1、車燈線光源的優化設計四組 牛振宇 戚亞萍 石艷遲摘要論文就傳統的旋轉拋物面形的汽車前燈的線光源優化設計問題進行了討論。文章根據物理學中的反射定律、能量守恒定律和光強與能流密度的關系，運用空間解析幾何、微積分，建立了最優化模型。再結合Matlab和Fortran,用數值方法對模型進行求解。本文建模的主要思想分為兩個部分。首先，求光路：線光源上一點P0(x0,y0,z0)朝某一方向(，)發出一條光線g在拋物面被反射，入射光線與反射光線服從反射定律，根據空間解析幾何和二元函數的微分法則，求得法線方程。接下來求反射線方程。論文運用解析幾何知識，用入射線與法線的方向數求出反射線的方向數，再通過反射點P1

2、寫出反射線方程。得到反射線方程后，再另其與測試屏平面的方程聯立，得到反射線在測試屏上的光點的坐標P3，同時可以算得反射光線與測試屏的夾角的正弦值。然后由光強、能流密度和功率P的關系，把光強I與功率P聯系起來，因為它們之間存在線性關系。在空間球坐標系下取一束光束（，+），（，），這一束光的功率為P光束經拋物面反射后在測試屏上形成面積為S的光斑，此時，由能量守恒定律，求得該區域的能流密度，然后積分便得到了測試屏上任意點P( x ,y ,z )的光強的積分表達式（未考慮直接照射光線）。結合設計規范的要求（即最優化問題的限制條件），就得到了問題一的最優化數學模型。模型的求解是論文的一大特色，這里采用直

3、角坐標與位于離散的點光源處的空間球面坐標相結合的方法，將復雜的解析幾何運算轉化為離散的運算，使得求解過程教容易在計算機上實現。而且模型求解過程中，采用一種全新的方法計算光強，在處理復雜的問題時，其極強的可操作性使它可以應用于幾乎所有的同類問題。離散化處理時，對光源發出的光線的方向，在球面坐標中對出射方向角進行二維離散，求出離散的點光源在測試屏上的光強分布，并根據光線密度與照度以及光強的關系，確定出所求點的照度，進而得到模型的最優解。對某一線光源長度為2L，將其離散化為長度為L的若干個點，然后由每一點得到測試屏的一個照度分布數據Di(S)，共有 N = 2L / L個照度分布數據，該2L長度的數

4、據組成一個集合Data(2L),稱為光源長度為2L時測試屏的相對照度數據。為求得規范標準下的最優解，論文引入一個燈絲功效函數：W（L）W(L)= F(C，L) 當 F(B，L)>2F(C，L)時 W(L)= F(B，L)/2 當 F(B，L)<2F(C，L)時功效函數的物理意義表示在達到設計規范（F(C，L)>=1, F(B，L)>=2）下，所能節省的功率，我們的目的是為了求最小值L，這樣的引入更利于了問題的求解，由于這里已將約束條件該為比值形式。反射光照圖的求解是通過計算機編程在三維域進行搜索，得到測試屏上的光照輪廓。根據常識以及相關資料表明，相關的圖示見論文求解過程

5、。本文完整求解了模型所提的問題，并作了相關討論，模型求解所得到的最優燈絲長度為4mm，這時B點和C點的光強之比為=2.49，本文還在模型的假設下，得到了燈絲長度與功效函數（相當于節能比例）的離散函數關系,還得到了測試屏水平軸線Y=0，Z=25.015上固定功率的照度隨燈絲長度2L以及X坐標變化的離散函數關系。關鍵詞：汽車前燈線光源 旋轉拋物面 光強一、 問題重述安裝在汽車頭部的車燈的形狀為一旋轉拋物面，車燈的對稱軸水平地指向正前方, 其開口半徑36毫米，深度21.6毫米。經過車燈的焦點，在與對稱軸相垂直的水平方向，對稱地放置一定長度的均勻分布的線光源。要求在某一設計規范標準下確定線光源的長度。

6、 該設計規范在簡化后可描述如下。在焦點F正前方25米處的A點放置一測試屏，屏與FA垂直，用以測試車燈的反射光。在屏上過A點引出一條與地面相平行的直線，在該直線A點的同側取B點和C點，使AC=2AB=2.6米。要求C點的光強度不小于某一額定值（可取為1個單位），B點的光強度不小于該額定值的兩倍（只須考慮一次反射）。 請解決下列問題：（1）在滿足該設計規范的條件下，計算線光源長度，使線光源的功率最小。（2）對得到的線光源長度，在有標尺的坐標系中畫出測試屏上反射光的亮區。（3）討論該設計規范的合理性。二、問題假設( 1) 線光源在直射與反射的過程中不計能量損失。( 2) 不考慮線光源的折射、散射現象

7、。( 3) 將4mm線光源等效成連續均勻分布的點光源。( 4) 線光源的總功率為p。( 5) 不考慮光在大氣中的折射現象。三、問題的分析:光強I與能流密度的關系為I=c,c為光速,我們采用無量綱化計算,可以取c=1。而能流密度是垂直通過單位面積的功率,因此可得:四、符號說明：直線在xoy平面上的投影線與x軸的夾角；：直線與z軸的夾角；：由線光源發出的入射線；：旋轉拋物面的內法線向量；：一次反射線；：反射線與測試屏的夾角；：旋轉拋物面方程；反射光光強直射光光強L線光源長度的一半F（X，L）燈絲長為2L時X點的照度（標量）。W（L）長度2L燈絲的功效函數W（L）： 當 F(B，L)>2F(C

