1、 第四章：曲線運動第四章：曲線運動本章內容包括圓周運動的動力學部分和物體做圓周運動的能量問題，其核心內容是牛頓第二定律、機械能守恒定律等知識在圓周運動中的具體應用。本章中所涉及到的基本方法與第二章牛頓定律的方法基本相同，只是在具體應用知識的過程中要注意結合圓周運動的特點：物體所受外力在沿半徑指向圓心的合力才是物體做圓周運動的向心力，因此利用矢量合成的方法分析物體的受力情況同樣也是本章的基本方法；只有物體所受的合外力的方向沿半徑指向圓心，物體才做勻速圓周運動。根據牛頓第二定律合外力與加速度的瞬時關系可知，當物體在圓周上運動的某一瞬間的合外力指向圓心，我們仍可以用牛頓第二定律對這一時刻列出相應的牛

2、頓定律的方程，如豎直圓周運動的最高點和最低點的問題。另外，由于在具體的圓周運動中，物體所受除重力以外的合外力總指向圓心，與物體的運動方向垂直，因此向心力對物體不做功，所以物體的機械能守恒。命題規律本章知識點，從近幾年高考看，主要考查的有以下幾點：（1）平拋物體的運動。（2）勻速圓周運動及其重要公式，如線速度、角速度、向心力等。（3）萬有引力定律及其運用。（4）運動的合成與分解。注意圓周運動問題是牛頓運動定律在曲線運動中的具體應用，要加深對牛頓第二定律的理解，提高應用牛頓運動定律分析、解決實際問題的能力。近幾年對人造衛星問題考查頻率較高，它是對萬有引力的考查。衛星問題與現代科技結合密切，對理論聯

3、系實際的能力要求較高，要引起足夠重視。本章內容常與電場、磁場、機械能等知識綜合成難度較大的試題，學習過程中應加強綜合能力的培養。從近幾年的高考試題可以看出，曲線運動的研究方法運動的合成與分解、平拋運動和圓周運動；萬有引力定律與牛頓運動定律結合分析天體、人造衛星、宇宙飛船、航天飛機的運動問題，估算天體的質量和密度問題，反映了現代科技信息與現代科技發展密切聯系是高考命題的熱點。例如2008全國I第17題，山東基本能力第32題，全國II第25題，廣東單科第12題考查了萬有引力定律的應用，2005年全國、卷以及北京理綜、廣東物理均考查了人造衛星在萬有引力作用下的圓周運動問題。再如2006全國I卷、江蘇

4、物理、天津理綜、重慶理綜、廣東物理均考查了人造衛星及萬有引力定律在天體運動中的應用問題。預計在今后的高考中平拋運動的規律及其研究方法、圓周運動的角速度、線速度和向心加速度仍是高考的熱點。與實際應用和與生產、生活、科技聯系命題已經成為一種命題的趨向，特別是神舟系列飛船的發射成功、探月計劃的實施，更會結合萬有引力進行命題。復習策略在本專題內容的復習中，一定要多與萬有引力、天體運動、電磁場等知識進行綜合，以便開闊視野，提高自己分析綜合能力。1在復習具體內容時，應側重曲線運動分析方法，能夠熟練地將曲線運動轉化為直線運動。如平拋運動就是將曲線運動轉化為水平方向上的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體運動再

5、進行處理的。對于豎直平面內的圓周運動，由于涉及知識較多而成為難點和重點。就圓周運動的自身而言有一個臨界問題，同時又往往與機械能守恒結合在一起命題。在有關圓周運動最高點的各種情況下的各物理量的臨界值的分析和計算應作為復習中的重點突破內容，極值分析法、數學分析法是分析處理物理問題的基本方法，也是學生學習中的難點和薄弱環節。2天體問題中，由于公式的形式比較復雜，計算中得到的中間公式特別多，向心力的表達式也比較多，容易導致混亂。所以要求在處理天體問題時，明確列式時依據的物理關系（一般是牢牢抓住萬有引力提供向心力），技巧性地選擇適當的公式，才能正確、簡便地處理問題。3萬有引力定律還有一個重要的應用就是估

