1、 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation2自動控制理論、現代控制理論基礎自動控制理論、現代控制理論基礎 授課：授課：2424學時學時 學分：學分：1.51.5學分學分 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation3第第1 1章章 引言引言第第2 2章章 用變分法求解最優控制問題用變分法求解最優控制問題第第3 3章章 極小值原理及其應用極小值原理及其應用第第4 4章章 線性二次型問題的最優控制線性二次型問題的最優控制第第5 5章章

2、動態規劃法動態規劃法 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation4 最優控制是系統設計的一種方法。它最優控制是系統設計的一種方法。它所研究的中心問題是如何選擇所研究的中心問題是如何選擇控制信號才能保證控制系統的性能在某種意義下最優?？刂菩盘柌拍鼙ＷC控制系統的性能在某種意義下最優。一、現代控制理論一、現代控制理論 現代控制理論是研究系統狀態的控制和觀測的理論，主要包括5個方面： 1 1、線性系統理論：研究線性系統的性質，能觀性、能控性、穩定性等。、線性系統理論：研究線性系統的性質，能觀性、能控性、穩定性等。 以以狀

3、態狀態空間法空間法為主要工具研究多變量線性系統的理論。為主要工具研究多變量線性系統的理論。 2 2、系統辨識：、系統辨識： 根據輸入、輸出觀測確定系統數學模型。根據輸入、輸出觀測確定系統數學模型。 3 3、最優控制、最優控制：尋找最優控制向量尋找最優控制向量u(t)。根據給定的目標函數和約束條件根據給定的目標函數和約束條件, ,尋求最優尋求最優的控制規律的問題。的控制規律的問題。 4 4、最佳濾波（卡爾曼濾波、最優估計）：存在噪聲情況下，如何根據輸入、輸出、最佳濾波（卡爾曼濾波、最優估計）：存在噪聲情況下，如何根據輸入、輸出估計狀態變量。估計狀態變量。 5 5、適應控制：利用辨識系統動態特性的

4、方法隨時調整控制規律以實現最優控制，、適應控制：利用辨識系統動態特性的方法隨時調整控制規律以實現最優控制，即在參數擾動情況下，控制器的設計問題。即在參數擾動情況下，控制器的設計問題。 把魯棒控制、預測控制均納入到現代控制理論的范疇。把魯棒控制、預測控制均納入到現代控制理論的范疇。 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation5二、最優控制的發展簡史二、最優控制的發展簡史 第二次世界大戰以后發展起來的自動調節原理，對設計與分析單輸第二次世界大戰以后發展起來的自動調節原理，對設計與分析單輸入單輸出的線性定常系統是有效的

5、；然而近代航空及空間技術的發展對控入單輸出的線性定常系統是有效的；然而近代航空及空間技術的發展對控制精度提出了很高的耍求，并且被控制的對象是多輸入多輸出的，參數是制精度提出了很高的耍求，并且被控制的對象是多輸入多輸出的，參數是時變的。面臨這些新的情況建立在傳遞函數基礎上的自動調節原理就日時變的。面臨這些新的情況建立在傳遞函數基礎上的自動調節原理就日益顯出它的局限性來。這種局限性首先表現在對于時變系統，傳遞函數根益顯出它的局限性來。這種局限性首先表現在對于時變系統，傳遞函數根本無法定義，對多輸入多輸出系統從傳遞函數概念得出的工程結論往往難本無法定義，對多輸入多輸出系統從傳遞函數概念得出的工程結論

6、往往難于應用。由于工程技術的需要，以狀態空間概念為基礎的最優控制理論漸于應用。由于工程技術的需要，以狀態空間概念為基礎的最優控制理論漸漸發展起來。最優控制理論是現代控制理論的核心，漸發展起來。最優控制理論是現代控制理論的核心，2020世紀世紀5050年代發展年代發展起來的，已形成系統的理論。起來的，已形成系統的理論。 最優控制理論所要解決的問題是：按照控制對象的動態特最優控制理論所要解決的問題是：按照控制對象的動態特性，選擇一個容許控制，使得被控對象按照技術要求運轉，性，選擇一個容許控制，使得被控對象按照技術要求運轉，同時使性能指標達到最優值。同時使性能指標達到最優值。 2008 HFUT最優

7、控制理論School of Electrical Engineering and Automation6 二、最優控制的發展簡史二、最優控制的發展簡史o先期工作：先期工作：n19481948年，年，維納維納( (N.WienerN.Wiener) )發表發表控制論控制論，引進了信息、反饋和引進了信息、反饋和控制等重要概念，奠定了控制論控制等重要概念，奠定了控制論(Cybernetics)(Cybernetics)的基礎。并提出了的基礎。并提出了相對于某一性能指標進行最優設計的概念。相對于某一性能指標進行最優設計的概念。19501950年年, ,米頓納爾米頓納爾(Medona1)(Medona1

