1、§9車輛隨機振動車輛的隨機振動實際上是車輛運行時的振動響應，這種響應主要是由于軌道不平順的隨機激勵而引起的。本章主要介紹隨機振動以及相關的概念，以及單軸車模型在隨機激勵下響應的基本特征，初步了解車輛隨機振動的分析計算方法和改善車輛運行平穩性的途徑。所討論的是車輛系統，其結構和參數是對稱的，因此垂向和橫向的強迫振動響應是解耦的，可以分別獨立研究。對于機車而言，它產生振動的因素，除線路的構造和狀態，輪對的構造和狀態外，柴油機組和輸助機組的構造和狀態也會起到激擾作用（對柴油機）；電動機的構造和狀態對電力機車也會起到激擾作用。對車輛和機車的振動過程研究中，可在增加一組外力來反映這些作用。第一

2、節隨機過程的統計特性一、隨機過程的統計特性1隨機過程的基本概念一切物理現象可分為兩類：在給定的時間內能確定其物理變量的現象就稱為確定性現象； 如在一靜止的車輛上置一激振器，以激起車體在彈簧裝置上的振動，激勵力是已知的簡諧力，車體受激勵而產生的振動規律由來描述。車體在任意時間t的振幅和加速度都可由計算確定，這種振動稱為確定性的振動，它由確定性的激勵所引起。反之在給定時間t物理變量不能預先確定的現象稱為隨機現象。如在任意時間t的振動變量不能預先確定，而只能用概率統計的方法對其進行整體描述，這種振動稱為隨機振動。在隨機振動中的一些量如振幅和加速度稱為隨機變量。隨機變量是在隨機試驗的結果中能取到不同數

3、值的量。隨機過程：不能用確定性函數來描述但具有一定統計特性的過程稱為隨機過程。隨機過程是一簇n個隨機變量的總集合。其中任一個元素稱為隨機過程的樣本。振動的時間歷程：以時間t橫坐標，以振動量（位移、速度和加速度）為縱坐標的線圖，常稱為振動波形圖。 X1(t)nt x2(t) xn(t) t1 t1+ t2 tm在研究許多隨機過程時通常作如下徦設：1） 平穩性假設若一隨機過程x（t）在任何時間t1時的概念統計規律與t1+時的一樣，即過程的概率統計規律不因時間的推移而改變，則稱x(t)為平穩隨機過程；2）各態歷經性徦設隨機振動的統計特性是考慮全部子樣而得到的。如果在任一時間ti跨越總集合的統計特性與

4、單個子樣xi(t)的統計特性相等，則稱這個隨機過程為各態歷經的。3) 隨機振動過程的概率分布符合正態（高斯）分布規律。二、隨機變量的概率密度和均值 為了描述隨機過程的特性，采用時域上的各種參數和頻域上的參數來進行。先了解如下概念。1 幅值概率密度（概率的定義：E是隨機試驗，S是它的樣本空間，對于E的每一事件A賦予一實數，記為P（A），稱為事件A的概率，如果它滿足下列條件：1。對于每一事件A有0P（A）1，2。P（S）13。對于兩兩互不相容的事件AK（）有P（）P（A1）P（A2）P（An）)幅值概率密度用表示.幅值概率密度是隨機變量瞬時值出現于某一單位幅值區間內的概率。隨機振動幅值處于x到x+

5、x之間的概率是 幅值 T1 t2 t3 tn在振動時間歷程上x+xxt T概率密度曲線愈精確。 X2x1與x2對應的面積就是x1與x2之間的幅值出現的概率 x0 x1 x1+其值為2 統計平均值與概率分布隨機振動的幅值特性由時間域內的下列均值來描述：1）平均值或2)平均絕對值或3） 均方值或4）均方根值或平均值為T時間內x(t)的算術平均值，代表了隨機變量的穩態量。當平均值0時，和就分別等于統計學中的方差和標準離差。方差的定義為表示隨機變量在其平均值兩邊的分布特性。均方值和均方根值能表征隨機振動所含的能量，是個重要的描述量。對于振幅為的正弦波，平均值0均方值隨機振動的概率分布通常服從正態分規律

6、，若振動瞬時值為x，幅值的平均值m。其幅值概率密度m值的改變將使曲線沿x軸平移而不改變其形狀。改變時將使曲線形狀改變，但曲線和x軸之間所圍的面積仍然不變而等于1。愈小，則該面積愈集中于平均值m的附近。隨機振動幅值的概率主要分布在±3之間。占到99.7%。 +xx(t) 3 m m 3 0 p(x) 0 -x 隨機振動幅值的正態分布因此常把m+3作為隨機振動的最大幅值。正態分布的均方值可由這兩式求得，m2+三、隨機過程的相關函數與功率譜密度函數（一）相關函數 1自相關函數 隨機過程的自相關函數定義為的平均值即對于各態歷經隨機過程，每個樣本函數的自相關函數定義為 t m2X1X2t o

