1、第第8 8章章 泊松過程泊松過程1、泊松分布的定義泊松分布的定義2、泊松分布的性質泊松分布的性質3、非齊次、非齊次泊松過程泊松過程4、復合、復合泊松分布泊松分布泊松過程及維納過程是兩個典型的隨機過程泊松過程及維納過程是兩個典型的隨機過程,它們在隨機過程的理論和應用中都有重要的地位它們在隨機過程的理論和應用中都有重要的地位,它們都屬于所謂的獨立增量過程它們都屬于所謂的獨立增量過程.一、一、 獨立增量過程獨立增量過程(independent increment process)X(t)-X(s),0st 為隨機過程在為隨機過程在 (s , t 的增量的增量.如果對如果對n個增量個增量X(t1)-X

2、(t0),X(t2)-X(t1), ,X(tn)-X(tn-1)相互相互 給定二階矩過程給定二階矩過程 X(t),t0 我們稱隨機變量我們稱隨機變量任意選定的正整數任意選定的正整數n和任意選定的和任意選定的0t0t1t2tn,獨立獨立,則稱則稱 X(t),t0為獨立增量過程為獨立增量過程.直觀地說直觀地說,它具有它具有“在互不重疊的區間上在互不重疊的區間上,狀態狀態的增量是相互獨立的的增量是相互獨立的”這一特征這一特征.的分布所確定的分布所確定.于時間差于時間差t-s(0st),而不依賴于而不依賴于 t 和和 s 本身本身(事實上事實上,令令h= - s即知即知).當增量具有平穩性時當增量具有

3、平穩性時,稱相應的獨立稱相應的獨立增量過程是齊次的或時齊的增量過程是齊次的或時齊的.X(s+h)與與X(t)-X(s)具有相同的分布具有相同的分布,則稱增量具有則稱增量具有特別特別,若對任意的實數若對任意的實數h和和0 s+ht+h,X(t+h) -對于獨立增量過程對于獨立增量過程,可以證明可以證明:在在X(0)=0的條件下的條件下,它的有限維分布函數可以由增量它的有限維分布函數可以由增量 X(t) X(s) (0st) 平穩性平穩性.這時這時,增量增量X(t)-X(s)的分布函數實際上只依賴的分布函數實際上只依賴在在X(0)=0和方差函數為已知的條件下和方差函數為已知的條件下,獨立增量過程協

4、方差函數可用方差函數表示為獨立增量過程協方差函數可用方差函數表示為:2( , )(min( , )XXCs ts t1、 泊松過程舉例泊松過程舉例 （Poisson process ）現實世界許多偶然現象可用泊松分布來描述現實世界許多偶然現象可用泊松分布來描述,大量自然界中的物理過程可以用泊松過程來刻畫大量自然界中的物理過程可以用泊松過程來刻畫.泊松過程是隨機建模的重要基石泊松過程是隨機建模的重要基石,也是學習隨機過程也是學習隨機過程理論的重要直觀背景理論的重要直觀背景.著名的例子包括蓋格計數器上著名的例子包括蓋格計數器上的粒子流的粒子流,二次大戰時倫敦空襲的彈著點二次大戰時倫敦空襲的彈著點,

5、電話總機所電話總機所接到的呼喚次數接到的呼喚次數,交通流中的事故數交通流中的事故數,某地區地震發生某地區地震發生的次數的次數,細胞中染色體的交換等等細胞中染色體的交換等等.這類變化過程可粗這類變化過程可粗略地假定為有相同的變化類型略地假定為有相同的變化類型.我們所關心的是隨機我們所關心的是隨機事件的數目事件的數目,而每一變化可用時間或空間上的一個點而每一變化可用時間或空間上的一個點來表示來表示.這類過程有如下兩個特性這類過程有如下兩個特性:一是時間和空間一是時間和空間上的均勻性上的均勻性,二是未來的變化與過去的變化沒有關系二是未來的變化與過去的變化沒有關系.我們將基于這些性質來建立泊松過程的模