8、)首先將這個概念用于研究繼電器系統在單位階躍作用下首先將這個概念用于研究繼電器系統在單位階躍作用下的 過 渡 過 程 的 時 間 最 短 最 優 控 制 問 題 。的 過 渡 過 程 的 時 間 最 短 最 優 控 制 問 題 。n19541954年，年，錢學森編著錢學森編著工程控制論工程控制論（上下冊），（上下冊），作者系統地揭示作者系統地揭示了控制論對自動化、航空、航天、電子通信等科學技術的意義和重了控制論對自動化、航空、航天、電子通信等科學技術的意義和重大影響。其中大影響。其中“最優開關曲線最優開關曲線”等素材，直接促進了最優控制理論等素材，直接促進了最優控制理論的形成和發展。的形成和發

9、展。 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation7o理論形成階段：理論形成階段： 自動控制聯合會自動控制聯合會(IFAC)(IFAC)第一屆世界大會于第一屆世界大會于19601960年召開年召開, ,卡爾曼卡爾曼（KalmanKalman）、貝爾曼（）、貝爾曼（R.BellmanR.Bellman）和龐特里亞金（）和龐特里亞金（PontryaginPontryagin）分）分別在會上作了別在會上作了“控制系統的一般理論控制系統的一般理論”、“動態規劃動態規劃”和和“最優控最優控制理論制理論”的報告的報告, ,宣告

10、了最優控制理論的誕生宣告了最優控制理論的誕生, ,人們也稱這三個工作人們也稱這三個工作是現代控制理論的三個里程碑。是現代控制理論的三個里程碑。o1953195319571957年，年，貝爾曼貝爾曼( (R.E.BellmanR.E.Bellman) )創立創立“動態規劃動態規劃”原理原理。為了解決多階段決策過程逐步創立的，依據最優化原理，用一組基為了解決多階段決策過程逐步創立的，依據最優化原理，用一組基本的遞推關系式使過程連續地最優轉移。本的遞推關系式使過程連續地最優轉移。“動態規劃動態規劃”對于研究最對于研究最優控制理論的重要性，表現于可得出離散時間系統的理論結果和迭優控制理論的重要性，表現

11、于可得出離散時間系統的理論結果和迭代算法。代算法。 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation8o1956195619581958年，年，龐特里亞金創立龐特里亞金創立“極小值原理極小值原理”。它是最優控制理論的主要組成部分和該理論發展史上的一個里程碑。它是最優控制理論的主要組成部分和該理論發展史上的一個里程碑。對于對于“最大值原理最大值原理”，由于放寬了有關條件的使得許多古典變分法，由于放寬了有關條件的使得許多古典變分法和動態規劃方法無法解決的工程技術問題得到解決，所以它是和動態規劃方法無法解決的工程技術問題得到

12、解決，所以它是解決解決最優控制問題的一種最普遍的有效的方法最優控制問題的一種最普遍的有效的方法。同時，龐特里亞金在。同時，龐特里亞金在最優過程的數學理論最優過程的數學理論著作中已經把最優控制理論初步形成了一著作中已經把最優控制理論初步形成了一個完整的體系。個完整的體系。n此外，構成最優控制理論及現代最優化技術理論基礎的代表性此外，構成最優控制理論及現代最優化技術理論基礎的代表性工作，工作， 還有不等式約束條件下的非線性最優必要條件還有不等式約束條件下的非線性最優必要條件( (庫庫恩恩圖克定理圖克定理) )以及卡爾曼的關于隨機控制系統最優濾波器等。以及卡爾曼的關于隨機控制系統最優濾波器等。 20

13、08 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation9三、研究最優控制的方法三、研究最優控制的方法 從數學方面看，從數學方面看，最優控制問題最優控制問題就是求解一類帶有約束條件的泛函極值就是求解一類帶有約束條件的泛函極值問題，因此這是一個變分學的問題：然而問題，因此這是一個變分學的問題：然而變分理論變分理論只是解決只是解決容許控制屬于容許控制屬于開集開集的一類最優控制問題，而在工程實踐中還常遇到的一類最優控制問題，而在工程實踐中還常遇到容許控制屬于閉集容許控制屬于閉集的的一類最優控制問題，這就要求人們研究新方法。一類最優控制問

14、題，這就要求人們研究新方法。 在研究最優控制的方法中，有兩種方法最富成效：一種是蘇聯學者在研究最優控制的方法中，有兩種方法最富成效：一種是蘇聯學者龐特里雅金提出的龐特里雅金提出的“極大值原理極大值原理”；另一種是美國學者貝爾曼提出的；另一種是美國學者貝爾曼提出的“動動態規劃態規劃”。 極大值原理極大值原理是龐特里雅金等人在是龐特里雅金等人在19561956至至19581958年間逐步創立的，先是年間逐步創立的，先是推測出極大值原理的結論，隨后又推測出極大值原理的結論，隨后又提供了一種證明方法。提供了一種證明方法。 動態規劃動態規劃是貝爾曼在是貝爾曼在19531953年至年至19581958年間