7、T 時間歷程 自相關函數曲線描述的是一個特定的瞬時幅值與先前某一瞬時t時的幅值的關聯程度。小，x(t+)與x(t)關系密切；大，x(t+)與x(t)關系不密切。x(t)所決定的成分減少。也就小。當，x(t+)與x(t)無關，此時，就衰減到隨機變量平均值的平方，或衰減到零。當0時，自相關函數為上式表明，自相關函數的最大值即等于該隨機變量的均方值。如果x(t)是周期性函數，則其自相關函數也是周期性的。2互相關函數兩個不同的平穩隨機函數x(t)與 y(t)之間的互相關函數定義為：和對各態歷經過程，可以用樣本函數的互相關函數來表示，即對于大多數隨機過程，時差越大則相關性越弱，當很大時，可以認為x與y互

8、不相關，此時有互相關函數的圖線形狀和自相關函數相類似，但其左右的對稱軸不象后者是在0時，而是在某一0時互相關函數達到最大值。（二）、功率譜密度函數1功率譜密度函數1） 從頻域上，用功率譜密度函數來描述。功率譜密度函數用Wx（f）表示。用譜密度的均方值對隨機變量的頻率結構進行描述。對隨機振動而言，表示振動能量在頻率域上的分布。其定義為隨機變量x(t)在微小頻帶寬度內的均方值除以帶寬Wx（f）：某一窄頻的帶寬；：在范圍內的變量，即經過帶寬為的窄帶濾波器后的變量，如振動量。（位移、加速度、速度等）Wx（f）中含有項，表示了系統的能量如振動系統的位能。（動能，粘性阻尼消耗的能量都和振幅的平方成正比）。

9、故Wx（f）表示了能量的度量，借用“功率”來命名，實際上Wx（f）本身并不包含功率的意思，故稱其為均方譜密度函數更確切。還被稱為：功率譜（power spectral density）PSD自功率譜譜密度Wx（f）縱坐標為Wx（f）；橫坐標為f；頻率范圍在fa 、fb之間；f1、 f2的振動分量較大； fO fa f1 f2 fb 寬頻帶的隨機功率譜圖頻譜圖可通過將實測的隨機振動的時間歷程記錄經頻譜分析儀得到。功率譜密度函數的單位：（隨機變量單位）2/單位頻率。如當x(t)是振動位移的時間歷程時，其譜密度單位為（位移）2/HZ。當x(t)是振動加速度的時間歷程時，其譜密度單位為（g）2/HZ。

10、 當x(t)是軌道不平順波形時，其譜密度單位為（mm）2·m/周。功率譜圖形的意義：上式左邊為上圖中以陰影表示的微面積；右邊為微小寬帶內的均方值。于是在整個頻帶范圍內由Wx（f）和橫坐標所圍的面積就等于全部寬帶內的相應的均方值之和。即等于x(t)的總的均方值功率譜的作用：通過對它的分析，有助于了解隨機振動的機理，有助于進行振動模擬。如已測得軌道不平順的功率譜，就可對其進行譜型模擬，用它作激勵函數在室內對車輛進行振動模擬試驗，由此而得到試驗結果和車輛在實際線路上運行的結果具有相同的特性。在隨機過程理論的推理中，常用傅里葉變換來表明自相關函數和功率譜密度函數間的關系：（1）（2）稱為自相

11、關函數的傅里葉變換，而則稱為的傅里葉逆變換。在（2）式中令0則得因，故這樣，又得到了均方值等于曲線與橫坐標軸之間面積的關系式。上式中的稱為雙邊功率譜。Wx（f）稱為單邊功率譜Wx（f）f兩種功率譜的關系式為2d= Wx（f）df而f=/2df=d/2所以，有Wx（f）42互功率譜密度函數兩個隨機過程的互譜密度函數定義為這兩個過程的互相關函數的傅里葉變換。即互譜密度的一個重要性質是兩者為共軛復數，即第二節線性系統隨機響應的基本特性當系統的激勵與響應可以用線性微分方程描述時，成為線性系統。若系統方程中的系數不隨時間而變，則稱為常系數線性系統。一、線性系統的基本特性常系數線性系統具有如下特性：1）

12、疊加性：若系統的激勵函數x1(t)單獨作用下，對應于某一響應為y1(t),在xn(t)作用下的響應為yn(t),則在x1（t）x2(t)、。xn（t）的同時作用下總的響應y(t)為y1(t) 、y2(t) 。yn(t)之和；2） 齊次性當激勵的輸入項按某一倍數變化時，輸出量也按同一倍數變化；3） 頻率保存性系統在頻率為的諧和函數激勵下，其響應也具有相同的頻率，不會引起頻率的轉換，而只能改變相位和振幅。線性系統適用于疊加原理，可使問題簡化。這樣可將系統分解為一個輸出對應于一個輸入來研究，然后將響應進行疊加即得系統總的響應。二、頻率響應函數線性振動系統受到諧和函數x(t)=x0sint激勵時，其響