6、型我們將基于這些性質來建立泊松過程的模型.1.計數過程計數過程:設設), 0),(TttNXT為一隨機過程為一隨機過程,如果如果N(t)是取非負整數值的隨機變量是取非負整數值的隨機變量,且滿足且滿足st時時,N(s) N(t),則稱則稱), 0),(TttNXT為計數過程為計數過程(counting process).若用若用N(t)表示電話交換臺在時間表示電話交換臺在時間0,t中接到中接到電話呼叫的累計次數電話呼叫的累計次數,則則N(t) ,t0就是一計數過程就是一計數過程.對電話呼叫次數進行累計的計數過程對電話呼叫次數進行累計的計數過程,這也就是計數這也就是計數計數對象不僅僅是來到的電話呼

7、叫計數對象不僅僅是來到的電話呼叫,也可以是到也可以是到某商店的顧客數某商店的顧客數,到某機場降落的飛機數到某機場降落的飛機數,某放射性某放射性物質在放射性蛻變中發射的粒子數物質在放射性蛻變中發射的粒子數,一次足球賽一次足球賽的進球數的進球數,某醫院出生的嬰兒數等等某醫院出生的嬰兒數等等,總之總之,對某種對某種過程名稱的由來過程名稱的由來.對對 0st,N(t)-N(s)就表示在就表示在(s,t中中發生的電話呼叫次數發生的電話呼叫次數.定義定義1 稱隨機過程稱隨機過程 N(t),t 0 為計數過程為計數過程,若若N(t)N(t)表示到表示到時刻時刻t為止已發生的為止已發生的“事件事件A”的總數的

8、總數,且且N(t)滿足下列條件滿足下列條件:(1) N(t) 0(2)N(t)取正整數取正整數;(3)若若st,則則N(s)N(t);(4)當當st,N(t)-N(s)等于區間等于區間(s,t中發生的中發生的“事件事件A”的次數的次數.若若t1t2 t30),事件事件A發生的次數發生的次數N(t+s)-N(t)僅與時間差僅與時間差s有關有關,而與而與t無關無關,則計數過程則計數過程N(t)是平穩獨立是平穩獨立增量過程增量過程.隨機事件的來到數都可以得到一個計數過程隨機事件的來到數都可以得到一個計數過程,而同一而同一時刻只能至多發生一個來到的就是簡單計數過程時刻只能至多發生一個來到的就是簡單計數

9、過程.計數過程的一個典型的樣本函數如圖計數過程的一個典型的樣本函數如圖S2S3S4S5第一個信號到達第一個信號到達S1S6第二個信號到達第二個信號到達第三個信號到達第三個信號到達 N(t)t0電話呼叫模型電話呼叫模型將增量將增量ttttNtNtN0000),()()(它表示時間間隔它表示時間間隔(t0,t內出現的質點數內出現的質點數.“在在 (t0,t內內出現出現k個質點個質點”,即即N(t0,t)=k是一隨機事件是一隨機事件,其概率其概率記為記為 Pk(t0,t)=PN(t0,t)=k,k=0,1,2, .2.泊松計數過程過程泊松計數過程過程 : N(t) ,t0 稱為強度為稱為強度為 的的

10、泊松過程泊松過程,如果滿足條件如果滿足條件:(2) N(0)=0;, t)(1),(),(1tottttNPtttP(1)在不相重疊的區間上的增量具有獨立性在不相重疊的區間上的增量具有獨立性;(3) 對于充分小的對于充分小的其中常數其中常數 0 ,稱為過程稱為過程N(t)的強度的強度. (亦即在充分小亦即在充分小的時間間隔中事件出現一次的概率與時間間隔的長的時間間隔中事件出現一次的概率與時間間隔的長度成正比度成正比)(4) 對于充分小的對于充分小的22)(),(),(jjjtojtttNPtttPtt亦即對于充分小的,(ttt在現一個質點的概率個以上質點的概率與出個或出現22.相比可以忽略不計

