1、八數(shù)類比探究專題(人教)知識(shí)點(diǎn)睛1 .類比探究是一類共性條件與特殊條件相結(jié)合，由特殊情形到一般情形(或由 簡(jiǎn)單到復(fù)雜)逐步深入，解決思想方法一脈相承的綜合性題目，常以幾何綜 合題為主一一“條件類似、圖形結(jié)構(gòu)類似、問(wèn)法類似”.2 .類比探究的處理思路：(1)類比是解決類比探究的第一原則，即類比上一問(wèn)思路，遷移解決下一 問(wèn)；(2)對(duì)比前后條件變化，尋找并利用不變特征，考慮相關(guān)幾何結(jié)構(gòu)解決問(wèn) 題.若屬于類比探究常見(jiàn)結(jié)構(gòu)，調(diào)用結(jié)構(gòu)類比解決；若不屬于常見(jiàn)結(jié)構(gòu)，依據(jù)不變特征大膽猜測(cè)、嘗試、驗(yàn)證、構(gòu)造.3 .類比探究常見(jiàn)結(jié)構(gòu)舉例(1)中點(diǎn)結(jié)構(gòu)斜邊中線延長(zhǎng)證全等(2)旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)常見(jiàn)模型1見(jiàn)中點(diǎn)，要倍長(zhǎng)倍長(zhǎng)之后證

2、全等多個(gè)中點(diǎn)，考慮中位線如圖，zABC, 4ADE均為等邊三角形，則出現(xiàn)了 AB=AC, AD=AE等線段共端點(diǎn)的結(jié)構(gòu)，所以連接BD, CE,可以證明 ABDAACE,即把 ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到4ACE.常見(jiàn)模型2AD貝U EF=BE+DF.ADE, F分別在邊BC, CD上，且/ EAF=45°,思路提示：正方形四條邊都相等，提供了等線段共端點(diǎn)，所以考慮構(gòu)造旋轉(zhuǎn) 解決問(wèn)題，即找到等線段 AD=AB,把線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,與線 段AB重合，則AD所在 ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到 ABG.(3)直角結(jié)構(gòu)直角結(jié)構(gòu)一一斜直角放正

3、18精講精練【中點(diǎn)結(jié)構(gòu)】1.已知P是RtABC的斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A, B重合)，分別過(guò)點(diǎn)A, B向直線CP作垂線，垂足分別為點(diǎn)E, F, Q為斜邊AB的中點(diǎn).(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是, QE與QF的數(shù)量關(guān)系是:(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給 予證明.(2)中的結(jié)論是(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段BA (或AB)的延長(zhǎng)線上時(shí), 否仍然成立？請(qǐng)畫(huà)出圖形并給予證明.2.如圖，四邊形ABCD和四邊形CGEF均為正方形,M是線段AE的中點(diǎn).(1)如圖1所示，點(diǎn)B,C,G在同一條直線上，DM的延長(zhǎng)線交EF于點(diǎn)N, 連接FM ,則DM

4、與FM的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為(直接寫(xiě)出答案，無(wú)需寫(xiě)證明過(guò)程).(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)B, C, F在同一條直線上，DM的延長(zhǎng)線交EG于點(diǎn)N, 其余條件不變，試探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出猜想，并給予 證明.(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E, B, C在同一條直線上，DM的延長(zhǎng)線交CE的延長(zhǎng)線 于點(diǎn)N,若此時(shí)點(diǎn)A恰好為CG的中點(diǎn)，AB=1,其余條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出 FM的長(zhǎng)度.圖33.已知等腰三角形 ABC中，/ACB=90°,點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且/ DEC=45°, M, N分別是DE, AE的中點(diǎn)，連接 MN,交直線BE于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)D在CB1的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖 1所小，易

5、證 MF +FN =BE .2(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在CB邊上時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證 明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并說(shuō)明理由.(2)當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3所示，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段MF, FN, BE之間的數(shù)量關(guān)系(不需要證明).AA/A/F/NMCDBNCEEE圖1圖2圖34.已知點(diǎn)。是 ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接 OA并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使得AE=OA,以 OB, OC為鄰邊作UOBFC,連接OF,與BC交于點(diǎn)H ,連接EF.(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1,若4ABC為等邊三角形，線段EF與BC的位置關(guān)系是, 數(shù)量關(guān)系為.(2)拓展探究如圖2,若 ABC為等腰直角三角形(BC為斜邊)，(1