6、算天體的質量或平均密度。問題的核心在于：（1）研究一天體繞待測天體的圓周運動。（2）二者之間的萬有引力提供向心力。4萬有引力定律是力學中一個獨立的基本定律，它也是牛頓運動定律應用的一個延伸，學習本部分內容要具有豐富的空間想象建模能力以及學科間的綜合能力。1、記住物體做勻速圓周運動的條件，能判斷物體是否做勻速圓周運動。2、記住勻速圓周運動的v、T、f、a、向心力等運動學公式。3、知道解勻速圓周運動題的一般步驟（與牛頓第二定律解題思中相同）。4、掌握幾種情景中的圓周運動：重力場中豎直面內圓周運動（注意臨界條件）。天體的勻速圓周運動。點電荷的電場中帶電粒子可以做勻速圓周運動。帶電粒子只受洛侖磁力作用

7、下的圓周運動（注意有界磁場中的圓周運動的特點和解法）。復合場中的圓周運動。第一模塊：曲線運動、運動的合成和分解夯實基礎知識考點一、曲線運動1、定義：運動軌跡為曲線的運動。2、物體做曲線運動的方向： 做曲線運動的物體，速度方向始終在軌跡的切線方向上，即某一點的瞬時速度的方向，就是通過該點的曲線的切線方向。3、曲線運動的性質由于運動的速度方向總沿軌跡的切線方向，又由于曲線運動的軌跡是曲線，所以曲線運動的速度方向時刻變化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不斷變化，所以說：曲線運動一定是變速運動。由于曲線運動速度一定是變化的，至少其方向總是不斷變化的，所以，做曲線運動的物體的加速度必不為零，所受到的

8、合外力必不為零。4、物體做曲線運動的條件（1）物體做一般曲線運動的條件物體所受合外力（加速度）的方向與物體的速度方向不在一條直線上。（2）物體做平拋運動的條件物體只受重力，初速度方向為水平方向。可推廣為物體做類平拋運動的條件：物體受到的恒力方向與物體的初速度方向垂直。（3）物體做圓周運動的條件物體受到的合外力大小不變，方向始終垂直于物體的速度方向，且合外力方向始終在同一個平面內（即在物體圓周運動的軌道平面內）總之，做曲線運動的物體所受的合外力一定指向曲線的凹側。5、分類勻變速曲線運動：物體在恒力作用下所做的曲線運動，如平拋運動。非勻變速曲線運動：物體在變力(大小變、方向變或兩者均變)作用下所做

9、的曲線運動，如圓周運動。考點二、運動的合成與分解1、運動的合成：從已知的分運動來求合運動，叫做運動的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它們都是矢量，所以遵循平行四邊形定則。運動合成重點是判斷合運動和分運動，一般地，物體的實際運動就是合運動。2、運動的分解：求一個已知運動的分運動，叫運動的分解，解題時應按實際“效果”分解，或正交分解。3、合運動與分運動的關系：運動的等效性（合運動和分運動是等效替代關系，不能并存）；等時性：合運動所需時間和對應的每個分運動時間相等獨立性：一個物體可以同時參與幾個不同的分運動，物體在任何一個方向的運動，都按其本身的規律進行，不會因為其它方向的運動是否存在而受到

10、影響。運動的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四邊形定則。）4、運動的性質和軌跡物體運動的性質由加速度決定（加速度為零時物體靜止或做勻速運動；加速度恒定時物體做勻變速運動；加速度變化時物體做變加速運動）。物體運動的軌跡（直線還是曲線）則由物體的速度和加速度的方向關系決定（速度與加速度方向在同一條直線上時物體做直線運動；速度和加速度方向成角度時物體做曲線運動）。常見的類型有：（1）a=0：勻速直線運動或靜止。（2）a恒定：性質為勻變速運動，分為： v、a同向，勻加速直線運動；v、a反向，勻減速直線運動；v、a成角度，勻變速曲線運動（軌跡在v、a之間，和速度v的方向相切，方向

11、逐漸向a的方向接近，但不可能達到。）（3）a變化：性質為變加速運動。如簡諧運動，加速度大小、方向都隨時間變化。具體如：兩個勻速直線運動的合運動一定是勻速直線運動。一個勻速直線運動和一個勻變速直線運動的合運動仍然是勻變速運動，當兩者共線時為勻變速直線運動，不共線時為勻變速曲線運動。兩個勻變速直線運動的合運動一定是勻變速運動，若合初速度方向與合加速度方向在同一條直線上時，則是直線運動，若合初速度方向與合加速度方向不在一條直線上時，則是曲線運動。第二模塊：平拋運動夯實基礎知識平拋運動1、定義：平拋運動是指物體只在重力作用下，從水平初速度開始的運動。2、條件：a、只受重力；b、初速度與重力垂直3、運動

