q-切點Q至假設起點ZH(HZ)的弦切角故可得，Q點至ZH點的方位角ZH點的切線方位角Q點至HZ點的方位角HZ點的切線方位角求得卵形曲線起點Q至ZH(HZ)的弦長和方位角后，則ZH(HZ)點的坐標為求出假設的ZH(HZ)點的坐標后，就可以根據基本形緩和曲線的計算

10、方法來計算曲線上任意點的坐標。上面的公式（3）到（11）是以不完整緩和曲線的起點Q（接大圓點）來計算假設的完整緩和曲線起點ZH(HZ)的坐標。也可以以接小圓的緩和曲線終點YH(HY)來計算起點ZH(HZ)坐標。如下： 與相對應的完整緩和曲線的長度為 與對應的的弦長為總弦長： Cs= ls-ls5/90R2 ls2= ls-ls3/90R2 接小圓的YH(HY)點的切線角總偏角： s=ls/2R 180 接小圓的YH(HY)點到假設起點ZH(HZ)的弦切角 設接小圓的YH(HY)點為Z，則Z點至ZH點的方位角 （Z-ZH）=(Z)180± ZH點的切線方位角 （ZH）=(Z)±

11、;(Z) Z點至HZ點的方位角 （Z-HZ）=(Z)± HZ點的切線方位角（HZ）=(Z)±(Z) ZH(HZ)點的坐標為 (設接小圓的YH(HY)點為Z)X(ZH或HZ)=X(Z)+ Cs cosZ-ZH(HZ)Y(ZH或HZ)=Y(Z)+ Cs SinZ-ZH(HZ) Cs為弦長注：卵形曲線上大圓包含小圓，也就是說接小圓處的曲率半徑為R小，沿大圓方向曲率半徑漸大。假設的完整緩和曲線的起點ZH(HZ)在大圓那邊。4、 回頭曲線什么是回頭曲線 回頭曲線是一種半徑小、轉彎急、線型標準低的曲線形式，其轉角接近、等于或大于180度。在實際中，我們確實經常在山區道路碰到回頭曲線，基

12、本的感覺就是一個急彎，并且轉了一百八十度，跟掉頭差不多，也就是前面描述的：轉角接近、等于或大于180度。下圖是湘西“公路奇觀”的連續回頭曲線。這里所討論的回頭曲線，主要是基于其平面坐標計算的特殊性而言的，它只有一個定義，就是：轉角大于或等于180度，由于實際使用中很少有轉角正好等于180度的情況，所以就是指轉角大于180度這種情況了。為什么這么定義呢，因為一般情況下，交點與曲線的關系是：交點在曲線的外側，即便是轉角接近180度，它的交點也在曲線外側，如下圖：而當轉角等于180度時，則成為兩條平行線，沒有交點，或者說無限遠，其曲線位置不具有唯一性，這種情況實際中幾乎不會采用；而當轉角大于180度

13、時，則交點的位置就比較特殊了，如下圖：這個圖中，JD1和JD3是普通情況下的交點，均在曲線的外側，而JD2的轉角大于180度，其位置在曲線的內側，這種情況，才是本此討論的回頭曲線。回頭曲線的計算（1）曲線要素的計算先看一個案例，邵懷高速公路溆浦連接線（二級公路），有一個回頭曲線，其曲線設計參數如下：JD5，交點坐標X=3046429.812，Y=450083.958，轉角224°0821.8（左轉），半徑60m，緩和曲線長35m，曲線ZH點樁號K49+302.600，切線方位角359°2317.9，平面圖形如下所示：交點樁號：ZH點樁號K49+302.600加上切線長T，結

14、果為K49+169.972。從這個計算結果來看，我們發現與一般曲線要素不同的地方是：1切線長T和外距E為負值；2交點樁號比ZH點樁號小。設計文件中的直曲表數據也表明了這一點：（2）中樁坐標的計算雖然回頭曲線的曲線要素與普通曲線有一些特別的地方，但現在我們更關心的是，按照普通平曲線的中樁坐標計算公式，能否計算出準確的結果。答案肯定是不能的，否則我也不會寫這篇文章，在這里白費神了。中間具體的計算過程我就不展示了，按照普通平曲線的中樁坐標計算公式，能夠計算出各個樁號的坐標，只可惜是錯誤的結果。按照這個錯誤的結果，展示該回頭曲線的圖形如下：回頭曲線的處理回頭曲線按照普通曲線中樁坐標計算方法不能得到正確

15、的結果，原因在于它的交點實際在曲線內側，而程序則把它當作普通曲線來處理，從上面那個圖形即可看出。處理的方法很簡單，就是把回頭曲線一分為二，分成兩個普通曲線，如下圖所示，將JD5對稱地分為JD5a和JD5b。這樣，只要把JD5 a和JD5b當作普通曲線交點進行計算就行了。首先需要確定JD5 a和JD5b的相關參數，先看JD5a。1）計算終點。顯然，JD5a的計算終點就是回頭曲線的曲中點，從設計文件直曲表上可查得，是K49+437.459；2）本交點樁號。JD5a的樁號嘛，應該是回頭曲線的ZH點加上JD5a曲線的第一切線長。回頭曲線的ZH點在直曲表上有，K49+302.600，而JD5a曲線的第一

16、切線長，那就需要計算一下了。根據示意圖，由于圖形的對稱性，JD5a和JD5b的切線長有兩個：T1和T2，JD5a的曲線要素為：半徑R=60m，第一緩和曲線Ls1=35m，第二緩和曲線Ls2=0m，交點轉角是回頭曲線轉角的一半，即224°0821.8/2=112°0410.9，可計算得：T1=106.865m，T2=89.986m。則JD5a的樁號= 49302.600+106.865=49409.4653）本交點X/Y坐標。根據坐標正算原理，按照幾何關系，已知JD5的坐標為X=3046429.812，Y=450083.958，JD5-JD5a的距離=106.865+132.628=239.493m，JD5-JD5a的坐標方位角359°2317.9，容易得出JD5a的坐標為：X=3046669.291，Y=450081.401。4）交點之前直線方位角，就是JD5-JD5a的坐標方位角359°2317.9（也是JD5ZH點的方位角）。5）交點轉角。交點轉角是回頭曲線轉角的一半，即224°0821.8/2=112°0410.9，左轉。6）平曲線半徑及緩和曲線長度。半徑R=60m，第一緩和曲線Ls1=35m，第二緩和曲線Ls2=0m。7）交點計算起終點樁號。就是曲線的起終點樁號，49302.60049