11、在泊松過程中在泊松過程中,相應的質點流即質點出現的隨機相應的質點流即質點出現的隨機時刻稱為強度時刻稱為強度為為 的泊松流的泊松流.定義定義2 2 如果取非負整數值的計數過程如果取非負整數值的計數過程N(t),tN(t),t 00滿足：滿足：1.N(0)1.N(0)0 0；2.2.具有獨立增量；具有獨立增量；3.3.對任意對任意0 0 st,N(t)-N(s)st,N(t)-N(s)服從參數為服從參數為 (t-s)(t-s)泊松分布，泊松分布，則稱則稱N(t),tN(t),t 00為參數為參數( (或平均率、強度或平均率、強度) )為為 的的( (齊次齊次) )泊松過程。泊松過程。 泊松過程的第

12、二種定義方式泊松過程的第二種定義方式 注注:由條件由條件(3)知知,泊松過程是平穩增量過程且泊松過程是平穩增量過程且EX(t)= t.t.由于由于, , =EX(t)/t=EX(t)/t表示單位時間內事件表示單位時間內事件A A發生的平均個數發生的平均個數, ,故稱故稱 為此過程的速率或強度為此過程的速率或強度() (),0,1,2,!kt stsPN(t)- N(s)kekk定義定義3 3 如果取非負整數值得計數過程如果取非負整數值得計數過程N(t),tN(t),t 00滿足下列滿足下列條件：條件： 泊松過程的第一種定義方式泊松過程的第一種定義方式 1.N(0)1.N(0)0 0；2.2.具

13、有獨立增量；具有獨立增量；3.PN(h)=13.PN(h)=1 h+0(h)h+0(h)；4.PN(h)4.PN(h) 220(h)0(h)則稱則稱N(t),tN(t),t 00為參數為參數( (或平均率、強度或平均率、強度) )為為 的的( (齊次齊次) )泊泊松過程。松過程。例例1 考慮某一電話交換臺在某段時間接到的呼喚考慮某一電話交換臺在某段時間接到的呼喚.令令X(t)表表示電話交換臺在示電話交換臺在(0,t內收到的呼喚次數內收到的呼喚次數,則則X(t),t 0滿足定義滿足定義3的條件的條件, 故故X(t), t 0是一個泊松過程是一個泊松過程.例例2 考慮到某車站售票窗口購買車票的旅客

14、考慮到某車站售票窗口購買車票的旅客,若記若記X(t)為在時間為在時間0,t內到達售票窗口的旅客數內到達售票窗口的旅客數,則則X(t),t 0為一泊松過程為一泊松過程定理定理泊松過程的定義泊松過程的定義2與定義與定義3是等價的。是等價的。證明證明2 23 3：條件：條件a)a)與與1)1)相同。條件相同。條件b)b)可由可由2)2)和和3)3)直接得到。直接得到。PN(h)=1PN(h)=1PN(h)-N(0)=1PN(h)-N(0)=1 h1-h1- h+o(h)h+o(h) h+o(h)h+o(h)即即c)c)。即即d)d)。2()( )2!khkhP N hek2()( ) 1( )( )

15、2!ho hho ho h3 32 2：條件：條件1)1)與與a)a)相同。條件相同。條件2)2)由由b)b)直接得到。直接得到。只要證只要證明：明：N(t)(tN(t)(t 0 0) )服從參數為服從參數為 t t泊松分布。泊松分布。設設p pk k(t)(t)PN(t)=kPN(t)=k，利用歸納法證明：，利用歸納法證明：(1)(1)k=0k=0，p p0 0(t+h)(t+h)PN(t+h)=0PN(t+h)=0PN(t)=0,N(t+h)-N(t)=0PN(t)=0,N(t+h)-N(t)=0PN(t)=0PN(t+h)-N(t)=0PN(t)=0PN(t+h)-N(t)=0p p0