15、逐步創立的，他依據年間逐步創立的，他依據最優性原理發展了變分學中的最優性原理發展了變分學中的哈密頓哈密頓- -雅可比理論，構成了動雅可比理論，構成了動態規劃。態規劃。 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation10 由于電子計算機技術的發展，使得設計計算和實時控制有了實際可由于電子計算機技術的發展，使得設計計算和實時控制有了實際可用的計算工具，為實際應用一些更完善的數學方法提供了工程實現的物用的計算工具，為實際應用一些更完善的數學方法提供了工程實現的物質條件，高速度、大容量計算機的應用，一方面使控制理論的工程實現

16、質條件，高速度、大容量計算機的應用，一方面使控制理論的工程實現有了可能，另一方面又提出了許多需要解決的理論課題，因此這門學科有了可能，另一方面又提出了許多需要解決的理論課題，因此這門學科目前是正在發展的，極其活躍的科學領域之一。目前是正在發展的，極其活躍的科學領域之一。 四、四、 求解最優控制問題求解最優控制問題 可以采用可以采用解析法解析法或或數值計算法數值計算法變分法無約束 極值原理、動態規則有約束區間消去法爬山法梯度法最優控制問題解析法數值計算法 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation11什么是最優控制

17、？以下通過直流他勵電機的控制問題來說明什么是最優控制？以下通過直流他勵電機的控制問題來說明問題問題6-1 電動機的電動機的運動方程運動方程為為tJTIKDFDmdd（1）其中，其中， 為轉矩系數；為轉矩系數； 為轉動慣量；為轉動慣量； 為恒定的負載轉矩；為恒定的負載轉矩；mKDJFT希望：希望：在時間區間在時間區間0，tf內，電動機從靜止起動，轉過一定角度內，電動機從靜止起動，轉過一定角度后停止，使電樞電阻后停止，使電樞電阻 上的損耗上的損耗 最小，求最小，求DRttIREDtDfd)(20)(tIDDI因為因為 是時間的函數，是時間的函數，E 又是又是 的函數，的函數，E 是函數的函數，稱為

18、是函數的函數，稱為泛函泛函。DIconstttftd)(0（2） 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation12采用采用狀態方程狀態方程表示，令表示，令1x12xxDFDDmJTIJKx2于是于是FDDDmTJIJKxxxx10000102121（3）初始狀態初始狀態00)0()0(21xx末值狀態末值狀態0)()(21fftxtxDI控制控制 不受限制不受限制性能指標性能指標ttIREDtDfd)(20（4）)(tID本問題的最優控制問題是本問題的最優控制問題是：在數學模型（：在數學模型（3）的約束下，尋求一個

19、）的約束下，尋求一個控制控制 ，使電動機從初始狀態轉移到末值狀態，性能指標，使電動機從初始狀態轉移到末值狀態，性能指標E 為為最小。最小。 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation13問題問題6-2對于問題對于問題6-1中的直流他勵電動機，如果電動機從初始中的直流他勵電動機，如果電動機從初始)(tID時刻時刻 的靜止狀態轉過一個角度的靜止狀態轉過一個角度 又停下，求控制又停下，求控制 （ 是是受到限制的），使得所需時間最短。受到限制的），使得所需時間最短。00t)(tID這也是一個最優控制問題：這也是一個最優控

20、制問題：系統方程系統方程為為FDDDmTJIJKxxxx10000102121初始狀態初始狀態00)0()0(21xx末值狀態末值狀態0)()(21fftxtx)(tIDmaxDI（5）性能指標性能指標ftttJf0d（6）)0(x最優控制問題最優控制問題為：在狀態方程的約束下，尋求最優控制為：在狀態方程的約束下，尋求最優控制，將，將 轉移到轉移到 ，使，使J 為極小。為極小。maxDI)(tID)(ftx 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation14例例1.1 月球上的軟著陸問題月球上的軟著陸問題 飛船靠其發

21、動機產生一與月球重力方向相反的推飛船靠其發動機產生一與月球重力方向相反的推力力u(tu(t) )，以使飛船在月球表面實現軟著陸，要尋求發，以使飛船在月球表面實現軟著陸，要尋求發動機推力的最優控制規律，以便使燃料的消耗為最少。動機推力的最優控制規律，以便使燃料的消耗為最少。 設飛船質量為m(t)，高度為h(t)，垂直速度為v(t)，發動機推力為u(t)，月球表面的重力加速度為常數g。設不帶燃料的飛船質量為M， 初始燃料的總質量為F初始高度為h0，初始的垂直速度為v0， k為比例系數，表示推力與燃料消耗率的關系，那么飛船的運動方程式可以表示為：)()()()()()()(tkutmtmtugtvt

