1、系統辨識與參數估計課程習題一、 選擇題：答案唯一，在（ ）內填入正確答案的編號。1. 對于批量最小二乘格式，其最小二乘無偏估計的必要條件是（ ）。A. 輸入序列為“持續激勵”信號 B. 與正交C. 為非白噪聲向量 D. 2. 對象模型為時，采用遞推最小二乘估計后的殘差序列的計算式為（ ）。A. B. C. D. 3. 在上題的條件下，遞推最小二乘算法中的增益矩陣可以寫成（ ）。A. B. C. D. 4. 可以同時得到對象參數和干擾噪聲模型參數的估計算法是（ ）。A. 輔助變量法 B. 廣義最小二乘法C. 最小二乘限定記憶法 D. 相關最小二乘兩步法5. 增廣最小二乘估計的關鍵是（ ）。A.

2、將控制項增廣進中，并用殘差項取代進行估計B. 將輸出項增廣進中，并用殘差項取代進行估計C. 將噪聲項增廣進中，并用殘差項取代進行估計D. 將噪聲項增廣進中，并用輸出項取代進行估計答案：1. B 2. C 3. D 4. B 5. C 二、 判斷題：以表示正確或×表示錯誤。1估計殘差平方和最小是確定辨識過程對象結構的唯一標準。（ ）2最小二乘估計的批量算法和遞推算法在數學上是等價的。（ ）3廣義最小二乘法就是輔助變量法和增廣最小二乘法交替試用。（ ）4在遞推最小二乘算法中，若置，則該算法也能克服“數據飽和”現象，進而可適用于時變系統。（ ）5用神經網絡對SISO非線性系統辨識，采用的是

3、輸入層和輸出層均為一個神經元的三層前饋神經元網絡結構。（ ）答案：1. × 2. 3. × 4. 5. × 三、 設和之間滿足關系，試圖利用和的觀測值來估計參數，請將該模型化成最小二乘格式。答案：其中， 四、 對于多輸入單輸出（MISO）系統可由下面的模型描述其中，為系統的m×1維輸入向量；為系統的標量輸出；為標量i.i.d隨機噪聲；為延遲算子，即；為標量參數多項式，為1×m的參數多項式向量：請寫出：最小二乘遞推算法公式和計算步驟或流程。答案：根據題意，可寫出最小二乘格式為：其中，因此，采用批量最小二乘法估計時，設采集數據時刻為k=1,2,L，

4、則有批量最小二乘格式為：其中，從而，批量最小二乘估計公式為：遞推最小二乘估計公式為：，初始估計：，是一個充分大的正數。 計算流程為：（0） 給定；（1） 量測，組成；（2） 計算；（3） 計算；（4） 輸出估計結果，并由誤差限或數據長度L來確定是否停止估計。若條件滿足，則停止估計；否則，繼續進行。（5） 計算；（6） ，返回到（1）。 五、 對于SISO系統的數學模型其中，和分別為系統的輸入輸出量，為干擾噪聲，和為參數多項式：且，為延遲算子，即。1 對于量測、，寫出估計系統參數的最小二乘批量算法詳細公式。2 給出最小二乘法無偏估計的條件并加以證明。3 簡述辨識動態系統數學模型的一般步驟。答案：

5、1由題意可知，采用L次測量的批量最小二乘格式可寫為：其中，因此，最小二乘批量算法公式為： 2證明：當和不相關時，上式第二項為零，最小二乘估計為無偏估計，為零均值獨立隨機序列時，此條件自然滿足。此時，。 3辨識動態系統數學模型的一般步驟為：Step1: 確定建模目的，并由工藝和物理/化學過程初步確定模型形式和結構；Step2: 試驗設計：包括試驗信號設計、采樣周期選擇、實驗數據長度選定、試驗方式（離線/在線）等；Step3: 實際系統試驗，采集輸入輸出數據，并進行數據的預處理；Step4: 模型結構假設，選定階次范圍；Step5: 選供適用算法進行參數估計，得到一組數學模型；Step6: 模型結

6、構的確定，得到一個數學模型；Step7: 模型檢驗；根據檢驗結果，可能要從Step2到Step6中的任何一步重新做起。Step8: 若模型檢驗合格，則得到最終模型。 六、 某系統的動態模型為，假設：系統是穩定的，且和都為零均值廣義平穩隨機序列。采用輔助變量法進行參數估計，進行L次量測，且L充分大,試證明：是一個合適的輔助變量矩陣。答案：證明：輔助變量法的計算公式為根據題義有因vk、uk和yk均為是零均值廣義平穩噪聲序列，所以，式中，又相關函數可得由此可知，ZN矩陣是一個合適的輔助變量矩陣。 七、 在遞推最小二乘估計中，新息的表達式為。1. 請寫出殘差的表達式2. 證明：答案：1. 2. 證明：

7、 八、 請證明：在遞推最小二乘估計中。證明：在遞推最小二乘估計中， 九、 考慮一個SISO閉環系統如圖所示，其中和分別為前向通道過程輸入和輸出量，為白噪聲擾動序列，過程參數多項式、和已知的調節器參數多項式、分別表示為： 試證明：過程參數多項式可辨識的條件是使調節器參數多項式的階次滿足+ -+ +過程 或 答案：證明：由題義可知過程對象的數學模型為由wk到y k的閉環系統方程為令 （8-1）顯然有，則閉環系統方程可以寫為亦可進一步寫成最小二乘格式 其中，采用相應的最小二乘類型參數估計算法，可以估計得到。應估計的主要的過程參數多項式、的參數個數為，需要根據已知的調節器參數多項式、，用估計得到的，從方程（3-1）中解出。方程（3-1）兩邊同次冪系數比較即可得到線性方程組，從而解出過程參數的估計值和，有唯一解的必要條件為：其等價條件為或，命題得證。 十、 考慮一個SISO閉環系統如圖所示,其中和分別為前向通道被控對象的輸入和輸出量，為白噪聲擾動序列。試討論以下兩種情況的被控對象模型參數的可辨識性和辨識結果。1控制器為：2控制器為：+ +控制器被控對象答案：被控對象的結構參數：1時， ，該閉環系統可以辨識。閉環系統方程為：其中，根據題意，采用增廣最小二乘法對閉環系統參數進行估計，可得：從而可以解出前向通道被控系統參數的估計值為：2. 由于是兩個不同的控制器切換，故存在閉環系統可辨識性。（1