6、)中的兩個(gè)結(jié)論是 否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出正確結(jié)論再給予證明.(3)解決問(wèn)題如圖3,若 ABC是等腰三角形，AB=AC=2, BC=3,請(qǐng)你直接寫(xiě)出線段EF 的長(zhǎng).圖2圖35.操作與證明：如圖1,把一個(gè)含45°角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起， 使三角形的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn) C重合，點(diǎn)E,F分別在正方形的邊CB, CD上，連接AF,取AF中點(diǎn)M, EF的中點(diǎn)N,連接MD, MN.(1)連接AE,求證： AEF是等腰三角形.猜想與發(fā)現(xiàn)：(2)在(1)的條件下，請(qǐng)判斷 MD, MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.(不需 要證明)結(jié)論1: MD, MN的數(shù)量

7、關(guān)系是結(jié)論2: MD , MN的位置關(guān)系是拓展與探究：(3)如圖2,將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,其他條 件不變，則(2)中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立， 請(qǐng)加以證明；若不成立， 請(qǐng)說(shuō)明理由.圖26.已知，在四邊形 ABCD中，點(diǎn)E,點(diǎn)F分別為AD, BC的中點(diǎn)，鏈接EF.(1)如圖1, AB/CD,連接AF并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G, WJ AB, CD, EF之間的數(shù)量關(guān)系為;(2)如圖2, /B=90°, /C=150°,求AB, CD, EF之間的數(shù)量關(guān)系？圖1圖2【旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)】7 .以四邊形ABCD的邊AB, AD為邊分別向外側(cè)作等邊

8、4 ABF和等邊 ADE, 連接EB, FD,交點(diǎn)為G.(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)(如圖1) , EB和FD的數(shù)量 關(guān)系是:(2)拓展探究：當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)(如圖2) , EB和FD具有怎樣 的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)加以證明.(3)問(wèn)題解決：四邊形ABCD由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過(guò) 程中，/ EGD是否發(fā)生變化？如果改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)?jiān)趫D 3 中求出/ EGD的度數(shù).8 .已知四邊形 ABCD是菱形，AB=4, /ABC=60°, / EAF的兩邊分別與射線 CB, DC 相交于點(diǎn) E, F,且/EAF=60°.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E是線

9、段CB的中點(diǎn)時(shí)，直舉可出.線段AE, EF, AF之間 的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E是線段CB上任意一點(diǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與B, C重合)，求 證：BE=CF;(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，且/ EAB=15°時(shí)，求點(diǎn)F到 BC的距離.9 .如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E, F分別為DC, BC邊上的點(diǎn)，且滿足 /EAF=45°,連接EF,求證：DE+BF=EF.小明是這樣解決的：延長(zhǎng) CB到 點(diǎn)G,使BG=DE,連接AG,再證明 GAFAEAF,可證得結(jié)論.感悟小明的解題方法，運(yùn)用你所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：(1)如圖 2,在四邊形 ABCD 中，AD/ B

10、C (AD>BC) , / D=90° , AD=CD=10, E 是 CD 上一點(diǎn)，且/ BAE=45°, DE=4,求 BE 的長(zhǎng).(2)類比(1)證明思想完成下列問(wèn)題：在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰 直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，/ BAC=/AGF=90° , 若4ABC固定不動(dòng)，4AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF, AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D, E (點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，等式 bd2+ce2=de2始終成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.10 .問(wèn)題背景如圖 1,在四邊形 ABCD 中，AB=AD, /BAD=120