12、性質：盡管其速度大小和方向時刻在改變，但其運動的加速度卻恒為重力加速度g，因而平拋運動是一個勻變速曲線運動。4、研究平拋運動的方法：通常，可以把平拋運動看作為兩個分運動的合動動：一個是水平方向（垂直于恒力方向）的勻速直線運動，一個是豎直方向（沿著恒力方向）的勻加速直線運動。水平方向和豎直方向的兩個分運動既具有獨立性，又具有等時性 5、平拋運動的規律水平速度：vx=v0，豎直速度：vy=gt合速度（實際速度）的大小：物體的合速度v與x軸之間的夾角為：水平位移：，豎直位移合位移（實際位移）的大小：物體的總位移s與x軸之間的夾角為：可見，平拋運動的速度方向與位移方向不相同。而且而軌跡方程：由和消去t

13、得到：。可見平拋運動的軌跡為拋物線。6、平拋運動的幾個結論落地時間由豎直方向分運動決定：由得：水平飛行射程由高度和水平初速度共同決定：平拋物體任意時刻瞬時速度v與平拋初速度v0夾角的正切值為位移s與水平位移x夾角a正切值的兩倍。平拋物體任意時刻瞬時速度方向的反向延長線與初速度延長線的交點到拋出點的距離都等于水平位移的一半。證明：平拋運動中，任意一段時間內速度的變化量vgt，方向恒為豎直向下（與g同向）。任意相同時間內的v都相同（包括大小、方向），如右圖。以不同的初速度，從傾角為的斜面上沿水平方向拋出的物體，再次落到斜面上時速度與斜面的夾角a相同，與初速度無關。（飛行的時間與速度有關，速度越大時

14、間越長。）Av0vxvyyxv如右圖：所以 所以，為定值故a也是定值與速度無關。速度v的方向始終與重力方向成一夾角，故其始終為曲線運動，隨著時間的增加，變大，速度v與重力 的方向越來越靠近，但永遠不能到達。從動力學的角度看：由于做平拋運動的物體只受到重力，因此物體在整個運動過程中機械能守恒。7、平拋運動的實驗探究如圖所示，用小錘打擊彈性金屬片，金屬片把A球沿水平方向拋出，同時B球松開，自由下落，A、B兩球同時開始運動。觀察到兩球同時落地，多次改變小球距地面的高度和打擊力度，重復實驗，觀察到兩球落地，這說明了小球A在豎直方向上的運動為自由落體運動。如圖，將兩個質量相等的小鋼球從斜面的同一高度處由

15、靜止同時釋放，滑道2與光滑水平板吻接，則將觀察到的現象是A、B兩個小球在水平面上相遇，改變釋放點的高度和上面滑道對地的高度，重復實驗，A、B兩球仍會在水平面上相遇，這說明平拋運動在水平方向上的分運動是勻速直線運動。8、類平拋運動（1）有時物體的運動與平拋運動很相似，也是在某方向物體做勻速直線運動，另一垂直方向做初速度為零的勻加速直線運動。對這種運動，像平拋又不是平拋，通常稱作類平拋運動。2、類平拋運動的受力特點：物體所受合力為恒力，且與初速度的方向垂直。3、類平拋運動的處理方法：在初速度方向做勻速直線運動，在合外力方向做初速度為零的勻加速直線運動，加速度。處理時和平拋運動類似，但要分析清楚其加

16、速度的大小和方向如何，分別運用兩個分運動的直線規律來處理。第三模塊：圓周運動夯實基礎知識勻速圓周運動1、定義：物體運動軌跡為圓稱物體做圓周運動。2、分類：勻速圓周運動：質點沿圓周運動，如果在任意相等的時間里通過的圓弧長度相等，這種運動就叫做勻速圓周運動。物體在大小恒定而方向總跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲線運動。注意：這里的合力可以是萬有引力衛星的運動、庫侖力電子繞核旋轉、洛侖茲力帶電粒子在勻強磁場中的偏轉、彈力繩拴著的物體在光滑水平面上繞繩的一端旋轉、重力與彈力的合力錐擺、靜摩擦力水平轉盤上的物體等 變速圓周運動：如果物體受到約束，只能沿圓形軌道運動，而速率不斷變化如小球被繩或桿約束著