22、vth初始條件 FMmvvhh)0()0()0(00終端條件 0)(0)(fftvth性能指標是使燃料消耗為最小，即 約束條件)(0tu)(ftmJ 達到最大值 我們的任務是尋求發動機推力的最優控制規律u(t),它應滿足約束條件，使飛船由初始狀態轉移到終端狀態，并且使性能指標為極值(極大值)。 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation15系統狀態方程系統狀態方程為為),(tux,fx 初始狀初始狀態為態為)(0tx其中，其中，x 為為n 維狀態向量；維狀態向量； u 為為r 維控制向量；維控制向量； f 為為n

23、 維向量函數，維向量函數，它是它是 x 、u 和和t 的連續函數，并且對的連續函數，并且對x 、t 連續可微。連續可微。最優。其中最優。其中 是是 x 、u 和和t 的連續函數的連續函數),(tuxL)(ftxrRu 尋求在尋求在 上的最優控制上的最優控制 或或 ，以將系統狀，以將系統狀態從態從 轉移到轉移到 或或 的一個集合，并使的一個集合，并使性能指標性能指標,0fttrRU u)(0tx)(ftxttttJfttffd),(),(0uxLx最優控制問題最優控制問題就是求解一類帶有約束條件的條件泛函極值問題。就是求解一類帶有約束條件的條件泛函極值問題。 2008 HFUT最優控制理論Sch

24、ool of Electrical Engineering and Automation16在敘述最優控制問題的提法之前，先討論一些基本概念。在敘述最優控制問題的提法之前，先討論一些基本概念。 1) 1) 有一個被控對象（有一個被控對象（受控系統的數學模型）受控系統的數學模型） 一個集中參數的受控系統總可以用一組一階微分方程來描述，即狀態方程，一個集中參數的受控系統總可以用一組一階微分方程來描述，即狀態方程，其一般形式為：其一般形式為：00)(),(),()(xtxttutxftx)(tx是是n維狀態向量維狀態向量 )(tu為為p維控制向量維控制向量,在在t0,tf 上分段連續上分段連續),(

25、),(ttutxf為為n維連續向量函數維連續向量函數, 對對x和和t連續可微連續可微 ),()(),(),()(),(),()(),(),()(),(),()(),(),()(),(),(),(),(),(),(),(),(),()(2121212122121121ttutututxtxtxfttutututxtxtxfttutututxtxtxfttutxfttutxfttutxfttutxftxpnnpnpnn 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation172) 2) 有一目標集及邊界條件（有一目標集及邊界條

26、件（邊界條件與目標集）邊界條件與目標集） a）邊界條件：）邊界條件：初始狀態初始狀態： 如果把狀態視為如果把狀態視為n維歐氏空間中的一個點，在最優控制問維歐氏空間中的一個點，在最優控制問題中，題中，起始狀態（初態）起始狀態（初態）通常是已知的，即通常是已知的，即)0()(0 xtx 末端狀態：末端狀態： 而所達到的而所達到的狀態（末態）狀態（末態）可以是狀態空間中的一個點，或可以是狀態空間中的一個點，或事先規定的范圍內，對末態的要求可以用事先規定的范圍內，對末態的要求可以用末態約束條件末態約束條件來表示：來表示：nrRttxrff,)(0),(說明：至于末態時刻，可以事先規定，也可以是未知的。

27、說明：至于末態時刻，可以事先規定，也可以是未知的。有時初態也沒有完全給定，這時，初態集合可以類似地用初態約束來表示。有時初態也沒有完全給定，這時，初態集合可以類似地用初態約束來表示。 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation183) 3) 容許控制容許控制在實際控制問題中，大多數控制量受客觀條件的限制，只能在一定范在實際控制問題中，大多數控制量受客觀條件的限制，只能在一定范圍內取值，這種限制通?？梢杂萌缦虏坏仁郊s束來表示：圍內取值，這種限制通常可以用如下不等式約束來表示：piuutui2 , 1)(0max或上

28、述由控制約束所規定的點集稱為控制域上述由控制約束所規定的點集稱為控制域，凡在，凡在t0-tf上有定義，且在上有定義，且在控制域控制域內取值的每一個控制函數內取值的每一個控制函數u(t)均稱為均稱為容許控制容許控制。0),(ftxM( ,)0,pftpnxxR目標集：目標集：在控制在控制u的作用下，把被控對象的初態的作用下，把被控對象的初態x0在某個終端時刻在某個終端時刻轉移到某個終端狀態轉移到某個終端狀態x(tf)。 x(tf)通常受幾何約束。例如考慮它是一通常受幾何約束。例如考慮它是一個點集，在約束條件個點集，在約束條件 下下 目標集為目標集為 b）目標集）目標集：滿足末態約束的狀態集合滿足

