1、教 學 設 計甘肅省積石山縣吹麻灘初級中學王德明一、教學內容分析：通過引入無理數，將有理數擴充到實數范圍內，是初中階段第二次數系的擴張。本節課也是這第二次數 系擴充的最關鍵的一步一一無理數的引入。這一節課主要讓學生產生認知沖突，感受到引入新數的必要性， 認識到生活中大量存在這樣的新數。二、教學目標：1 .技能目標：知道存在非有理數的數或舉出一些例證，初步闡明非有理數的數與有理數之間的關系（能否表示為整數與分數）。2 .能力目標：能把對有理數的理解（如分類、表示、運算等）應用到研究新的數的過程中；能通過觀 察、質疑、實驗、歸納和猜想得到存在非有理數的數，并能用分類、歸納的方法的說明。3 .情態價

2、值目標： 進一步養成求知意識。 三、教學重點：1 .教學目標中的知識目標和能力目標；2 .創設研究“滿足 a2 = 2的數a不是整數和分數即不是有理數”的情境。 四、教學難點：1.用有理數的分類驗證的方法；2.說明分數。都不滿足o2 = 2。五、教學準備：準備兩個邊長為i的正方形，雙面膠以及一把小剪刀。 六、教法、學法：教學方法師生互動探究式教學，遵循以學生為主體、教師為主導、發展為主旨的原則，學生通過熟悉的現實生活 情景，發現現有的有理數之外還存在非有理數，引發認知沖突，提出需要學習新的知識. 引導學生分類討論，形成師生與生生互動。學法指導引導學生自己操作并提出問題，感受并驗證非有理數的存在

3、性及其存在的普遍性。七、教學過程:教學內 容教師活動學生活動教學評價活動一：通過動 手，讓 學生感 受無理 數產生 的實際 背景1 .學生盡可能自己剪 拼（在有困難的情況 下也可以和同學合 作），完成拼圖。2 .請同學代表來展示 自己的作品，并用語 言盡可能表達清楚是 如何得到大正方形 的。學生的常有拼圖：（一）（二）讓學生將兩個邊長為 1 的小正方形，剪一剪， 拼一拼，設法得到一個 大正方形。教師補充要求：1 .所剪的塊數盡可能 少；2 .不允許有多余的部 分，所得正方形不允許 有空缺。教師給學生一定的時間 討論合作，在活動中觀 察學生是否樂意與他人 合作交流，是否主動探 究，并且給于及時的

4、肯 定和鼓勵。1 .容易操作：課前讓學生準備兩個邊長為1的小正方形紙片， 長度單位學生自定，符 合學生的生活實際，學 生都可以準備。2 .趣味性強：讓學生剪一剪、拼一拼, 進行密鋪，讓每位學生 都能動起來感受數學學 習的樂趣。3 .有效：兩個面積為1的正方形拼得的都是面積為 2的 正方形，由此可以產生 邊長是無理數的問題， 為本課的引入奠定了基 礎。邊長為1的正方形的對角線AC等于多少？假設是修，由大正方形面積引入“a2 -7, a為多少”預計時間：6分鐘教學內 容教師活動學生活動教學評價活動二：讓學生感知無理數，并且合理推理它不是有理數第一環 節： 教師提 問弓 導，探 討“研 究大正 方形

5、邊 長a是 什么師問：現在得到大正方形， 你想對這個大正方形提一 些什么問題嗎？生（可能從形狀、大小、位置 等方面提問）：關于大正方形 的面積、邊長、周長、對角線 等問題。讓學生提問 是為了培養 學生主動提 問的意識。師問：有些元素比較容易確 定（如面積，對角線等）， 那么它的邊長a為多少？（可以由易到難分析以上各元素，但最終邊長是基本 量）學生直觀感知， 并且說出自己 的看法。讓學生直觀 感知并且各 抒己見。數”的師問：我們以前學了哪些數，你還記得它們是怎樣分類的嗎？方法在學生回顧有理數的分類后，整理一個分類結構圖（用附頁進一步解釋）師問：大正方形邊a是不是有理生：以前所學的數都是有回顧有理

6、數數，你怎樣來說明？理數，有理數分為“整數及其分類，和分數”，整數和分數還為后面探究可以再分類，如整數分為做知識鋪“正整數、負整數、0”墊。師問：大正方形邊a是不是有理生：有理數分為整數和分r依據數的分數，你怎樣來說明？數，可以分別討論它是否類探討研究為整數和分數？方案，在此滲透分類討論思想。預計時間：6分鐘師問：a是整數嗎？附帶說明：還可以從圖形的由a2=2,而 12=1, 22=4,學生自然的數量特征證明a不是整數。12<a2<22 ,得 l<a<2, a 不是整反應是從數教師按下圖進行構造分析，數3的角度來說證明如下：（這是從數的角度進行說明）明，然而這證明：在三

