1、第四節第四節 未定式的極限未定式的極限)(xf)(xg如果在同一極限過程中如果在同一極限過程中,兩個函數兩個函數 , 都是無都是無窮小量或都是無窮大量窮小量或都是無窮大量,那么那么 可能存在也可能存在也可能不存在可能不存在.通常稱這種類型的極限為未定式的極限通常稱這種類型的極限為未定式的極限. )()(limxgxf一一. 未定式未定式 型的極限型的極限00定義定義,且滿足且滿足0)(lim0 xgxx10 0)(lim0 xfxx0 x定理定理 設函數設函數 和和 在點在點 的某一去心鄰域內有的某一去心鄰域內有)(xg)(xf在在 的某一去心鄰域內存在的某一去心鄰域內存在,且且0 x0)(

2、xg)()()(lim300或或Axgxfxx)(xg)(.20 xf和和則有則有）或或 ()()(lim)()(lim00Axgxfxgxfxxxx0 x)(xf)(xg可以補充或改變可以補充或改變 及及 在在處的函數值處的函數值,使使f(x0)=g(x0)=0 0 x)(xg)(xf的極限的極限 與與 及及 在在 )()(xgxf設設x 為為x0 的鄰域內異于的鄰域內異于x0 的任一點的任一點,利用柯西定理利用柯西定理,在以在以x0 為端點構成的閉區間上為端點構成的閉區間上,處的函數值無關處的函數值無關,所以所以,0 xx證明證明 由于當由于當 時時,則則f(x)和和 g(x) 就在點就在

3、點x0處連續處連續)()()()()()()()(00 gfxgxgxfxfxgxf ( 介于介于 與與 之間之間) 0 xx)()(lim0 xgxfxx則得則得)()(lim)()(lim00 xgxfgfxxx 0 x 對上式取極限并注意到當對上式取極限并注意到當 時時0 xx得得0 xx令令 ,2coslim0 xeexxx例例1 )00(sinlim0型型xeexxxxxx2)1(lim10例例220)1ln(limxxx)00(型型)00(型型616sinlim0 xxx例例3 xxeexxx2sin0sinlimxxeexxxx2sinsin0sin1lim30sinlimxxx

4、x203cos1limxxx洛比達法則可以連續使用洛比達法則可以連續使用例例5)00(123lim2331型型xxxxxx23266lim12333lim1221xxxxxxx11lim111lim2222xxxxxx例例4型型）00(1arctan2limxxx mnxnxmnmx1111111lim例例6型型）00(11lim1nmxxx二二 未定式未定式 型的極限型的極限定義定義,且滿足且滿足)(lim0 xgxx10 )(lim0 xfxx20 和和 在在 的某一去心鄰域內存在的某一去心鄰域內存在,且且)(xf)(xg0 x0)( xg)()(lim0 xgxfxx30 存在存在(或為

5、或為 )則有則有）或或 ()()(lim)()(lim00Axgxfxgxfxxxxx對于對于 時的未定式時的未定式 同樣適用同樣適用0 x定理定理 設函數設函數 和和 在點在點 的某一去心鄰域內有的某一去心鄰域內有)(xg)(xf例例82coslim2)2( xxx型型）(tan)2ln(lim)2(xxx xxx2)2(sec21lim 01lim1lim1nxnxnxnxx例例9) 0(lnlimnxxnx例例100!limlim1xnxxnxenenx xnxex lim01sincos2lim)2(xxx )0( xnexx ln當當 x 充分大時，有充分大時，有例11)1ln()1

6、ln(lim102xxxxx注意注意 ：1）認真審查計算的極限是否是未定式，若不是未定）認真審查計算的極限是否是未定式，若不是未定式則不能用洛比達法則，否則將得出錯誤的結論。式則不能用洛比達法則，否則將得出錯誤的結論。1222coslim2sinlim00 xexxexxxx20coslimxxexx事實上事實上xxexxexxxx2sinlimcoslim02051)1(110)1(12lim1092xxxxxxx2）解題過程中注意及時化簡函數式如約去零因子，提出能確定極限值非零的部分，且注意與其它求極限的方法結合起來。3）洛比達法則的條件是充分條件，而不是必要條件即當 不存在時，不能斷定

7、不存在)()(limxgxf)()(limxgxf例1cos1limsinlimxxxxxx不存在但11sin1limsinlimxxxxxxx再如 用洛比達法則不存在xxxxsin1sinlim20事實上01sinsinlimsin1sinlim020 xxxxxxxxx4）反復應用洛比達法則，若出現循環，要停止使用。例xxxxxeeeelim三. 其它未定式的極限0010010)()(0)(0 xxxxgxf或或)00()(1)()()(型型xgxfxgxf2 20 0)()()(0 xxxxgxf或或)()(1)(1)(1)(11)(11)()(xfxgxfxgxgxfxgxf型型）00

8、(301000)(ln)(ln)(1)(0)()(0)(0)()()(xfxgyxgxfxgxfxgxfxgxfy)(1)(lnlim)(ln)(limlnlimxgxfxfxgy0lim1limlnlim0100 xxxxxxxx例例1xxxlnlim0 例例2)ln11(lim1xxxxxxxxxxln) 1(1lnlim10 xxxxx1)1(lnlnlim1例例3)cossin1(lim2xxx )()tan(seclim2xxx 例例4xxx0limxxylnln令令xxy 011lim1lnlimlnlim2000 xxxxxxxxx10lim0exxx21111lim21xxxx0)sincos(lim2xxx