1、2021屆高三第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)高三數(shù)學(xué)理科第I卷共50分一、選擇題：本大題共 10個(gè)小題，每題5分,共50分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.設(shè)集合 A 2,0,2 ,B x|x2 x 2 0，那么 APl BA.0 B.2 C.2,0 D.0,22.直線x 3y 30的傾斜角的大小是52A. B.C. D.6633乩在.0C中，甬丘瓦U的對(duì)邊分別為也血s假設(shè) = 2>=2目,。=30爲(wèi)那么角E等于、-x14.實(shí)數(shù)x, y滿足 y2，那么x y的最小值為xy0A. 2B. 3C4D.55.設(shè)alog.3 2,b log3 2,cp0.3,那么這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是A

2、.Cb a B. c ab C.a bcD. b c a6.命題p: x 1,x 1 ；命題q: a 0,1，函數(shù)y ax在那么以下命題為真命題的是)A.pq B.p q C.pqD.p qA W tk 60"D. 60130° “0的圖象向左平移上為減函數(shù),7.假設(shè)函數(shù)f x sin x 4個(gè)單位，得到的函數(shù)圖象的對(duì)稱中心與4f x圖象的對(duì)稱中心重合，那么的最小值是A. 1 B . 2 C . 4 D . 88. ABC，假設(shè)對(duì) tR,| BA tBC | | BA2BC |，那么 ABC的形狀為A.必為銳角三角形 B.必為直角三角形 C.必為鈍角三角形 D.答案不確定1

3、9. 函數(shù)f x |lg x 1 | COSX的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A. 3B . 4C. 5 D . 63PB 10. 圓c： x2 y2 1，點(diǎn)P在直線l : y X 2上，假設(shè)圓C上存在兩點(diǎn)A, B使得PA那么點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值圍為11A.1, B.2, C.1,0 D.2,022第n卷共100分二、填空題每題 5分，總分值25分，將答案填在答題紙上11. 隨機(jī)變量X-B n, p，且E X 2,D X 1，那么p .log112. 函數(shù)f x是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x 0,1時(shí)，f x x，那么f 2 2 =13.觀察以下等式:1 12 3493+4+567254 5 6789 10 49照此

4、規(guī)律，第n個(gè)等式為.14. 某幾何體的三視圖如下列圖，其俯視圖的外輪廓是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形，那么此幾何體的 體積是.15. 直線y k X m與拋物線y2 2px p 0交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA! OB,ODL AB 于D,點(diǎn)D在曲線x2 y2 4x 0上，那么p .三、解答題 本大題共6小題，共75分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16. 本小題總分值12分直線x與直線x4是函數(shù)4f x sin x0, 22的圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸1求，的值；2假設(shè)3，f4，求sin 的值4 '4517.本小題總分值12分等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，公比q0，

5、 Sa1, S3a3, S2a2成等差數(shù)列21求an ；2設(shè)S12 >Cnn 1bA2，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和T,.log2 an18. 本小題總分值12分1甲、乙、丙三位學(xué)生各自獨(dú)立地解同一道題，甲做對(duì)的概率為，乙、丙做對(duì)的概率分別為2m,n m n，且三位學(xué)生是否做對(duì)相互獨(dú)立，記X為這三位學(xué)生中做對(duì)該題的人數(shù)，其分布列為:X0123P1ab1424(1 )求至少有一位學(xué)生做對(duì)該題的概率；(2) 求 m, n 的值；(3) 求X的數(shù)學(xué)期望.19. (本小題總分值12分)如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是正方形，側(cè)棱 PD丄底面ABCD , PD DC 2 ,E是PC的中點(diǎn).

6、(1)求證：PA/平面EDB ;(2)求銳二面角C PBD的大小.20. (本小題總分值13分)2 2橢圓務(wù)占 1 a b 0上一點(diǎn)與它的左、右兩個(gè)焦點(diǎn) RE的距離之和為2 2，且它的 a b離心率與雙曲線 x y 2的離心率互為倒數(shù).(1)求橢圓的方程；(2)如圖，點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(非長(zhǎng)軸端點(diǎn))，AF1的延長(zhǎng)線與橢圓交于 B點(diǎn)，A0的延長(zhǎng)線與橢圓交于C點(diǎn).(i) 當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，求證：直線 AB與BC的斜率之積為定值;(ii) 求厶ABC面積的最大值，并求此時(shí)直線 AB的方程.21. (本小題總分值14分)函數(shù)f xx4 In x a4x 1 ,a R.(1)求曲線y f x在點(diǎn)1