17、在豎直平面內運動，是變速率圓周運動合力的方向并不總跟速度方向垂直3、描述勻速圓周運動的物理量（1）軌道半徑（r）：對于一般曲線運動，可以理解為曲率半徑。（2）線速度（v）：定義：質點沿圓周運動，質點通過的弧長S和所用時間t的比值，叫做勻速圓周運動的線速度。定義式：線速度是矢量：質點做勻速圓周運動某點線速度的方向就在圓周該點切線方向上，實際上，線速度是速度在曲線運動中的另一稱謂，對于勻速圓周運動，線速度的大小等于平均速率。（3）角速度（，又稱為圓頻率）：定義：質點沿圓周運動，質點和圓心的連線轉過的角度跟所用時間的比值叫做勻速圓周運動的角速度。大小： (是t時間內半徑轉過的圓心角)單位：弧度每秒（

18、rad/s）物理意義：描述質點繞圓心轉動的快慢（4）周期（T）：做勻速圓周運動的物體運動一周所用的時間叫做周期。（5）頻率（f，或轉速n）：物體在單位時間內完成的圓周運動的次數。各物理量之間的關系：注意：計算時，均采用國際單位制，角度的單位采用弧度制。（6）圓周運動的向心加速度定義：做勻速圓周運動的物體所具有的指向圓心的加速度叫向心加速度。大小：（還有其它的表示形式，如：）方向：其方向時刻改變且時刻指向圓心。對于一般的非勻速圓周運動，公式仍然適用，為物體的加速度的法向加速度分量，r為曲率半徑；物體的另一加速度分量為切向加速度，表征速度大小改變的快慢（對勻速圓周運動而言，=0）（7）圓周運動的向

19、心力勻速圓周運動的物體受到的合外力常常稱為向心力，向心力的來源可以是任何性質的力，常見的提供向心力的典型力有萬有引力、洛侖茲力等。對于一般的非勻速圓周運動，物體受到的合力的法向分力提供向心加速度（下式仍然適用），切向分力提供切向加速度。向心力的大小為：（還有其它的表示形式，如：）；向心力的方向時刻改變且時刻指向圓心。實際上，向心力公式是牛頓第二定律在勻速圓周運動中的具體表現形式。五、離心運動1、定義：做圓周運動的物體，在所受合外力突然消失或不足以提供圓周運動所需向心力情況下，就做遠離圓心的運動，這種運動叫離心運動。2、本質：離心現象是物體慣性的表現。離心運動并非沿半徑方向飛出的運動，而是運動半

20、徑越來越大的運動或沿切線方向飛出的運動。離心運動并不是受到什么離心力，根本就沒有這個離心力。3、條件：當物體受到的合外力時，物體做勻速圓周運動；當物體受到的合外力時，物體做離心運動當物體受到的合外力時，物體做近心運動實際上，這正是力對物體運動狀態改變的作用的體現，外力改變，物體的運動情況也必然改變以適應外力的改變。4兩類典型的曲線運動的分析方法比較（1）對于平拋運動這類“勻變速曲線運動”，我們的分析方法一般是“在固定的坐標系內正交分解其位移和速度”，運動規律可表示為 ；（2）對于勻速圓周運動這類“變變速曲線運動”，我們的分析方法一般是“在運動的坐標系內正交分解其力和加速度”，運動規律可表示為題

21、型解析類型題： 曲線運動的條件 【例題】（1991年上海高考題）如圖所示，物體在恒力F作用下沿曲線從A運動到B，這時，突然使它所受力反向，大小不變，即由變為。在此力的作用下，物體以后的運動情況，下列說法正確的是（A、B、D）A物體不可能沿曲線a運動B物體不可能沿直線b運動C物體不可能沿曲線c運動D物體不可能沿原曲線由返回A【例題】質量為m的物體受到一組共點恒力作用而處于平衡狀態，當撤去某個恒力F1時，物體可能做( )A勻加速直線運動； B勻減速直線運動；C勻變速曲線運動； D變加速曲線運動。解析：當撤去F1時，由平衡條件可知：物體此時所受合外力大小等于F1，方向與F1方向相反。若物體原來靜止，

22、物體一定做與F1相反方向的勻加速直線運動。若物體原來做勻速運動，若F1與初速度方向在同一條直線上，則物體可能做勻加速直線運動或勻減速直線運動，故A、B正確。若F1與初速度不在同一直線上，則物體做曲線運動，且其加速度為恒定值，故物體做勻變速曲線運動，故C正確，D錯誤。正確答案為：A、B、C。【例題】我國“嫦娥一號”探月衛星經過無數人的協作和努力，終于在2007年10月24日晚6點05分發射升空。如圖所示，“嫦娥一號”探月衛星在由地球飛向月球時，沿曲線從M點向N點飛行的過程中，速度逐漸減小。在此過程中探月衛星所受合力的方向可能的是（ ）解析：C衛星運動的速度方向沿其軌跡的切線方向，由于速度逐漸減小

