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文檔簡介
1、蘇教版八年級數學上冊知識點 第1章全等三角形 一、全等三角形概念 : 能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。兩個三角形全等時,互相重合的頂點叫做對應頂點,互相重合的邊叫做對應邊,互相重合的角叫做對應角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊,夾角就是三角形中有公共端點的兩邊所成的角。 一個三角形經過平移、翻折、旋轉可以得到它的全等形。 2、全等三角形的表示全等用符號“”表示,讀作“全等于”。如ABCDEF,讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”。 注:記兩個全等三角形時,通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。3、全等三角形有哪些性質 (1):全等三角形的對應邊相等、對應角相等。 (2):全等三
2、角形的周長相等、面積相等。 (3):全等三角形的對應邊上的對應中線、角平分線、高線分別相等。 4、學習全等三角形應注意以下幾個問題: (1):要正確區分“對應邊”與“對邊”,“對應角”與 “對角”的不同含義; (2):表示兩個三角形全等時,表示對應頂點的字母要寫在對應的位置上; (3):“有三個角對應相等”或“有兩邊及其中一邊的對角對應相等”的兩個三角形不一定全等; (4):時刻注意圖形中的隱含條件,如 “公共角” 、“公共邊”、“對頂角” 5、全等三角形的判定 邊邊邊:三邊對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成“SSS”) 邊角邊:兩邊和它們的夾角對應相等兩個三角形全等(可簡寫成“SAS”) 角
3、邊角:兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成“ASA”) 角角邊:兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成“AAS”) 直角三角形全等的判定: 對于特殊的直角三角形,判定它們全等時,還有HL定理(斜邊、直角邊定理):有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”) 6、全等變換 只改變圖形的位置,二不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。 全等變換包括一下三種: (1)平移變換:把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。 (2)對稱變換:將圖形沿某直線翻折180°,這種變換叫做對稱變換。 (3)旋轉變換:將圖形繞某點旋轉
4、一定的角度到另一個位置,這種變換叫做旋轉變換。5、證明兩個三角形全等的基本思路:一般來講,應根據題設并結合圖形,先確定兩個三角形已知相等的邊或角,然后按照判定公理或定理,尋找并證明還缺少的條件.其基本思路是: ).有兩邊對應相等,找夾角對應相等,或第三邊對應相等.前者利用SAS判定,后者利用SSS判定. ).有兩角對應相等,找夾邊對應相等,或任一等角的對邊對應相等.前者利用ASA判定,后者利用AAS判定. ).有一邊和該邊的對角對應相等,找另一角對應相等.利用AAS判定. ).有一邊和該邊的鄰角對應相等,找夾等角的另一邊對應相等,或另一角對應相等.前者利用SAS判定,后者利用AAS判定. 二、
5、角的平分線:1、角平分線:把一個角平均分為兩個相同的角的射線叫該角的平分線; 2、角平分線的性質定理:角平分線上的點到角的兩邊的距離相等:平分線上的點;點到邊的距離; 3、角平分線的判定定理:角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角平分線上 4、方法規律 (1)有角平分線,通常向角兩邊引垂線。 (2)證明點在角的平分線上,關鍵是要證明這個點到角兩邊的距離相等,即證明線段相等。常用方法有:使用全等三角形,角平分線的性質和利用面積相等,但特別要注意點到角兩邊的距離。 (3)注意:證題時可直接應用角平分線性質定理和判定定理,不必去找全等三角形。 第2章軸對稱圖形 一、軸對稱圖形 1. 把一個圖形沿著一條
6、直線折疊,如果直線兩旁的部分能夠完全重合,那么這個圖形就叫做軸對稱圖形。這條直線就是它的對稱軸。這時我們也說這個圖形關于這條直線(成軸)對稱。 2. 把一個圖形沿著某一條直線折疊,如果它能與另一個圖形完全重合,那么就說這兩個圖關于這條直線對稱。這條直線叫做對稱軸。折疊后重合的點是對應點,叫做對稱點 3、軸對稱圖形和軸對稱的區別與聯系 區別:(1)軸對稱是指兩個圖形間的位置關系,軸對稱圖形是指一個具有特殊形狀的圖形;(2)軸對稱涉及兩個圖形,軸對稱圖形是對一個圖形而言的聯系:(1)定義中都有一條直線,都要沿著這條直線折疊重合;(2)如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分(即看成兩個圖形),那么這兩個