29、末態約束的狀態集合稱為目標集稱為目標集，記為，記為M，即：，即：0),(,)();(ffnffttxRtxtxM 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation19 為了能在各種控制律中尋找到效果最好的控制，需要建立為了能在各種控制律中尋找到效果最好的控制，需要建立一種評價控制效果好壞或控制品質優劣的性能指標函數。一種評價控制效果好壞或控制品質優劣的性能指標函數。又稱代價（成本，目標）函數或泛函，記做又稱代價（成本，目標）函數或泛函，記做 ，它是一個依賴于控制的有限實數，一般的表達式為：它是一個依賴于控制的有限實數，

30、一般的表達式為： 該表達式包括了依賴于終端時刻該表達式包括了依賴于終端時刻t tf f和終端狀態和終端狀態x(tf)的末值的末值型項，以及依賴于這個控制過程的積分型項。因此，可型項，以及依賴于這個控制過程的積分型項。因此，可將最優控制問題的將最優控制問題的性能指標分為性能指標分為：混合型混合型、末值型末值型和和積積分型分型。不同的控制問題，應取不同的性能指標：。不同的控制問題，應取不同的性能指標： )(uJfttffdtttutxLttxuJ0),(),(),()(4) 4) 性能指標性能指標 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering an

31、d Automation20（1 1）積分型性能指標）積分型性能指標： a.a.最短時間控制：最短時間控制： b.b.最少燃燒控制：最少燃燒控制： c.c.最小能量控制最小能量控制: :（2 2）末值型性能指標）末值型性能指標（3 3）混合型性能指標）混合型性能指標fttfttdtuJttutxL00)(, 1),(),(fttdtttutxLuJ0),(),()(mjjtuttutxL1)(),(),( fttmjjdttuJ01)(fttTdttutuJ0)()()()(),(),(tututtutxLT),()(ffttxuJfttffdtttutxLttxuJ0),(),(),()(

32、2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation215) 5) 最優控制的提法最優控制的提法已知受控系統的已知受控系統的狀態方程及給定的初態狀態方程及給定的初態),(),()(ttutxftx)0()(0 xtx規定的目標集為規定的目標集為M，求一，求一容許控制容許控制u(t),t t0,tf,使系統從給定的初使系統從給定的初態出發，在態出發，在tf t0時刻轉移到目標集時刻轉移到目標集M，并使，并使性能指標性能指標 fttffdtttutxLttxJ0),(),(),(（）（為最小為最小。通常用以下泛函形式表示。通常

33、用以下泛函形式表示 這就是最優控制問題。這就是最優控制問題。如果問題有解，記為如果問題有解，記為u*(t), t t0,tf,則則u*(t)叫做叫做最優控制（極值控制）最優控制（極值控制），相應的軌線相應的軌線X*(t)稱為稱為最優軌線（極值軌線最優軌線（極值軌線），而性能指標），而性能指標J*=J（u*()）則）則稱為稱為最優性能指標最優性能指標。0),()(,),(),()(.),(),(),(min00)(0ffttfftuttxxtxttutxftxtsdtttutxLttxJf 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and A

34、utomation22設計最優控制系統時，很重要的一個問題是選擇性能指標，性能指標按其設計最優控制系統時，很重要的一個問題是選擇性能指標，性能指標按其數學形式可分為如下三類：數學形式可分為如下三類：1）積分型性能指標）積分型性能指標 fttdtttutxLJ0),(),(這樣的最優控制問題為這樣的最優控制問題為拉格朗日問題拉格朗日問題。2）終值型性能指標）終值型性能指標),(ffttxJ這種性能指標只是對于系統在動態過程結束時的終端狀態提出了要求，這種性能指標只是對于系統在動態過程結束時的終端狀態提出了要求，而對于整個動態過程中系統的狀態和控制的演變未作要求。這樣的最優而對于整個動態過程中系統

35、的狀態和控制的演變未作要求。這樣的最優控制問題為控制問題為邁耶爾問題邁耶爾問題。3）復合型性能指標）復合型性能指標 fttffdtttutxLttxJ0),(),(),(這樣的最優控制問題為這樣的最優控制問題為波爾扎問題波爾扎問題。 通過適當變換，拉格朗日問題和邁耶爾問題可以相互轉換。通過適當變換，拉格朗日問題和邁耶爾問題可以相互轉換。 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation23按控制系統的用途不同，所選擇的性能指標不同，常見的有：按控制系統的用途不同，所選擇的性能指標不同，常見的有：1：最小時間控制：最小時