16、0(t)1-(t)1- h+o(h)h+o(h)因為因為解得：解得：p p0 0(t)(t)e e- - t t。, 2 , 1 , 0k,e!k) t() t (ptkk 10)0(NP)0(p) t (p) t ( p0h000得，得，令令(2)(2)k k 1 1p pk k(t+h)(t+h)PN(t+h)=kPN(t+h)=kp pk k(t)1-(t)1- h+o(h)+ph+o(h)+pk-1k-1(t)(t) h+o(h)+o(h)h+o(h)+o(h)， k0jjkN(t)h)N(t, jPN(t) k0jjkN(h)P jPN(t) 2k0jjkj11k0kk0jjkj(h

17、)(t)pp(h)(t)pp(h)(t)pp(h)(t)pp,h)h(o) t (p) t (ph) t (p)ht (p1kkkk ), 2 , 1 , 0k( ,0k)0(NP)0(p) t (p) t (p) t ( p0hk1kkk 得，得，令令k=1k=1時時, ,解得：解得：p p1 1(t)(t) tete- - t t，所以，所以k=1k=1時結論成立。時結論成立。解解得得結論成立。結論成立。由歸納法知，對一切由歸納法知，對一切k=0,1,2,k=0,1,2,，結論成立。，結論成立。得證得證再由平穩獨立增量性質，對一切再由平穩獨立增量性質，對一切0 0 st,s0,N(t) (

18、 t),PN(t)=k2 泊松分布的一維特征函數泊松分布的一維特征函數( )00(1)()()( )!iuiukiukiuN tiukttkktett etteuE eeeekkeee3 協方差函數和相關函數協方差函數和相關函數協方差函數協方差函數B(s,t) min(s,t)，相關函數相關函數R(s,t) min(s,t) 2st。證明證明R(s,t)EX(s) X(t)EX(s)X(t)- X(s)+ X(s) st發生當且僅當泊松過程在區間發生當且僅當泊松過程在區間0,t內沒有事件發生內沒有事件發生,T1表示第一個到達表示第一個到達因而因而 PT1t=PX(t)=0=e- t,即即所以所

19、以T1是服從參數為是服從參數為 的指數分布的指數分布. .利用泊松過程的獨立利用泊松過程的獨立, ,平平穩增量性質穩增量性質, ,有有 PTPT2 2t|Tt|T1 1=s=s=P=P在在(s,s+t(s,s+t內沒有事件發生內沒有事件發生|T1=s|T1=s=P=P在在(s,s+t(s,s+t內沒有事件發生內沒有事件發生 =PX(t+s)-X(s)=0=PX(t+s)-X(s)=0=PX(t)-X(0)=0= =PX(t)-X(0)=0= e- t所以所以T2也是服從參數為也是服從參數為 的指數分布的指數分布. .,11)(111tTetTPtTPtF對于任意對于任意n0和和t,s1,s2,

20、sn-1 0,有有PTnt|T1=s1,Tn-1=sn-1 =PX(t+s1+ sn-1)-X(s1+s2+ sn-1)=0 =PX(t)-X(0)=0= e- t所以對任一所以對任一Tn(n0),其分布是參數為其分布是參數為 的指數分布的指數分布.定理定理3 設設N(t),t 0是是參數為參數為 的泊松過程，的泊松過程，設設N(t),t 0是是參數為參數為 的泊松過程，的泊松過程，Wn,n=1,2,為等待時間序列，則為等待時間序列，則Wn (n, )，即概率密度為：，即概率密度為：0, 00,)!1()(1ttetntftnn下面用下面用Wn表示第表示第n個顧客的到達時間，則個顧客的到達時間

21、，則 Wn = X1 + X2 + + Xn , n 1稱稱 Wn 為直到第為直到第 n 個顧客出現的等待時間。個顧客出現的等待時間。證明證明: 因事件因事件Wn t等價于事件等價于事件N(t) n,在在0,t)內事件至少內事件至少出現出現n次次,所以所以Wn的分布函數為的分布函數為于是于是Wn的概率密度的概率密度nktkntektntNPtWPtF. 0,!)()()(nknktktkektekttFtf!)()!1()()( )(1)0( ,)!1(!)()!1()()!1()(1111tetnektektenttnntnknkktntn當當ta。由定理由定理2知知X2服從參數為服從參數為