7、圖形就關于這條直線成軸對稱;反過來,如果把軸對稱的兩個圖形看成一個整體,那么它就是一個軸對稱圖形 4.軸對稱的性質 關于某直線對稱的兩個圖形是全等形。 如果兩個圖形關于某條直線對稱,那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。 軸對稱圖形的對稱軸,是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。 如果兩個圖形的對應點連線被同條直線垂直平分,那么這兩個圖形關于這條直線對稱。 二、線段的垂直平分線 1. 經過線段中點并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線,也叫中垂線。 2.線段垂直平分線上的點與這條線段的兩個端點的距離相等 3.與一條線段兩個端點距離相等的點,在線段的垂直平分線上 4.三角形
8、三條邊的垂直平分線相交于一點,這個點到三角形三個頂點的距離相等 三、畫軸對稱圖形的步驟:1、點出關鍵點。找出所有的關鍵點,即圖形中所有線段的端點。2、確定關鍵點到對稱軸的距離。關鍵點離對稱軸多遠,對稱點就離對稱軸多遠。3、點出對稱點。4、連線。按照給出的一半圖形將所有對稱點連接成線段。5、軸對稱圖形是指在平面內沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形,這條直線就叫做對稱軸。軸對稱圖形一定要沿某直線折疊后直線兩旁的部分互相重合,關鍵抓兩點:一是沿某直線折疊,二是兩部分互相重合。 四、等腰三角形的性質 1、 有關定理及其推論 定理:等腰三角形有兩邊相等; 定理:等腰三角形的兩個底角相等。
9、推論1:等腰三角形頂角的平分線平分底邊且垂直于底邊,也就是說,等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(三線合一)。推論2:等邊三角形的各角相等,且每一個角都等于60°.等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形; (二)等腰三角形的判定 1、 有關的定理及其推論 定理:如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊相等(等角對等邊) 推論1、三個角都相等的三角形是等邊三角形。 推論2、有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。 推論3、在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 1.等腰三角形的性質 .
10、等腰三角形的兩個底角相等。(等邊對等角) .等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。(三線合一)等腰三角形的其他性質: 等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45° 等腰三角形的底角只能為銳角,不能為鈍角(或直角),但頂角可為鈍角(或直角)。 等腰三角形的三邊關系:設腰長為a,底邊長為b,則 b/2<a 等腰三角形的三角關系:設頂角為頂角為A,底角為B、C,則A=180°2B,B=C= (180°-A) /2等腰三角形的性質與判定 中線 1、等腰三角形底邊上的中線垂直底邊,平分頂角; 2、等腰三角形兩腰上的中線相等,并且它們的交點與底邊兩端點距
11、離相等。 判定 1、兩邊上中線相等的三角形是等腰三角形; 2、如果一個三角形的一邊中線垂直這條邊(平分這個邊的對角),那么這個三角形是等腰三角形 角平分線 1、等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊; 2、等腰三角形兩底角平分線相等,并且它們的交點到底邊兩端點的距離相等。 判定; 1、如果三角形的頂角平分線垂直于這個角的對邊(平分對邊),那么這個三角形是等腰三角形; 2、三角形中兩個角的平分線相等,那么這個三角形是等腰三角形。高線 1、等腰三角形底邊上的高平分頂角、平分底邊; 2、等腰三角形兩腰上的高相等,并且它們的交點和底邊兩端點距離相等。 判定:1、如果一個三角形一邊上的高平分這條邊(平分這條邊
12、的對角),那么這個三角形是等腰三角形; 2、有兩條高相等的三角形是等腰三角形。 角邊 等邊對等角 底的一半<腰長<周長的一半判定:等角對等邊 兩邊相等的三角形是等腰三角形 4、三角形中的中位線 連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。 (1)三角形共有三條中位線,并且它們又重新構成一個新的三角形。 (2)要會區別三角形中線與中位線。 三角形中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊,并且等于它的一半。 三角形中位線定理的作用: 位置關系:可以證明兩條直線平行。 數量關系:可以證明線段的倍分關系。 常用結論:任一個三角形都有三條中位線,由此有: 結論1:三條中位線組成一個三角形,其周