7、角形 ABC中個數所產生AG1, BG1, AB=a,由三角的背景啟發形的三邊關系得 AG BG< a我們也可以第二環<AC-BC 所以 0<a<2,且用形的“度節：討awl。所以a不是整數。量性質”來論a是說明，這能否是整讓學生初步數附帶說明：還可以從圖形的數量特征證明a不是整數。感受形與數 的聯系性。 同時用證明 初步培養學 生嚴謹說理 的習慣。教師按下圖進行構造分析，證明如下證明：在三角形 ABC中AC=1, BC=1, AB=a,由三角形的三 邊關系得 AGBCk a<AGBG 所以0<a<2,且a/1。所以 a不是整數。預計時間：4分鐘教學內

8、 容教師活動學生活動教學評價師問：a不是整數，是分數部分學生可能回答“是”。這是本節課第三環節：嗎？的難點，對于師問：你能找出a是分母為可能有困惑（反映了學生是部分學生難討ia a 是否是 分數多少的分數？否有把分數用分母從小到大 分類的程序性思考）。度較大，我讓 學生由“具體師引導：我們可以從分母最 小的分數開始找？是否注意到這里的分數只需 要考慮正的分數！到抽象”，由 “特殊到一a是分母為2的分數嗎?a是分母為3的分數嗎?計算：_'結論：a不是分母為2的分數。a是分母為4的分數 嗎？想一想：為什么省了一些計 算？在過程中思考簡約的做法是 好的習慣！本問題的簡約是 基于對數的運算的認

9、識（直 接從它不是整數來排除是不 夠的！）計算：©”衿哈結論：a不是分母為4的分數。aE分母為5或者6的分 數嗎？計算（心算和筆算）或者猜測。結論：a不是分母為5和6的 分數。a是分母為多少的分發現、歸納：任何最簡分數數？的平方還是一個分數，|因此，a不是（任何分母的）分數。結論：a不是分母為3的分數般”，通過大 量式子的感 知，從而達到 難點的突破， 在此也讓學 生體會數學 中“特殊到一 般”這種認識 問題、研究問 題的方法。1. a既不是整數，也不是分數，說明 a不是有理數，我們需要引入新數,新數叫什么名字，有什么特點？我們后面會逐步學習。2.本節內容采用的是對有理數分類的方式，

10、說明新數既不是有理數的整數 類，也不是有理數的分數類。預計時間：15分鐘教學內容教師活動學生活動教學評價活動三： 了解數 學史，體 會數學 文化讓學生閱讀材料，并說出自己的 感受：公兀前500年，古希臘的畢 達哥拉斯學派認為“宇宙間的一 切現象都能歸結為整數或整數之 比，即都可用后理數來描述。這學派成員希伯索斯發現邊 長為1的正方形的對角線的長不 能有理數來表示，這就動搖了畢 達哥拉斯學派的信條，引起了信 徒們的恐慌。師問：通過閱讀上面的數學故事， 你有什么感受？生：通過閱讀，我了解 無理數并非“無理”， 它和有理數一樣，都是 客觀存在的量的反映。源于數學課 后閱讀材 料，讓學生 了解數學 史

11、，同時也 可以培養學 生敢于質 疑，勇于挑 戰的精神。活動四： 反饋測 評，再現 研究，鞏 固新認 知一、學生觀察圖 2-1后回答卜面問題：(1)如圖：以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是多少？(2)設該正方形的邊長為 b, b滿足什么條件？生：(1)面積為5y=5 2、4 , 3?=9, 2<b<3, b不是整數， 任何最簡分數的平方仍 然是最簡分數，所以 b 不是分數。綜合b不是 有理數。1 .它是我們 前圜活動的 運用和鞏 固。讓學生 再次經歷無 理數的感知 和推理過 程。2 .它也是前 面活動的拓 展，讓學生 意識到這種 不是有理數 的新數還存 在其他事物 中，初步感 受

12、到無理數 存在的普遍 性。2L1 |(3)bb是有理數嗎？預計時間：4分鐘預計時間：3分鐘書設計活動五： 回顧與 總結：1.讓學生自己從知識上總 結：本節課我們學到了什么 知識？生：學到了生活中存 在著不是有理數的新 數，并且它大量存在。知識是關鍵，但是我 們不光要讓學生學 到知識，還以知識為 載體讓學生學到一 種數學研究方法和 一種數學討論問題 的方式，這樣才能真 正做到“以學生的發 展為本”的教學理O2 .師生共同從方法上總結：本節課除了知識上，方法上我們也來回顧和總結一下。教師提問：在討論大正方形 的邊長是否為有理數時，我 們是怎樣討論的？生：是分為整數和分 數兩種情況來討論 的。總結：“分類討論”的數學說理方法。教師提問：仕研允大正方形 的邊長是否為分數時，我們 怎樣研究的。生：是從最簡單，最 特殊的分母為2的分 數，再到分母為任意 數的分數。總結：“特殊到一般”的研究方法。預計時間：2分鐘有理數1.學生拼圖部分展示：教師計算：2. a是不是整數