36、間控制fttfdtttJ0102：最小燃料消耗控制：最小燃料消耗控制 粗略地說，控制量粗略地說，控制量u(t)與燃料消耗量成正比，最小燃料消耗問題的與燃料消耗量成正比，最小燃料消耗問題的性能指標為：性能指標為： fttdttuJ0| )(|3：最小能量控制：最小能量控制 設標量控制函數設標量控制函數u2(t)與所消耗的功率成正比，則最小能量控制問題的與所消耗的功率成正比，則最小能量控制問題的性能指標為：性能指標為： fttdttuJ0)(2 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation244：狀態調節器：狀態調節器

37、給定一個線性系統，其平衡狀態給定一個線性系統，其平衡狀態X(0)=0，設計的目的是保持系統處于平衡狀態，設計的目的是保持系統處于平衡狀態，即這個系統應能從任何初始狀態返回平衡狀態。這種系統稱為即這個系統應能從任何初始狀態返回平衡狀態。這種系統稱為線性調節器線性調節器。 線性調節器的性能指標為線性調節器的性能指標為： fttniidttxJ012)(加權后的性能指標為：加權后的性能指標為： fttniiidttxqJ012)(對對u(t)有約束的性能指標為有約束的性能指標為： fttTTdttRututQxtxJ0)()()()(21式中式中Q和和R都是正定加權矩陣。都是正定加權矩陣。 一般形式

38、，一般形式，有限時間線性調節器性能指標有限時間線性調節器性能指標： fttTTffTdttRututQxtxtFxtxJ0)()()()(21)()(21無限時間線性調節器性能指標：無限時間線性調節器性能指標： 0)()()()(21tTTdttRututQxtxJF0，Q0，R0，均為對稱加權矩陣。均為對稱加權矩陣。 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation255：線性跟蹤器：線性跟蹤器若要求狀態若要求狀態x(t)跟蹤或盡可能接近目標軌跡跟蹤或盡可能接近目標軌跡Xd(t),則這種系統稱為則這種系統稱為狀態跟蹤

39、狀態跟蹤器器，其相應的性能指標為：，其相應的性能指標為：fttTdTddttRututxtxQtxtxJ0)()()()()()(21Q0，R0，均為對稱加權矩陣。均為對稱加權矩陣。若要求系統輸出若要求系統輸出y(t)跟蹤或盡可能接近目標軌跡跟蹤或盡可能接近目標軌跡yd(t),則這種系統稱為則這種系統稱為輸出輸出跟蹤器跟蹤器，其相應的性能指標為：，其相應的性能指標為：fttTdTddttRututytyQtytyJ0)()()()()()(21Q0，R0，均為對稱加權矩陣。均為對稱加權矩陣。 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and

40、 Automation26除了上述幾種應用類型外，根據具體工程實際的需要，還可以選取其他除了上述幾種應用類型外，根據具體工程實際的需要，還可以選取其他不同形式的性能指標，在選取性能指標時需注意：不同形式的性能指標，在選取性能指標時需注意：1）應能反映對系統的主要技術條件要求）應能反映對系統的主要技術條件要求2）便于對最優控制進行求解）便于對最優控制進行求解3）所導出的最優控制易于工程實現）所導出的最優控制易于工程實現 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation27一、多變量函數極值問題一、多變量函數極值問題設二元

41、函數設二元函數f（x1,x2），在點（），在點（x1*,x2*）處有極值）處有極值f（x1*,x2*）的）的必要條件必要條件為：為：0),(),(*2*11211xxxxxfxf0),(),(*2*12212xxxxxfxff（x1*,x2*）取極小值的充分條件取極小值的充分條件為：為：0)(2)(22*21*21*222111xfxxfxfxxxxxx0)(21*2, 122212111xxffffxxxxxxxxxx或或 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation28*22212111xxxxxxxxxxff

42、ffF正定正定 ),(),(*2*12121211xxxxxfxxf),(),(*2*12121221xxxxxxfxxf),(),(*2*12221222xxxxxfxxf其中其中上述結論可以推廣到自變量多于兩個的情形上述結論可以推廣到自變量多于兩個的情形 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation29設設n 個變量的多元函數個變量的多元函數f（x1，x2，xn），若），若f（x）在）在x*處有極小處有極小值，其必要條件為：值，其必要條件為： 0,*2*1221nxxxxfxfxfxF充分條件為：充分條件為：2

43、222122222212212212212*)()()()()()()()()(nnnnnxxxxfxxxfxxxfxxxfxxfxxxfxxxfxxxfxxfF為正定矩陣。為正定矩陣。 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation30二、有約束條件的函數極值問二、有約束條件的函數極值問題題 設二元函數設二元函數f（x1,x2），），x1和和x2必須滿足下列方程：必須滿足下列方程： g（x1,x2）0 為求函數為求函數f（x1,x2）的極值，并找出其極值點（）的極值，并找出其極值點（x1*,x2*），作一），作一輔