13、長為原三角形周長的一半。結論2:三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。 結論3:三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。 結論4:三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。 結論5:三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。第3章勾股定理 1.勾股定理:如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2b2=c2。2.勾股定理逆定理:如果三角形三邊長a,b,c滿足a2b2=c2。,那么這個三角形是直角三角形。 3.經過證明被確認正確的命題叫做定理。 我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題,那么另一個叫做它的逆命題。
14、(例:勾股定理與勾股定理逆定理) 4.直角三角形的性質 (1)、直角三角形的兩個銳角互余??杀硎救缦拢篊=90°A+B=90° (2)、在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。 A=30° 可表示如下: BC=AB C=90° (3)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 ACB=90° 可表示如下: CD=AB=BD=AD D為AB的中點5、攝影定理在直角三角形中,斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項,每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項ACB=90° CDAB 6、常用關系式由三角形面積公
15、式可得:ABCD=ACBC7、直角三角形的判定 1、有一個角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長a,b,c有關系,那么這個三角形是直角三角形。9、三角形中的中位線連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。(1)三角形共有三條中位線,并且它們又重新構成一個新的三角形。(2)要會區別三角形中線與中位線。三角形中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊,并且等于它的一半。三角形中位線定理的作用:位置關系:可以證明兩條直線平行。數量關系:可以證明線段的倍分關系。常用結論:任一個三角形都有三條中位線,
16、由此有:結論1:三條中位線組成一個三角形,其周長為原三角形周長的一半。結論2:三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。結論3:三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。結論4:三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結論5:三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。第4章實數 一、平方根(1)平方根的定義:如果一個數x的平方等于a,那么這個數x就叫做a的平方根即:如果,那么x叫做a的平方根(2)開平方的定義:求一個數的平方根的運算,叫做開平方開平方運算的被開方數必須是非負數才有意義。(3)平方與開平方互為逆運算:3的平方等于9,9的平方根是3 (4)一個正數有
17、兩個平方根,即正數進行開平方運算有兩個結果;一個負數沒有平方根,即負數不能進行開平方運算;0的平方根是0.(5)符號:正數a的正的平方根可用表示,也是a的算術平方根;正數a的負的平方根可用-表示(6) <> a是x的平方 x的平方是ax是a的平方根 a的平方根是x2、算術平方根(1)算術平方根的定義: 一般地,如果一個正數x的平方等于a,即,那么這個正數x叫做a的算術平方根a的算術平方根記為,讀作“根號a”,a叫做被開方數規定:0的算術平方根是0. 也就是,在等式 (x0)中,規定。(2)的結果有兩種情況:當a是完全平方數時,是一個有限數;當a不是一個完全平方數時,是一個無限不循環
18、小數。(3)當被開方數擴大時,它的算術平方根也擴大;當被開方數縮小時與它的算術平方根也縮小。(4)夾值法及估計一個(無理)數的大小(5) (x0) <> a是x的平方 x的平方是ax是a的算術平方根 a的算術平方根是x(6)正數和零的算術平方根都只有一個,零的算術平方根是零。 (0) ;注意的雙重非負性:-(<0) 0(7)平方根和算術平方根兩者既有區別又有聯系:區別在于正數的平方根有兩個,而它的算術平方根只有一個;聯系在于正數的正平方根就是它的算術平方根,而正數的負平方根是它的算術平方根的相反數。二、 立方根 (1)立方根的定義:如果一個數x的立方等于,這個數叫做的立方根(