22、 的指數分布，故的指數分布，故2ttaaaP Xaedtee 等待時間等待時間所以平均等待時間為aXaXXaS2220)1 (1)(0aaxeadxexaES4 到達時間的條件分布到達時間的條件分布假設在時間假設在時間0,t內事件內事件A已經發生一次，我們需要確定這一事件已經發生一次，我們需要確定這一事件到達時間到達時間W1的分布。由于的分布。由于泊松過程是一個平穩獨立增量過程，泊松過程是一個平穩獨立增量過程，因此我們認為因此我們認為W1落在落在0,t區域的小時間段是服從均勻分布的。區域的小時間段是服從均勻分布的。事實上事實上,對對st有有PW1 s|N(t)=1,1)(0)()(1)(1)(

23、0)()(, 1)(1)(1)(,)(1tsteesetNPsNtNPsNPtNPsNtNsNPtNPtNsWPtsts即分布函數為即分布函數為分布密度函數為分布密度函數為;, 1,0 ,/, 0, 0)(1)(|1tststsssFtNW其它, 0,0 ,1)(1)(|1tstsftNW一名服務員一名服務員,且每人接受服務的時間是獨立的并服從均值為且每人接受服務的時間是獨立的并服從均值為20分鐘的指數分布分鐘的指數分布,則到中午則到中午12:00為止平均有多少人已經離開為止平均有多少人已經離開,例例4: 設從早上設從早上8:00開始有無窮多的人排隊等候服務開始有無窮多的人排隊等候服務,設只有

24、設只有解解: 由所設條件可知由所設條件可知,離去的人數離去的人數N(t)是強度是強度=3的的泊松泊松過程過程(這里以小時為單位這里以小時為單位)。設。設8:00為零時刻，則為零時刻，則!)43()0()4(43nenNNPn其均值為其均值為1243)(ttNE即到即到12：00為止，離去的人平均是為止，離去的人平均是12名。名。已有已有9個人接受服務的概率是多少個人接受服務的概率是多少?而有而有9個人接受過服務的概率是個人接受過服務的概率是!9)12(9)4(912eNP3 非齊次泊松過程非齊次泊松過程定義定義4 如果計數過程如果計數過程N(t),t 0滿足下列條件：滿足下列條件：1.N(0)

25、0；2.N(t),t 0是獨立增量過程；是獨立增量過程；3.PN(t+ t)-N(t)=1 (t) t+0( t)；4.PN(t+ t)-N(t) 20( t)則稱則稱N(t),t 0為參數為參數(或平均率、強度或平均率、強度)為為 (t)的的非齊次泊松過程。特別，當非齊次泊松過程。特別，當 (t)= 時，即為齊次時，即為齊次泊松過程。泊松過程。注注1：定義中增量僅具有相互獨立性，不具有增量平穩性：定義中增量僅具有相互獨立性，不具有增量平穩性質，所以稱為非平穩，或非齊次。質，所以稱為非平穩，或非齊次。此處的強度此處的強度 與時間與時間t有關，意味著這個計數過程有關，意味著這個計數過程一定與時間

26、起點有關系，或者說在等長的時間間隔里，由一定與時間起點有關系，或者說在等長的時間間隔里，由于時間的起點不同，計數過程的概率特性也有所不同，因于時間的起點不同，計數過程的概率特性也有所不同，因此這種計數過程不再具有增量平穩性。此這種計數過程不再具有增量平穩性。 ( ) t注注2 2：在定義中令：在定義中令 ，且增加計數過程的增量，且增加計數過程的增量平穩性，則可以退化為標準泊松過程平穩性，則可以退化為標準泊松過程 平穩泊松過程平穩泊松過程 。 ( ) t常數定理定理5 5若過程若過程N(t),tN(t),t 00是非齊次泊松過程，則在時間是非齊次泊松過程，則在時間間距間距tt0 0,t,t0 0