11、6;, / B=/ADC=90° , EF 分別是BC, CD上的點(diǎn)，且/ EAF=60°,探究圖中線段BE, EF, FD之間的 數(shù)量關(guān)系.小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是延長(zhǎng) FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,先證 明ABEzXADG,再證明 AEFzXAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是2）探索延伸如圖2,在四邊形 ABCD中，AB=AD, /B+/D=180°, E, F分別是BC,CD上的點(diǎn)，且/ EAF=-ZBAD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由.2（3）結(jié)論應(yīng)用如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處， 艦艇乙在指揮中

12、心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等.接 到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以 60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北 偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、 乙兩艦艇分別到達(dá)E, F處，且兩艦艇與指揮中心 。之間夾角/ EOF=70°, 試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.G【直角結(jié)構(gòu)】11 . (1)觀察猜想如圖1,點(diǎn)B, A, C在同一條直線上，DBBC, ECLBC且/ DAE=90° , AD=AE,則BC, BD, CE之間的數(shù)量關(guān)系為 ;(2)問(wèn)題解決如圖2,在RtzXABC中，/ABC=90°

13、;, CB=4, AB=2,以AC為直角邊向外作 等腰RtzXDAC,連接BD,求BD的長(zhǎng)；圖1圖2(3)拓展延伸如圖 3,在四邊形 ABCD 中，/ ABC=/ADC=90°, CB=4, AB=2, DC=DA, 請(qǐng)直接寫(xiě)出BD的長(zhǎng).12 .情境創(chuàng)設(shè):如圖1,兩塊全等的直角三角板， ABCADEF,且/C=/F=90°,現(xiàn)如 圖放置，則/ ABE=:I如圖2, ZXABC中，AHLBC于點(diǎn)H,以A為直角頂點(diǎn)，分別以 AB, AC為 直角邊，向 ABC外作等腰直角 ABE和等腰直角 ACF,過(guò)點(diǎn)E, F作射 線HA的垂線，垂足分別為 M, N,試探究線段EM和FN之間的數(shù)

14、量關(guān)系， 并說(shuō)明理由.拓展延伸：如圖， ABC中，AHLBC于點(diǎn)H,以A為直角頂點(diǎn)，分別以 AB, AC為一 邊，向 ABC外作正方形 ABME和正方形ACNF,連接EF交射線HA于點(diǎn) G,試探究線段EG和FG之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.13 .已知邊長(zhǎng)為在的正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A, C不重合),過(guò)點(diǎn)P作PEXPB, PE交射線DC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EFXAC, 垂足為點(diǎn)F.(1)求證：PB=PE.(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變，試求出這個(gè) 不變的值，寫(xiě)出解答過(guò)程；若變化，試說(shuō)明理由.(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， PEC能否為等腰三角形？如果

15、能，直接寫(xiě)出 此時(shí)AP的長(zhǎng)；如果不能，試說(shuō)明理由.【其他類型】14 .如圖1,點(diǎn)A(a, b)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A到坐標(biāo)軸的垂線段AB, AC與坐標(biāo)軸圍成矩形OBAC,當(dāng)這個(gè)矩形的一組鄰邊長(zhǎng)的和與積相等時(shí)， 點(diǎn)A稱作“垂點(diǎn)”，矩形稱作“垂點(diǎn)矩形”.，,1(1)在點(diǎn) P(1, 2), Q(2, -2), N(, -1)中，是“垂點(diǎn)”的點(diǎn)為 ;2(2)點(diǎn)M(-4, m)是第三象限的“垂點(diǎn)”，直接寫(xiě)出 m的值; 一16 “一 , 一(3)如果“垂點(diǎn)矩形”的面積是且“垂點(diǎn)”位于第二象限，寫(xiě)出滿足3條件的“垂點(diǎn)”的坐標(biāo);(4)如圖2,平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) 。是正方形DEFG的對(duì)角線的交點(diǎn)， 當(dāng)正方形DEFG的邊上存在“垂點(diǎn)”時(shí)，GE的最小值為.15 .如圖1,在正方形 ABCD中，P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng) 線上，且PA=PE, PE交CD于F.(1)證明：PC=PE;(2)求/ CPE的度數(shù)；(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變，當(dāng)/ABC=120° 時(shí)，連接CE,試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.16 .如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D在直線BC上，連接AD,作/ ADN=