13、應也具有同頻率的簡諧波，但存在相位差，即y(t)=y0sin(t+).因此，用振幅比y0/ x0和相角就可確定系統的傳遞特性。頻率響應函數或傳遞函數用H（）表示H（）的定義：該函數的模等于輸出與輸入的振幅比，虛部與實部之比等于相角的正切。即H（）A（）jB（）注意：輸出量并不一定就是振幅，是廣義的幅值。y0 具有不同的意義時，H（）值也不同。應用復數表示法中的的關系，可將上面輸入和輸出寫為隨然是系統對諧和輸入的頻第響應函數，但在隨機輸入所引起的隨機振動響應中有十分重要的應用，它決定了系統的響應特性。（一） 單自由度系統受單一激勵時的頻率響應函數F（t）求的方法 MZ系統受到軌道不平順Zv(t)

14、的激勵 K C其動動方程為取ZV（t）為單位振幅的諧和函數 t則響應z(t)= 將 z(t)代入上面方程Zv(t)得為求出的模令EK，FC，GKM2，HC則的模為： 再進行下面代換：令系統的自振頻率為P，減振因素為D，頻率比為r,則有PD將上式分子分母各除以K，經演算后得上式為車體振幅與線路波形振幅之比的擴大倍率。（二）、單自由系統受多個激勵時的頻率響應函數仍以上圖為例，除有軌不平順產生的激勵外，簧上部分還作用有垂向激振力系統的方程為該系統的已求得，以下求作用的頻率響應函數現令Zv(t)0，代入上式得為求其模，將上式寫成于量有當系統受到多個激勵時，便會有多個頻率響應函數，其中每一個都可按求的方

15、法單獨求出。以上討論的是系統輸出位移的頻率響應函數，對于輸出的是振動速度和加速度時可如下處理；若系統輸出的是y(t)=y0sin(t+)，輸入的是x(t)=x0sint，則有= y0cos(t+) =y02sin(t+)于是，振動速度和加速度的頻率響應函數分別為三、系統響應的譜密度隨機過程理論表明：對于線性系統，如果輸入的函數是平穩隨機過程而且是各態歷經的和呈正態分布的，則輸出的振動響應也是平穩的、各態歷經的和呈正態分布的。如單個輸入函數x(t)的譜密度為SX（），輸出函數y(t)的相應譜密度為Sy(),則有下列重要關系存在：（1）當有兩個輸入函數時有：Sy()（2）式中分別為的復數共軛；分別

16、為輸入的譜密度；分別為輸入的互譜密度。當有n個輸入函數時，則相應的式子為：（3）對于單個輸入的情況有因復數和它的復共軛的乘積等于該復數模的平方，故有（1）式對于互不相關的各個輸入，其互譜密度均為零，由式（3）可得（4）由3式與4式比較，互譜密度為零時，計算響應的譜密度要簡單得多。因此，只要互譜密度很小，在工程計算中往往略運河不計。四、系統響應的均方值若已知系統的響應譜密度，則其均方值可按下式求得：（5）對于單個輸入，有度度ef1gh1gqj1tgj1s1ud1txi1dh z z對于多個互不相關的輸入，有即此時系統總的均方響應值為各個輸入產生的響應均方值之總和。如多個輸入之間存在著相關關系時，

17、就需用（3）式求出相應的譜密度，然后再用式（5）求出響應的均方值。對于單個輸入的響應加速度均方值有：（6）式中的即導出得到，過程加速度的譜密度是原振動位移譜密度的倍。同樣有振動速度的譜密度是原振動位移譜密度的倍。有此重要關系，就可從已知的輸入譜密度通過以上關系式計算出響應速度和加速度的均方值。而后者正是計算車輛響應和評定平穩性所必須的。例由上圖系統為例計算其響應的均方值。這里僅考慮由的激勵引起的響應。S0設的譜密度為常數，即S0。0輸入譜密度利用n 0n 頻響函數可得出輸出的譜密度為：見圖n 0n輸出譜密度輸出的均方值為：這種形式的定積分可由查表得到，結果得：由于譜密度曲線下面的面積等于響應的均方值，由圖可見，系統的振動能量集中在共振峰值附近。這表明在寬帶的輸入作用下其輸出是一個窄帶過程。第三節 車輛簡化模型的垂向隨機振動一、具有一個自由度模型的響應減小振動響應的途徑：以簡化模型為對象時車輛隨機振動響應的一些重要特征：1、 車體的均方根加速度和軌道不平順的大小有關，線路的等級和技術狀態愈差，則振動加速度愈大；2、 振動加速度隨運行速度的提高而明顯增大，速度增加一倍時加速度要增大41%；3、 振動加速度隨車輛自振頻率的提高而急劇加大；4、 系統的阻尼和剛度比對振動響應有不同程度的影響。途徑：1、 降低車輛的自