44、助函數輔助函數拉格朗日函數拉格朗日函數： ),(),(),(212121xxgxxfxxL式中式中為輔助變量，稱為為輔助變量，稱為拉格朗日乘子拉格朗日乘子。函數函數f（x1,x2）求極值問題，轉變為）求極值問題，轉變為無約束條件函數無約束條件函數求極值問題求極值問題（拉格朗日乘子法），其（拉格朗日乘子法），其存在極值的必要條件存在極值的必要條件為為 021LxLxLxL或或0111xgxfxL0222xgxfxL0),(21xxgL 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation31同樣，用拉格朗日乘子法可以求有約束

45、條件的同樣，用拉格朗日乘子法可以求有約束條件的n元函數的極值。元函數的極值。設設n元函數為元函數為f（x1，x2，xn），有），有m個約束方程個約束方程 0),(21nixxxgi1，2，m（nm）),(),(),(211212121nimiinmnxxxgxxxfxxxL作拉格朗日函數作拉格朗日函數：函數函數L有極值的必要條件有極值的必要條件為：為：01111xgxfxLimii02122xgxfxLimii0),(2111nxxxgL0),(2122nxxxgL0),(21nmmxxxgL01nimiinnxgxfxL 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical

46、 Engineering and Automation32函數：對于變量t的某一變域中的每一個值，x都有一個值與之相對應，那么變量x稱作變量t的函數。記為： x=f (t)t稱為函數的自變量自變量的微分：dt=t-t0 （增量足夠小時）泛函：對于某一類函數x()中的每一個函數x(t)，變量J都有一個值與之相對應，那么變量J稱作依賴于函數x(t)的泛函。記為： J=J x(t)x(t)稱為泛函的宗量宗量的變分：)()(0txtxx函數與泛函比較：函數與泛函比較： 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation33(1)

47、 泛函泛函 設對于自變量設對于自變量 ，存在一類函數，存在一類函數 ，對于每個函數，對于每個函數 ，有一個有一個 值與之對應，則變量值與之對應，則變量 稱為依賴于函數稱為依賴于函數 的泛函的泛函數，簡稱泛函，記作數，簡稱泛函，記作 。 這里自變量仍是一個函數，故這里自變量仍是一個函數，故泛函泛函也也稱函數的函數稱函數的函數。如。如: txJ txt tx txJJ tmvE221 dtttxtxLJftt0, 例如：例如：ttxxJd)(30（其中，（其中， 為在為在 上連續可積函數）上連續可積函數）)(tx3,0當當 時，有時，有 ；當；當 時，有時，有 。ttx)(5 . 4Jtetx)(

48、13 eJ 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation34(2) 宗量的變分宗量的變分 泛函泛函 的變量的變量 的變分的變分xxLJ, txJ txx txtxx0 nRtxtx0,宗量變分宗量變分 表示表示 中點中點 與與 之間的差。之間的差。x tx tx0nR(3) 泛函變分的定義泛函變分的定義定義定義 設設Jx是線性賦泛空間是線性賦泛空間 上的連續泛函其增量可表示為上的連續泛函其增量可表示為xJxxJxJxxrxxL,其中其中 的的線性連續泛函線性連續泛函 關于關于 的的高階無窮小高階無窮小xxL,xxx

49、r,x則稱則稱 為為泛函泛函Jx(t)的變分的變分.泛函的變分是唯一的。當泛函變分存在時泛函的變分是唯一的。當泛函變分存在時,也稱也稱泛函可微泛函可微.)()(0ttxx對于一個任意小正數對于一個任意小正數 ，總是可以找到，總是可以找到 ，當，當 時，有時，有 就稱泛函就稱泛函 在在 處是處是連續連續的的。)()(0ttxx)()(0tJtJxx)(tJ xnR 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation35定理定理2.1： 設設 為線性賦范空間為線性賦范空間 上的連續泛函，若在上的連續泛函，若在 處處 可微，其

50、中可微，其中 ，則，則 的變分為：的變分為： xJnR0 xx xJnRxx0, xJ000,JxxJxx 10證明：證明： 處處 可微，則：可微，則： 由于由于 是是 的線性連續泛函，的線性連續泛函， 又又 關于關于 的高價無窮小的高價無窮小(4) 泛函變分求法泛函變分求法0 xJ00 xJxxJJxxrxxL,00 xxL,0 xxxLxxL,00 xxr,00,lim00 xxrx 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation360000limJxxJxJxx 001lim,Lxxrxx xxJ,000 20

51、08 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation37fttdttxJ0)(2dttxtxdttxtxtxdttxtxtxtxJJffftttttt)()(2|)()()(2|)()(|)()(0000020 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation381）2121)(LLLL2）122121)(LLLLLL3）ttLttLbabad,d,xxxx4）xxddddtt(5) 泛函變分規則泛函變分規則 2008 HFUT最優控制理論School