19、也叫做三次方根),即如果,那么叫做的立方根。求一個數的立方根的運算,叫做開立方。(2)一個數的立方根,記作,讀作:“三次根號”,其中叫被開方數,3叫根指數,不能省略,若省略表示平方。(3) 一個正數有一個正的立方根;0有一個立方根,是它本身;一個負數有一個負的立方根;任何數都有唯一的立方根。(4)利用開立方和立方互為逆運算關系,求一個數的立方根,就可以利用這種互逆關系,檢驗其正確性,求負數的立方根,可以先求出這個負數的絕對值的立方根,再取其相反數,即。(5) <> a是x的立方 x的立方是ax是a的立方根 a的立方根是x(6),這說明三次根號內的負號可以移到根號外面。三、實數 一、
20、實數的概念及分類無理數:像前面的很多數的平方根和立方根都是無限不循環小數,無限不循環小數又叫無理數。實數:有理數和無理數統稱實數。1、實數的分類 正有理數 有理數 零 有限小數或無限循環小數實數 負有理數 正無理數 無理數 無限不循環小數 負無理數 正實數實數 0 負實數 整數包括正整數、零、負整數。零和正整數又叫自然數。正整數、零、負整數、正分數、負分數統稱為有理數。 2、無理數在理解無理數時,要抓住“無限不循環”這一時之,歸納起來有四類:(1)開方開不盡的數,如等;(2)有特定意義的數,如圓周率,或化簡后含有的數,如+8等;(3)有特定結構的數,如0.1010010001等;二、實數的倒數
21、、相反數和絕對值 1、相反數實數與它的相反數是一對數(只有符號不同的兩個數叫做互為相反數,零的相反數是零),從數軸上看,互為相反數的兩個數所對應的點關于原點對稱,如果a與b互為相反數,則有a+b=0,a=b,反之亦成立。數a的相反數是a,這里a表示任意一個實數。2、絕對值一個數的絕對值就是表示這個數的點與原點的距離,|a|0。零的絕對值是它本身,也可看成它的相反數,若|a|=a,則a0;若|a|=-a,則a0。一個正實數的絕對值是它本身,一個負實數的絕對值是它的相反數,零的絕對值是0。正數大于零,負數小于零,正數大于一切負數,兩個負數,絕對值大的反而小。3、倒數如果a與b互為倒數,則有ab=1
22、,反之亦成立。倒數等于本身的數是1和-1。零沒有倒數。4. 實數與數軸上點的關系:每一個無理數都可以用數軸上的一個點表示出來,數軸上的點有些表示有理數,有些表示無理數,實數與數軸上的點就是一一對應的,即每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示;反過來,數軸上的每一個點都是表示一個實數。三、科學記數法和近似數 1、有效數字一個近似數四舍五入到哪一位,就說它精確到哪一位,這時,從左邊第一個不是零的數字起到右邊精確的數位止的所有數字,都叫做這個數的有效數字。2、科學記數法把一個數寫做的形式,其中,n是整數,這種記數法叫做科學記數法。四、實數大小的比較 1、數軸規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸
23、(畫數軸時,要注意三要素缺一不可)。解題時要真正掌握數形結合的思想,理解實數與數軸的點是一一對應的,并能靈活運用。2、實數大小比較的幾種常用方法(1)數軸比較:在數軸上表示的兩個數,右邊的數總比左邊的數大。(2)求差比較:設a、b是實數,(3)求商比較法:設a、b是兩正實數,(4)絕對值比較法:設a、b是兩負實數,則。(5)平方法:設a、b是兩負實數,則。五、實數的運算 1、加法交換律 2、加法結合律 3、乘法交換律 4、乘法結合律 5、乘法對加法的分配律 6、實數混合運算時,對于運算順序有什么規定? 實數混合運算時,將運算分為三級,加減為一級運算,乘除為二能為運算,乘方為三級運算。同級運算時
24、,從左到右依次進行;不是同級的混合運算,先算乘方,再算乘除,而后才算加減;運算中如有括號時,先做括號內的運算,按小括號、中括號、大括號的順序進行。 7、有理數除法運算法則是什么? 兩有理數除法運算法則可用兩種方式來表述:第一,除以一個不等于零的數,等于乘以這個數的倒數;第二,兩數相除,同號得正,異號得負,并把絕對值相除。零除以任何一個不為零的數,商都是零。 8、什么叫有理數的乘方?冪?底數?指數? 相同因數相乘積的運算叫乘方,乘方的結果叫冪,相同因數的個數叫指數,這個因數叫底數。記作: an 9、有理數乘方運算的法則是什么? 負數的奇次冪是負數,負數的偶次冪是正數。正數的任何次冪都是正數。零的
25、任何正整數冪都是零。 10、加括號和去括號時各項的符號的變化規律是什么? 去(加)括號時如果括號外的因數是正數,去(加)括號后式子各項的符號與原括號內的式子相應各項的符號相同;括號外的因數是負數去(加)括號后式子各項的符號與原括號內式子相應各項的符號相反。 第5章平面直角的坐標系 (一) 有序數對1有序數對:用兩個數來表示一個確定的位置,其中兩個數各自表示不同的意義,我們把這種有順序的兩個數組成的數對,叫做有序數對,記作(a,b) 2.坐標:數軸(或平面)上的點可以用一個數(或數對)來表示,這個數(或數對)叫做這個點的坐標。 (二)平面直角坐標系1平面直角坐標系:在平面內畫
