1、概率與統(tǒng)計知識點一：常見的概率類型與概率計算公式；類型一：古典概型；1、古典概型的基本特點：基本事件數有限多個；（2）每個基本事件之間互斥且等可能；2、概率計算公式：A事件所包含的基本事件數P（A）二A事件發(fā)生的概率總的基本事件數。類型二：幾何概型；1、幾何概型的基本特點： 基本事件數有無限多個；（2）每個基本事件之間互斥且等可能；2、概率計算公式：構成A事件的區(qū)域長度（或面積或體積或角度）A事件發(fā)生的概率 P（A）二一總的區(qū)域長度（或面積或體積或角度） 注息：（1） 究竟是長度比還是面積比還是體積比，關鍵是看表達該概率問 題需要幾個變量，如果需要一個變量，則應該是長度比或者角 度比；若需要兩

2、個變量則應該是面積比；當然如果是必須要三 個變量則必為體積比；b5E2RGbCAP 如果是用一個變量，到底是角度問題還是長度問題，關鍵是看 誰是變化的主體，哪一個是等可能的；2 二例如：等腰4ABe中，角C=,則： 若點M是線段AB上一點，求使得AM MAC的概率； 若射線CA繞著點C向射線CB旋轉，且射線CA與線段AB始終相交且交點是M求使得AM £ AC的概率；解讀：第一問中明確M為AB上動點，即點M是在AB上均勻分布，p= AC 2/3所以這一問應該是長度之比，所求概率：173床一5。而第二問中真正變化的主體是射線的轉動，所以角度的變化是均勻的，所以這一問應該是角度之比的問題，

3、所以所求的概率：n _ 75 _ 5P> ='-=120 8； plEanqFDPw知識點二：常見的概率計算性質；類型一：事件間的關系與運算；A+B制事件)：表示A B兩個事件至少有一個發(fā)生；A,B<積事件)：表示A、B兩個事件同時發(fā)生；A<對立事件)：表示事件 A的對立事件；類型二：復雜事件的概率計算公式；1、和事件的概率：P(A B)=P(A) P(B) - P(A *B)<1)特別的，若A與B為互斥事件，則：P(A B)=P(A) P(B)<2)對立事件的概率公式：P(A) =1 -P(A)2、積事件的概率：<1)若事件AAn相互獨立，則：P(

4、Ai “A H*An) =P(A)卬(4) 川 P(An)<2) n次獨立重復的貝努利實驗中，某事件A在每一次實驗中發(fā)生的概率都為p,則在n次實驗中事件A發(fā)生k次的概率：DXDiTa9E3dP(A)n =Cn pk(1-p)n-類型三：條件概率；1、條件概率的定義：我們把在事件 A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率記為：P(B|A);P(B| A)=P(A，B)P(A)2、三個常見公式: 乘法公式：p(ab) = p(a)p(b|A)n 入=1.1 全概率公式：設A，A2，A3，M,An是一組互斥的事件且 皿 ， 則對于任何一個事件B都有：nnP(B)=P(Ak 'B)- P(Ai).

5、P(B|A) k 1k 1n(3)貝葉斯公式：設Ai&iAJILAn是一組互斥的事件且 乙人一建P(Ajl B)=P(Aj)P(B|Aj)n£ P(A),P(B|A)kd則對于任何一個事件B都有：知識點三：求解一般概率問題的步驟;第一步：確定事件的性質：等可能事件、互斥事件、相互獨立事件、n次獨立重復實驗等；第二步：確定事件的運算：和事件、積事件、條件概率等；第三步：運用相應公式，算出結果；知識點三：常見的統(tǒng)計學數字特征量及其計算； 特征量一：平均數哪學期望)-1 .，計算公式一:計算公式二:計算公式三:x (Xi X2 X3 HI Xn)n；n Ex 二' xi *

6、P(X 二 xi) k3若隨機變量x是連續(xù)型隨機變量，且函數f(x)是它的 密度函數)boEx = xf(x)dx特征量二：中位數將所有的數從大到小排或者從小到大排，若共有奇數個數，則 正中間的那個數叫做這一列數的中位數；若共有偶數個數，那么正 中間那兩個數的平均數叫做這一列數的中位數。 RTCrpUDGiT 特征量三：眾數將所有數中出現次數最多且次數超過 1次的數叫做這一列數的眾 數。一列數的眾數可以有多個，也可以沒有。特征量四：方差方差反映一組數或者一個統(tǒng)計變量的穩(wěn)定程度，方差越小數值越 穩(wěn)定，方差越大則數值波動越大。計算公式一:1 n2(x -x)n kl.計算公式二:1 n2P(x=x

