1、典型例題三、中點弦的有關問題（設而不求、韋達定理、點差法）直線與曲線的綜合問題，經常要借用根與系數的關系，來解決弦長、弦中點、弦斜率問題“設而不求”：通常將直線方程與橢圓方程聯立消去(或)，得到關于(或)的一元二次方程，再由根與系數的關系，直接求出，(或，)的值代入計算即得并不需要求出直線與橢圓的交點坐標，這種“設而不求”的方法，在解析幾何中是經常采用的例3 已知橢圓，求過點且被平分的弦所在的直線方程分析一：已知一點求直線，關鍵是求斜率，故設斜率為，利用條件求解法一：設所求直線的斜率為，則直線方程為代入橢圓方程，并整理得由韋達定理得是弦中點，故得所以所求直線方程為分析二：設弦兩端坐標為、，列關

2、于、的方程組，從而求斜率：解法二：設過的直線與橢圓交于、，則由題意得得 將、代入得，即直線的斜率為所求直線方程為說明：（1）有關弦中點的問題，主要有三種類型：過定點且被定點平分的弦；平行弦的中點軌跡；過定點的弦中點軌跡（2）解法二是“點差法”，解決有關弦中點問題的題較方便，要點是巧代斜率（3）有關弦及弦中點問題常用的方法是：“韋達定理應用”及“點差法”有關二次曲線問題也適用變式：已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，求線段中點的軌跡方程 解：設

3、弦兩端點分別為，線段的中點，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求（2）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內部分）（3）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內部分）（4）由得 ： ， ， 將平方并整理得， ， ， 將代入得： ， 再將代入式得： ， 即 此即為所求軌跡方程當然，此題除了設弦端坐標的方法，還可用其它方法解決變式1.雙曲線的一弦中點為（2，1），則此弦所在的直線方程為 （ ）A. B. C. D. 【解析】設弦的兩端分別為.則有：.弦中點為（2，1），.故直線的斜率.則所求直線方程為：，故選C.變式2：在雙曲

4、線上，是否存在被點M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請說明理由.如果不問情由地利用“設而不求”的手段，會有如下解法：【錯解】假定存在符合條件的弦AB，其兩端分別為：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：.M（1，1）為弦AB的中點，故存在符合條件的直線AB，其方程為：.這個結論對不對呢？我們只須注意如下兩點就夠了：其一：將點M（1，1）代入方程，發現左式=1-1，故點M（1，1）在雙曲線的外部；其二：所求直線AB的斜率，而雙曲線的漸近線為.這里，說明所求直線不可能與雙曲線相交，當然所得結論也是荒唐的.問題出在解題過程中忽視了直線與雙曲線有公共點的條件.【正解】在上述解法的基礎上應當加以驗證.由這里，故方程（2）無實根，也就是所求直線不合條件.此外，上述解法還疏忽了一點：只有當時才可能求出k=2.若.說明這時直線與雙曲線只有一個公共點，仍不符合題設條件.結論；不存在符合題設條件的直線.變式3：設已知拋物線C的頂點在坐標