27、+ +t) )內事件內事件A A出現出現k k次的概率為：次的概率為：式中式中, 2 , 1 , 0k,e!k )m(tt)m(tkt)-N(t)PN(t )m(tt)m(tk00000 t0ds) s () t (mm(t)稱為非平穩泊松過程的強度，稱為非平穩泊松過程的強度，N(t)表示表示0, t內到達的數內到達的數量，則量，則m(t)表示表示0, t內平均到達數量。取內平均到達數量。取t=0得到：得到： ( ) ( ) ( ),0,1,2,!km tm tP N tkekk例例某鎮有一小商店，每日某鎮有一小商店，每日8:008:00開始營業。從開始營業。從8:008:00到到11:001

28、1:00平平均顧客到達率線性增加，在均顧客到達率線性增加，在8:008:00顧客平均到達顧客平均到達5 5人人/ /小時；小時；11:0011:00到達率達最高峰到達率達最高峰2020人人/ /小時。從小時。從11:0011:00到到13:0013:00平均顧平均顧客到達率為客到達率為2020人人/ /小時。從小時。從13:0013:00到到17:0017:00平均顧客到達率線平均顧客到達率線性下降，性下降，17:0017:00顧客到達率為顧客到達率為1212人人/ /小時。假設在不相交的小時。假設在不相交的時間間隔內到達商店的顧客數是相互獨立的，試問在時間間隔內到達商店的顧客數是相互獨立的，

29、試問在8:308:30到到9:309:30時間內無顧客到達商店的概率為多少？在這段時間時間內無顧客到達商店的概率為多少？在這段時間機內到達商店的顧客的均值為多少？機內到達商店的顧客的均值為多少？解解:設設8:008:00為為t=0t=0，11:0011:00為為t=3t=3，13:0013:00為為t=5t=5，17:0017:00為為t=9t=9。于是，顧客到達率是周期為于是，顧客到達率是周期為9 9的函數：的函數： (t)(t) (t-9)(t-9)根據題意，在根據題意，在0,t)0,t)內到達的顧客數內到達的顧客數N(t),tN(t),t 00是一是一個非齊次泊松過程。個非齊次泊松過程。

30、在在8:308:30到到9:309:30無顧客到達商店的概率為無顧客到達商店的概率為在在8:308:30到到9:309:30到達商店的顧客均值概率為到達商店的顧客均值概率為 9t5),5t (2205t3,203t0, t55) t (10dt) t55(dt) t ()5 . 0(m)5 . 1(m0eeee)5 . 1 , 5 . 0(p5 . 15 . 05 . 15 . 0 10dt) t55(dt) t55()5 . 0(m)5 . 1(m5 . 005 . 10 3 非平穩泊松過程的均值和方差非平穩泊松過程的均值和方差設設N(t) 是強度為是強度為m(t)的非平穩泊松過程的非平穩泊

31、松過程，由于，由于泊松分布的泊松分布的均值和方差相等，滿足：均值和方差相等，滿足： 例例 設設N(t)是一個是一個非齊次泊松過程，其強度為非齊次泊松過程，其強度為求求1 增量增量 的概率分布的概率分布 2 與與( )( )( )E N tD N tm t1( )(1 cos)02ttt()( )N ttN t( )E N t( )D N t解：由定理解：由定理3.1知：增量知：增量 的概率分布是的概率分布是其中其中所以所以()( )N ttN t()( )()( )exp ()( )!km ttm tP N ttN tkm ttm tk1111()( )(sin()(sin)22 m ttm ttttttt00111( )( )(1cos)(sin)22ttm ts dss dstt11cos()sin)222 tttt2 2 因為因為N N( (t t) )服從參數為服從參數為的泊松分布，因此滿足：的泊松分