7、k)“xk-Ex)n k4計算公式三:= Ex2 (Ex)2 .注：期望和方差的性質： 性質 1： E(c)=c；性質 2- E(ax+b) =aEx+b .,性質 3： E(xi +x2 +|l| + xn) = Exi +Ex2 +IH + Exn .性質4:若x，y相互獨立，則：E(xy) = (Ex).(Ey)；_2_2_2性質 5： D(x)=E(x-E(x) =E(x)-(E(x)；性質 6: D(c)=0；2性質 7: D(ax+b) =a D(x)；性質8：若x，y為兩個隨機變量則：D(x+y)=D(x)+ D(y)2(x E(x) ,(y E(y).性質9:若x，x2，M，x

8、n是相互獨立的隨機變量，則：D(xi +x2 +|l| + xn) = D(xi) + D(x2)+| +D(xn).知識點四：簡單的統(tǒng)計學知識；問題一：統(tǒng)計學中的簡單的抽樣方法；方法一：簡單隨機抽樣；1、基本原理：根據研究目的選定總體，首先對總體中所有的觀察單 位編號，遵循隨機原則，采用不放回抽取方法，從總體中隨機抽取一定數量觀察單位組成樣本。5PCzVD7HxA2、具體做法：隨機數字法；抽簽法;3、 優(yōu)缺點分析：優(yōu)點：基本原理比較簡單；當總體容量不大時比較方便；抽樣誤差的計算較方便；缺點：對所有觀察單位編號，當數量大時，有難度；方法二：系統(tǒng)抽樣；1、 基本原理：先將總體的觀察單位按某順序號

9、等分成n 個部分再從第一部分隨機抽第k 號觀察單位，依次用相等間隔，機械地從每一部分各抽取一個觀察單位組成樣本；jLBHrnAILg2、 優(yōu)缺點分析：優(yōu)點：抽樣方法簡便，特別是容量比較大的時候；易得到一個按比例分配的樣本，抽樣誤差較??；缺點：仍需對每個觀察單位編號；當觀察單位按順序有周期趨勢或單調性趨勢時，產生明顯偏性；方法三：分層抽樣；1 、 基本原理：先將總體按某種特征分成若干層，再從每一層內隨機抽取一定數量的觀察單位，合起來組成樣本。2 、 具體做法：第一步：計算每一層個體數與總體容量的比值；第二步：用樣本容量分別乘以每一層的比值，得出每層應抽取的個體數；第三步：用簡單隨機抽樣的方法產生

10、樣本;3、優(yōu)缺點分析：優(yōu)點：在一定程度上控制了抽樣誤差，尤其是最優(yōu)分配法；缺點：總體必須要能分成差別比較大的幾層時才能用，局限性比較大；總結：以上三種抽樣方法的共同特征是每個個體被抽中的可能性相同；知識點五：常用的幾個統(tǒng)計學圖表；圖表一：頻率分布直方圖與頻率分布折線圖；1、說明幾個基本概念： 頻數：符合某一條件的個體個數；頻數 頻率：頻率=總數； 在必要情況下，可以近視的看作概率;所有組的頻率之和是1；）2、認識頻率分布直方圖：橫標是分組的情況；(2)縱標不是頻率，而是頻率/組距；小方框的面積才是頻率；所有的面積和為1；3、畫頻率分布直方圖：第一步：求極差；第二步：分組，確定組距；第三步：列頻

11、率分布表；第四步：作圖；4、畫頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖中每個方框的頂邊的中點用直線連起來形成的折線圖；5、利用頻率分布直方圖估計樣本的統(tǒng)計學數字特征量：1(1)中位數：取圖中方框面積和達到2時的橫坐標；(2)眾數：取最高的那個方框的中點橫坐標；nE(x) f Xk，P(x=Xk)(3)平均數：1；其中人表示第k組的中點橫坐標，Hx'xJ表示第k組的頻率； nD(x)八 E-E(x)2(4) 方差：心；圖表二：莖葉圖；定義：若數據為整數，一般用中間的數表示個位數以上的部分，兩 邊的數表示個位數字；若數據是小數，一般用中間的數表示整數部分，兩邊的數表示小數部分形成的圖表；xHAQX

12、74J0X印知識點六：變量間的相互關系與統(tǒng)計案例；1、相關關系的分類：從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內，對于兩 個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關；點散布在從左上角 到右下角的區(qū)域內，兩個變量的這種相關關系稱為負相關。LDAYtRyKfE2、線性相關：從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在一條直線附 近，則稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫回歸直線 Zzz6ZB2Ltk3 .最小二乘法求回歸方程：(1>最小二乘法：使得樣本數據的點到回歸直線的距離的平方和最 小的方法叫最小二乘法.(2>回歸方程：兩個具有線性相關關系的變量的一組數據：(x1 , y