8、，L)時 W(L)= F(C，L) 當 F(B，L)<2F(C，L)時 W(L)= F(B，L)/2功效函數的物理意義表示在達到設計規范（F(C，L)>=1, F(B，L)>=2）下，所能節省的功率。五、模型建立及求解圖一 坐標系的建立首先建立空間坐標系，取旋轉拋物面的頂點為坐標原點，FA連線方向為Z軸方向，X軸與線光源平行。在此坐標系中，旋轉拋物面方程為： (1)測試屏平面方程為： 焦點及、點坐標分別，。根據題意和物理學原理，可得模型： s.t. 問題一就是上述最優化問題中使最小的L。求入射線與入射點在線光源上任取一點，該點朝某一方向發出一條光線，該入射線方程可表示為： (

9、4)其中，。聯立式與式可解得入射線與旋轉拋物面的交點，即為入射點。直線與曲面的交點可能會出現兩個解的情況，但由于入射光線具有方向性，且從光源到入射點的方向與入射光線的方向相同，故可根據空間向量間的方向關系舍去不合理解。求反射點的內法線方程及點關于的對稱點內法線方程:(5)矢量法線垂直:(6)連線的中點滿足點的法線方程:(7)對(6),(7)聯立,求解得的坐標: .求反射線方程(8)求反射線方程與測試屏平面的交點和夾角聯立（2）式和（7）式，求的反射線方程在測試屏上的投射點其中，與有關：，與測試屏平面的夾角的正弦值：（9）求測試屏上一點的反射光光強首先將線光源離散化，對于線光源上的一小段，方向為

10、（），立體角為。該立體角內的光束經旋轉拋物面反射后在測試屏上形成光斑區域S，面積即為S。設這束光束的功率為P,則S上的平均光強：（10）從而得到S上的反射光強為同理可求得直射線在測試屏上的光強為。線光源的總功率為：（11）其中，為測試屏平面。對于固定的光源功率，設燈絲長為2L時在測試屏上X點處的照度為F(X,L).根據物理意義認為，當燈絲長度一定時，光強和照度有線性關系。因此用照度來求解不會影響問題的結果。由于這里已將約束條件該為比值形式，為了簡化求解，下面還將用照度來求解。線光源上任一點T，該點發出的到達配光屏的光線有兩種：直接照射和反射后到達（這里只考慮一次反射）。球面坐標下點T發出的某一

11、條光線，其方向數為（），在和有一微小變化時光線的方向也會發生變化。現在讓在0到2變化，在0到變化，然后取足夠小的微小角度d和d，對點T發出的所有光線進行離散化處理，即在取值范圍內，每隔一定間隔取一對和值，然后對點T在每一確定的方向射出的光線進行如下處理：利用光學基本定律：入射角=反射角，可以根據每一條入射光線求得其反射光線的方向數，進而求得該反射光線與配光屏的交點Mi (x,y,z)，設每個交點是一個點元Di(x,y)。（因為點元由坐標x和y所唯一確定，這里略去了坐標z=25.015。對線光源上確定的一點T發出的光線，如果存在點元Di（x,y），則該點元也唯一對應點T發出的一條光線T（i,i）

12、，如圖二。圖二 設CD方向數為（）,則有： （12）離散化處理時，如果對和的間隔取得足夠小，就可以得到配光屏上足夠多的點元。根據這些點元，用如下方法求得某一確定點M的照度。（1） 在屏上以M為中心確定一個以R為邊長的正方形。（2） 統計該正方形內點元的個數Nd。（3） 點D的照度為：F（D，L）=Nd*sin（13）由此方法進行編程可以依次求得配光屏上任意點的照度。對線光源上某一定點S，它對應會有配光屏的一個照度分布數據Di（S）。對某一線光源長度為2L，將其離散化為長度為L的若干個點，然后由每一點得到配光屏的一個照度分布數據，共有 2L / L個數據，該2L長度的數據組成一個集合Data(2

13、L),稱為光源長度為2L時配光屏的照度數據。對每一個照度數據，求燈絲功效：W（L）。 取線光源長度初值L為各個值時，由照度數據Data(2L)得到測試屏密度分布如下：L=0.5 mm L=2.0 mmL=3.0 mm L = 4.5 mm 由以上四圖可以知道當線光源長度大于4.5mm之后，雖然B、C點滿足要求，但會造成燈泡功率的浪費，即不是最優設計，因此取線光源長度為1mm至9mm進行搜索，求解滿足規范的最優設計是合理的。取線光源步長為L=0.01 mm，初始值為2L=1mm進行搜索，得到功效在各個燈絲長度下的函數值。解的結果分析當L=2.0mm時，功效函數達到最大值。即最優燈絲長度為4.0mm，這時B點和C點的光強之比為=2.49。其圖形如圖五燈絲長度2L=4.0mm時， 功效函數W（L）達到最大圖六 L=2.000時，反射光在測試屏上所覆蓋的區域圖七 在測試屏水平軸線Y=0上固定功率的照度隨燈絲長度以及坐標變化的灰度圖由上圖可知，當燈絲功率一定的情況下，如果燈絲長度很小，則照度比較集中，隨著燈絲長度的增加，照度逐漸分散。如果燈絲過短，雖然光照強度很大，但是照明區很小，達不到汽車司機所必須的明視區，對駕車會產生危險；如果燈絲過長，則雖然照明區很大，但是光照強度很低，也會對行車安全造成危害，而且對能源也是一種浪費。本模型求