26、兩條互相垂直,并且有公共原點的數軸。這樣我們就說在平面上建立了平面直角坐標系,簡稱直角坐標系。2X軸:水平的數軸叫X軸或橫軸。向右方向為正方向。3Y軸:豎直的數軸叫Y軸或縱軸。向上方向為正方向。4原點:兩個數軸的交點叫做平面直角坐標系的原點。對應關系:平面直角坐標系內的點與有序實數對一一對應。坐標:對于平面內任一點P,過P分別向x軸,y軸作垂線,垂足分別在x軸,y軸上,對應的數a,b分別叫點P的橫坐標和縱坐標。(三)象限1象限:X軸和Y軸把坐標平面分成四個部分,也叫四個象限。右上面的叫做第一象限,其他三個部分按逆時針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以數軸為界,橫軸、縱軸上的點及原
27、點不屬于任何象限。一般,在x軸和y軸取相同的單位長度。2象限的特點: 1、特殊位置的點的坐標的特點:(1)x軸上的點的縱坐標為零;y軸上的點的橫坐標為零。(2)第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標相等;第二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標互為相反數。(3)在任意的兩點中,如果兩點的橫坐標相同,則兩點的連線平行于縱軸;如果兩點的縱坐標相同,則兩點的連線平行于橫軸。 2、點到軸及原點的距離:點到x軸的距離為|y|; 點到y軸的距離為|x|;點到原點的距離為x的平方加y的平方再開根號; 3、三大規律(1)平移規律:點的平移規律 左右平移縱坐標不變,橫坐標左減右
28、加;上下平移橫坐標不變,縱坐標上加下減。圖形的平移規律 找特殊點(2)對稱規律 關于x軸對稱橫坐標不變,縱坐標互為相反數; 關于y軸對稱橫坐標互為相反數,縱坐標不變;關于原點對稱橫縱坐標都互為相反數。 (3)位置規律各象限點的坐標符號:(注意:坐標軸上的點不屬于任何一個象限)假設在平面直角坐標系上有一點P(a,b)1.如果P點在第一象限,有a>0,b>0 (橫、縱坐標都大于0) 2.如果P點在第二象限,有a<0,b>0 (橫坐標小于0,縱坐標大于0)3如果P點在第三象限,有a<0,b<0 (橫、縱坐標都小于0)4如果P點在第四象限,有a>0,b<
29、0 (橫坐標大于0,縱坐標小于0) 5如果P點在x軸上,有b=0 (橫軸上點的縱坐標為0)6如果P點在y軸上,有a=0 (縱軸上點的橫坐標為0)1. 如果點P位于原點,有a=b=0 (原點上點的橫、縱坐標都為0) 第二象限 第一象限 (,+) (+,+) 第三象限 第四象限 (,) (+,) 7.2 坐標方法的簡單應用(一)用坐標表示地理位置的過程:1建立坐標系,選擇一個合適的參照點為原點,確定X軸和Y軸的正方向。2根據具體問題確定適當的比例尺,在坐標軸上標出單位長度。3在坐標平面內畫出這些點,寫出各點的坐標和各個地點的名稱。(二)用坐標表示平移在平面直角坐標系內,如果把一個圖形各個點的橫坐標
30、都加(或減去)一個正數a,相應的新圖形就把原圖形向右(左)平移a個單位長度;如果把它各個點的縱坐標都加(或減去) 一個正數a,相應的新圖形就把原圖形向上(下)平移a個單位長度。第6章一次函數 一.常量、變量: 在一個變化過程中,數值發生變化的量叫做 變量 ;數值始終不變的量叫做 常量 。二、函數的概念:函數的定義:一般的,在一個變化過程中,如果有兩個變量x與y,并且對于x的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與其對應,那么我們就說x是自變量,y是x的函數三、函數中自變量取值范圍的求法:(1)用整式表示的函數,自變量的取值范圍是全體實數。(2)用分式表示的函數,自變量的取值范圍是使分母不為0的一切
31、實數。(3)用寄次根式表示的函數,自變量的取值范圍是全體實數。 用偶次根式表示的函數,自變量的取值范圍是使被開方數為非負數的一 切實數。(4)若解析式由上述幾種形式綜合而成,須先求出各部分的取值范圍,然后再求其公共范圍,即為自變量的取值范圍。(5)對于與實際問題有關系的,自變量的取值范圍應使實際問題有意義。四、 函數圖象的定義:一般的,對于一個函數,如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標,那么在坐標平面內由這些點組成的圖形,就是這個函數的圖象五、用描點法畫函數的圖象的一般步驟1、列表(表中給出一些自變量的值及其對應的函數值。)注意:列表時自變量由小到大,相差一樣,有時需對稱。2、描點:(在直角坐標系中,以自變量的值為橫坐標,相應的函數值為縱坐標,描出表格中數值對應的各點。3、連線:(按照橫坐標由小到大的順序把所描的各點用平滑的曲線連接起來)。六、函數有三種表示形式:(1)列表法 (2)圖像法 (3)
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