13、1>, (x2 , y2>,，(xn , yn>,其回歸方程為錯誤！=錯誤！ x + 錯誤！，dvzfvkwMII其中，b是回歸方程的斜率，a是在y軸上的截距.4 .樣本相關系數：£ (- x) ( yi y)產1_/y t r.)2 y( _)2r=?i* ±H ' ，用它來衡量兩個變量間的線性 相關關系.(1當r0時，表明兩個變量正相關；(2當r0時，表明兩個變量負相關；(3r的絕對值越接近1,表明兩個變量的線性相關性越強；r 的絕對值越接近于0,表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關 系.通常當|r| 0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關關

14、 系.rqyn14ZNXI6.獨立性檢驗：(1用變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，這種變量稱 為分類變量.例如：是否吸煙，宗教信仰，國籍等. EmxvxOtOco(2列出的兩個分類變量的頻數表，稱為列聯表.(3一般地，假設有兩個分類變量X和Y,它們的值域分別為 x1 , x2和y1 , y2,其樣本頻數列聯表(稱為2X2列聯表 為： SixE2yXPq5y1y2總計x1aba+ bx2cdc+d總計a+cb+da+b+c+d»n(ad -bc)2K _(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)(其中 n=a + b+c+d 為樣本容量,可利用獨立性檢驗判斷表來判斷“X與y的關系”

15、.這種利用隨機變量K2來確定在多大程度上可以認為“兩個分類變量有關系”的方法稱 為兩個分類變量的獨立性檢驗.6ewMyirQFL 附表：P(K2 A k>0.0500.0100.001k3.8416.63510.828汪息:1) K2越大相關性越強，反之越弱；2)附表中P(K2Ak是兩個統(tǒng)計學變量無關的概率；知識點七：常見的概率分布及期望、方差；類型一：離散型隨機變量的概率分布；1、兩點分布 貝努利分布或0、1分布)：(1)特點：隨機變量x只能取兩個值0、1;分布列如下：x01ppq(2)期望：E(x)=q；2方差：D(x)=q-q =pq；2、二項分布：(1) 特點：在n次獨立重復的貝

16、努利實驗中，每次實驗中A事件發(fā)生的概率都是p;每次實驗只有兩個結果 A或入；隨機 變量x表示n次實驗中A事件發(fā)生的次數；kavU42VRUsk kn -k即：P(x=k)=Cnp (1-p)；則稱隨機變量x服從二項分布; 記為：xUB(n，P)；(2)期望：E(x)=nP； 有兩種不同的證明方法，這里就省略 了。)方差：D(x) =np(1 p) =npq .3、幾何分布:(1) 特點：在獨立重復的貝努利實驗中，每次實驗中 A事件發(fā)生的概率都是p,不發(fā)生白概率為1-p)；隨機變量x表 示A事件首次出現時實驗的次數；則稱隨機變量 x服從幾何 分布，記為：xL1G；y6v3ALoS891E(x)

17、= -k 期望： p； P(x=k)=(1-p) P,期望公式可以利用等比數列求和和極限的思想證明。)1 一 p方差：D(x):不；4、超幾何分布:(1) 特點：一般的共有N個個體，A類個體有M個，從中任取n個，隨機變量x表示取到的A類個體的個數，則稱x服從超幾何分布，記為：xL1H (n,M，N)； M2ub6vSTnPk n -kP(x = k) M 尸;(k = 0,1,2,3jH ,min M ,n) CN.E(x)=期望：MnD(x)=方差：Mn M (M -1)n(n -1)N(N -1)Mn 2_()N ；類型二：連續(xù)型隨機變量的概率分布； 高中階段我們只研究正態(tài)分 布) 正態(tài)分

18、布:1、密度函數的概念：在頻率分布折線圖中，當樣本容量取得足夠大,組距取得足夠小的時候頻率分布折線圖會變成一條光滑的曲線,我們就把這樣的曲線叫做連續(xù)性隨機變量的密度曲線；把他的解讀式叫做密度函數；OYujCfmUCw顯然，如果連續(xù)型隨機變量x的密度函數是f(x),則:b二二P(a 三 x ：二 b) = f(x)dx jf(x)dx=1aP(x：a)= f (x)dx P(x a) = f (x)dxa2、正態(tài)分布的定義：如果連續(xù)型隨機變量 x的密度函數是: xL N”,。2).d(xj21- 2-7f(x)：-e2二；一一；則稱隨機變量x服從正態(tài)分布，記為:3、正態(tài)分布曲線的特點:<1 )整條曲線都在x軸的上方，即“刈>°對隊"恒成立；<2) x=N是他的對稱軸，當小(血，刈時，函數f(x)單調遞增；當xR,時，函數f單調遞減；在x = N時取得最大值；<3)正態(tài)分布曲線的兩個主要參數 R產的幾何學意義：參數N決定對稱軸的位置，也決定整條曲線的位置，所以也 稱為位置參數；參數仃決定數據的離散程度，也就決定了曲線 的高矮胖瘦；具體規(guī)律是：。越大，數據越離散，曲線越矮越胖; 。越小，數據越集