7、, f 1處的切線方程；(2)假設(shè)當(dāng)x 1時(shí)，fx0恒成立，數(shù)a的取值圍；(3) f x的極小值為a1,當(dāng) a 0 時(shí)，求證：1 e 4a e4a 14a 0.( e 2.71828 為自然對(duì)數(shù)的底)二O六屆高三第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)、選擇題:本大題共DBDAAACC二、填空題:本大題共高三數(shù)學(xué)(理科)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)10小題，每題5分，共50 分.BD5小題，每題5分，共25 分.2021.1111.丄212.13.n (n 1) (n 2)(3n2)(2n1)28 n 、14.15. 23三、解答題：本大題共n、x *是函數(shù)f(x) sin( x)圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸,4416.解：(1

8、)因?yàn)橹本€6小題，共75分解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.趙酗加的聶小工由期乜収力 與 亦一14 2甘 a嘰而葉兀-加-1 r 2n“嚴(yán).-J分*因龍珈/W的圏監(jiān)黃于直線“豐對(duì)稱"斗x所以knk Z ，即knk Z 5分424又因?yàn)?上，所以-. 6分224 由(1)，得 f(x) sin(x n).由題意，sin( )- 7分445n,0).從而 cos(2sinnsin( 4)sin(nn)cos cos(44n 一)si n4417.解:(1)因?yàn)?#167;a1, S3所以S3 a3化簡(jiǎn)得4a3 a1.所以q2a3a1故anna1qbn(log 2 an)Cn(nTn

9、C114(4110a3，S2aS2a?4.因?yàn)閝1 n 1(2)1)66c2C3132)122a2成等差數(shù)列,S3a3 .10，所以q 2(A*1iog2(2)n21百nn2(nCn1(3丄""2 * n10分12分1(n 2)2.10分152)(n 1)1(n 1)21n(n 2)2"1(n 1)212J(n 2)2-J (n 1) (n 2)12分18.解：(1)至少有一位學(xué)生做對(duì)該題的概率為1 P(X 0)4(2)由題意，得1 mn21(1 2)(1 m)(1丄24n)又m n，解得m(3)由題意，a11124b 1 P(X0)P(X1)P(X3)11241

10、246 / 14E(X)111324241212分19.(1)解法一：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA,DC,DP所在的方向?yàn)?x軸軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz.貝V A(2,0,0), P(0,0,2), D(0,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), E(0,1,1). 2分法一：PA (2,0, 2),DB(2,2,0), DE (0,1,1).設(shè) PA DB DE,即(2,0, 2)(2,2,0)(0,1,1).解得 1,2.所以 PA DB 2DE.又PA 平面EDB，所以PA f平面EDB 4分法二：取BD的中點(diǎn)G，那么G(1,1,0).PA (2,

11、0, 2) , EG (1,0, 1).所以 PA 2 EG，所以 PA.f EG.又PA 平面EDB , EG 平面EDB ,所以PA $平面EDB . 4分法三：DB (2,2,0), DE (0,1,1).設(shè)n =(x,y,z)為平面EDB的一個(gè)法向量，那么 n DB 0,n DE 0，即卩 2x 2y 0, y z 0.取 y 1，那么 x z 1.于是 n = (1, 1,1).又 PA (2,0, 2)，所以 n PA=1 2( 1) 01 ( 2)0.所以 PA n.又PA 平面EDB，所以PA *平面EDB . 4分解法二：連接AC，設(shè)ACI BD G.因?yàn)锳BCD是正方形，所

12、以 G是線段AC的中點(diǎn).又E是線段PC的中點(diǎn)，所以，EG是厶PAC的中位線.所以PA廳EG. 2分又PA 平面EDB , EG 平面EDB ,所以PA少平面EDB 4分PE-一 GC(2)解法一：由(1)中的解法一，PB (2,2, 2) , CB (2,0,0).設(shè)m (為，,可)為平面CPB的一個(gè)法向量，那么 m PB 2x1 2y12乙 0 , m CB 2為 0.取 y11，那么 Z11.于是 m (0,1,1). 7分因?yàn)锳BCD是正方形，所以 AC BD.因?yàn)镻D 底面ABCD，所以PD AC.又PDIBD D，所以 AC 平面PDB.10分11分所以AC ( 2,2,0)是平面P

13、DB的一個(gè)法向量所以 cos m, AC所以，銳二面角C PB D的大小為6012分解法二：如圖，設(shè)ACiBD G.在Rt PDB中，過G作GF PB于F，連接FC .因?yàn)樗倪呅?ABCD是正方形，所以CA BD，即CG BD. 6分因?yàn)閭?cè)棱PD 底面ABCD，CG 平面ABCD ,所以CG PD. 7分又CG BD , PD門BD D，所以CG 平面PDB.所以CG PB. 8分又PB GF , CG門GF G，所以PB 平面CGF .在 Rt PDB 中，F(xiàn)G9分11分所以PB FC.從而 GFC就是二面角C PB D的一個(gè)平面角BG sin GBF BG2PB 屜2占2在 Rt FGC