52、 of Electrical Engineering and Automation39000000 , , 2.1J, )|()()|()ffffttttttttJL x x t dtL xx xx t dtLxxLxxdtxxLLxx dtxx解：由定理 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation40(6) 泛函極值泛函極值00000(,) |,(,)J 0J 0nU xxxxxRxU xDxJ xJ xxJ xJ x在，均有定義定義2.2 設設Jx是線性賦范空間是線性賦范空間Rn上某個開子集上某個開子集D中定

53、義的可微泛函中定義的可微泛函, 點點x0D 若存在某一正數若存在某一正數 以及集合以及集合則稱則稱泛函泛函Jx在在x=x0處處達到極小達到極小(大大)值值. 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation41(7) 泛函極值的必要條件泛函極值的必要條件: 泛函極值定理泛函極值定理定理定理2.2 若可微泛函若可微泛函Jx在在x0上達到極值，則在上達到極值，則在x0上的變分為零上的變分為零, 即即0,000 xxJxxJ證明：證明：根據函數極值的條件，函數根據函數極值的條件，函數()在在=0 時達到極值的必要條件為：時達

54、到極值的必要條件為：可見：可見：0000)(,ddxxJxxJ00)(xxJ0)(0dd0,0 xxJ 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation42 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation43 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation44 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and A

55、utomation45(8) 變分預備定理：變分預備定理：定理定理2.3 設設 是是 上連續的上連續的 維向量函數，維向量函數， 是任意的是任意的 維連續向量函數，且維連續向量函數，且若若則：則：00fttfttt,00,fttnnfttTdttt00)()()(t)(t0)(t 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation46設函數設函數x（t）在）在 t0,tf 區間上連續可導區間上連續可導 定義下列形式的積分定義下列形式的積分dtttxtxFJftt),(),(0J的值取決于函數的值取決于函數x（t），稱為）

56、，稱為泛函泛函 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation47(一一) 無約束泛函極值無約束泛函極值的必要條件的必要條件定理定理2.4 設有如下泛函極值問題設有如下泛函極值問題: 在在 上連續可微，已知上連續可微，已知 則極值軌線則極值軌線 滿足如下滿足如下歐拉方程歐拉方程dttxxLJftttx0),(min)(ftt,0)(,txtxxL00 xtxffxtxnRx tx*0 xLdtdxL及及橫截條件橫截條件: 0)()(00txxLtxxLtTftTf2.3.1 歐拉方程歐拉方程 2008 HFUT最優控

57、制理論School of Electrical Engineering and Automation48證明證明: 設設x*(t)是滿足是滿足x(t0)=x0, x(tf)=xf的極值軌線的極值軌線, x(t)是是x*(t)鄰域中一允許軌線鄰域中一允許軌線 則則,x(t)及其導數，在及其導數，在x*(t)及其導數附近發生微小變分，即：及其導數附近發生微小變分，即：)()()()()()()()()(0*0*fftxtxtxtxxtxtxtxtxtx *xJxxJxJfttdttxxLtxxxxL0,*0()()fTttTH OLdLxtxTxx 泰勒展開式中的高階項泰勒展開式中的高階項H O

58、TL由一階變分定義，取由一階變分定義，取Jx 的的線性主部線性主部泛函泛函J的增量如下：的增量如下： 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation490()ftTtTJxLLxxdtx000fffttTtTttTtLxLxxddtLdtdxxtx對上式中對上式中第二項作分部積分第二項作分部積分,有有從而從而,00)|()ffttTttTLdLxxLJdtxxdtx由定理由定理2.2,2.3,可得可得:極值曲線滿足極值曲線滿足:0LdLxdtx 00()()0fTTfttLLx tx txx歐拉方程歐拉方程:橫截條件

59、橫截條件:00()()|0fftttTtTJxdLxxLdLxxtdt 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation50不同函數不同函數L的歐拉方程為：的歐拉方程為：),(ttxL0 xL),(ttxL022xxL ),(ttxL 0222txLxxL )(),(txtxL0222xLtxLxxL xtxtxttxtxL),(),(),(),(0tx 2008 HFUT最優控制理論School of Electrical Engineering and Automation51當當t0和和tf給定時，根據給定時，根

60、據x(t0),x(tf)是固定的或自由的各種組合，可導出邊是固定的或自由的各種組合，可導出邊界條件界條件 （1）固定固定始端和始端和固定固定終端終端x(t0)=x0, x(tf)=xf x(t0)=x0, x(tf)=xf X(t)X1(t)X2(t)X3(t)t0tft由橫截條件由橫截條件00()( )0(*)fTTfttLLx tx txx00,x t0ftx即即, . 給定始、終端時刻（給定始、終端時刻（始端始端時刻時刻t0和終端和終端時刻時刻tf都給定都給定時的時的橫截條件橫截條件 ）有余下幾種情況：有余下幾種情況：2.3.2 橫截條件橫截條件求解歐拉方程，需要由橫截條件