14、中，tan GFCGCFG23.所以GFC60 .12分20.解：1設(shè)橢圓的半焦距為c.所以二面角C PB D的大小為60 .由于點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以C( xi, yi).2 2 .y2% y2% y2 %kAB kBC22血 為 X2 為X2 X12 2(2 2y2) (2 2y1)y2y22 22( y1y2)故直線AB與BC的斜率之積為定值(ii )設(shè)直線AB的方程為x ty 1，A(x1,y1)，B(X2,y2).由X2 ty 2，消去X并整理，得(t2 2)y2x 2y 22ty1 0.y22t1t2 2(X2 X1)2(y2yO21) (ty1 1)2 (y2Y1)22,(

15、t1)(y2yj2,(t21)(y2Y1)24%y2法一：|AB|(ty2因?yàn)橹本€AB與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，所以y12 1)2 4廠(t2叫"22、2(t21)t2 2點(diǎn)0到直線AB的距離d1t2S10分因?yàn)镺是線段AC的中點(diǎn),所以點(diǎn) C到直線AB的距離為2d.因?yàn)殡p曲線X2 y210的離心率為.2 ,所以橢圓的離心率為2，即2 2 a2由題意，得2a 2 2 .解得a 2.于是c 1，b2 a2 c22 1 1 .故橢圓的方程為2yf.(2) (i )設(shè)人區(qū)孑小化山)，那么xj 2 2yj,x2 22 2 t2 111分S ABC %B|2d士22t2 2t2 1t2 2令-t2

16、1 u，那么u?1.Sa abc12分當(dāng)且僅當(dāng)1，亦即t 0時(shí)， ABC面積的最大值為 2 .13分此時(shí)直線AB的方程為2 (- |OF1| |y1 y2|)2ii分以下過程同方法21.解：(1) f (x) 4x3lnI yi y212y2 yj 4y°2t22t2)24t2122 2.t21t2 24ax3.那么 f (1) 1 4a .又 f(1)0,所以，曲線y f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為y (14a)(x 1).解法1 :由得f (x) X3(4ln x 1 4a).1 當(dāng)a璋-時(shí)，因?yàn)閥 41 nx 1 4a為增函數(shù)，所以當(dāng) x： 1時(shí),44ln x 1當(dāng)且

17、僅當(dāng)4a/4ln11 4a 1 4a 彩0，因此 f (x)：2：0 .1a 1，且x 1時(shí)等號(hào)成立.所以f(x)在(1,)上為增函數(shù).因此，當(dāng)x：?：1 時(shí)，f(x)：紂 0.4所以，a：丄滿足題意.4因?yàn)?-時(shí)，由f (x)4x3(4ln x 1 4 a)1得ln x a -.解得x4a -(1,e 4)時(shí)，f(x)1 a 一 0，所以e 4e01.a丄因此f (x)在(1,e 4)上為減函數(shù).所以當(dāng)1ax (1,e 4)時(shí)，f(x)f(1) 0，不合題意綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值圍是1(，1.1解法 2： f (x)x41 nx a(x4 1)30ln x a(1 '0.x41“/、

18、1 4a x 4aa(1 )，那么 g (x)55.xx x x令 g(x) In x當(dāng)awJ時(shí),44aW1.由 x：?：1，得 x"1.因此，當(dāng) x： 1 時(shí)，g (x)/0，1，且x 1時(shí)等號(hào)成立.4所以g(x)在(1,)上為增函數(shù).當(dāng)且僅當(dāng)a因此,當(dāng)x：71時(shí),g(x)沁 0,此時(shí)f(x)：?O所以,a哦-滿足題意.4丄時(shí)，由 g (x)0，得 x 04a 1當(dāng) x (1,4葛)時(shí)，g (x) 0，4因此g(x)在(1,4跖)上為減函數(shù).所以，當(dāng)x (1,44)時(shí)，g(x) g(1) 0.此時(shí)f (x)0，不合題意.綜上，實(shí)數(shù)a的取值圍是(，.4方法3:當(dāng)x 1時(shí)，f(1) 0滿足題意.4.x i n xa 4x41tint4(tint t 124(t 1)2令 x4 t，那么 inx1丄“t, t 1上述不等式可化為a；4令 h(t) T、，那么 a；：h(t)在(1,)上恒成立h(t)4(t 1)令 p(t)int t1,那么當(dāng)t 1時(shí),1 P(t)10 ,因此，當(dāng)t 1時(shí),p(t) p(1) 0.所以，當(dāng)t 1時(shí),h (t)P(t) 20 ,所以h(t)在(1,44x 1 時(shí)，f (x) x in x a(x 1)；：0p(t)在(1,)