23、，則合力方向與速度方向間的夾角大于，由軌跡的彎曲方向知，合力必指向其彎曲方向故選C。【例題】質點僅在恒力F的作用下，由O點運動到A點的軌跡如圖所示，在A點時速度的方向與x軸平行，則恒力F的方向可能沿（ ）Ax軸正方向Bx軸負方向Cy軸正方向Dy軸負方向解析：D根據曲線運動軌跡特點可知：物體的軌跡總是向合外力一方凹陷，而且最終的速度方向不與合外力方向平行，可知D正確。【例題】一個物體以初速度vo從A點開始在光滑的水平面上運動，一個水平力作用在物體上，物體的運動軌跡如圖中的實線所示，B為軌跡上的一點，虛線是經過A、B兩點并與軌跡相切的直線。虛線和實線將水平面分成五個區域，則關于施力物體的位置，下列

24、各種說法中正確的是 ( )A如果這個力是引力，則施力物體一定在區域中B如果這個力是引力，則施力物體可能在區域中C如果這個力是斥力，則施力物體一定在區域中D。 如果這個力是斥力，則施力物體可能在區域中解析：物體做曲線運動，一定受到與初速度vo方向不平行的力的作用，這個力與速度方向垂直的分量起到向心力的作用，使物體運動軌跡向向心力的方向彎曲，且運動軌跡應在受力方向和初速度方向所夾的角度范圍之內，所以此施力物體一定在軌跡兩切線的交集處。是引力時施力物體在軌跡彎曲的內側(相互吸引，使運動向軌跡內側彎曲)，是斥力時施力物體在軌跡彎曲的外側(相互排斥，使物體運動向軌跡內側彎曲)。【答案】A C【例題】如圖

25、所示，質量為m的小球，用長為l的不可伸長的細線掛在O點，在O點正下方處有一光滑的釘子O。把小球拉到與釘子O在同一水平高度的位置，擺線被釘子攔住且張緊，現將小球由靜止釋放，當小球第一次通過最低點P時（）A小球的運動速度突然減小B小球的角速度突然減小C小球的向心加速度突然減小D懸線的拉力突然減小解析：在通過位置P前后瞬間，小球作圓周運動的半徑分別為l和，并且小球在通過P點瞬間受到的重力和拉力都在豎直方向上，小球的速度大小不改變。答案：B、C、D類型題： 如何判斷曲線運動的性質 曲線運動一定是變速運動，但不一定是勻變速運動。可以根據做曲線運動物體的受力情況（或加速度情況）進行判斷，若受到恒力（其加速

26、度不變），則為勻變速運動，若受到的不是恒力（其加速度變化），則為非勻變速運動。例如：平拋運動是勻變速運動，其加速度恒為g；而勻速圓周運動是非勻變速運動，其加速度雖然大小不變，但方向是時刻變化的。【例題】關于運動的性質，下列說法中正確的是（A）A曲線運動一定是變速運動B曲線運動一定是變加速運動C圓周運動一定是勻變速運動D變力作用下的物體一定做曲線運動【例題】物體做曲線運動時，其加速度（ ）A一定不等于零 B一定不變 C一定改變 D可能不變解析：AD 曲線運動一定是變速運動，一定有加速度，所以加速度一定不為零，A正確；曲線運動中平拋運動和類平拋運動（帶電粒子在電場中的偏轉）加速度是不變的，勻速圓周

27、運動和多數的曲線運動加速度是改變的。【例題】一質點在某段時間內做曲線運動，則在這段時間內（ ）A速度一定不斷地改變，加速度也一定不斷地改變B速度一定不斷地改變，加速度可以不變C速度可以不變，加速度一定不斷地改變D速度可以不變，加速度也可以不變解析：B 質點做曲線運動，則速度一定發生變化，但加速度不一定變化，如平拋運動，所以，A、C、D錯誤，只有B項正確。類型題： 運用運動的獨立性解題 【例題】如圖所示，一個劈形物體M各面均光滑，上面成水平，水平面上放一光滑小球m，現使劈形物體從靜止開始釋放，則小球在碰到斜面前的運動軌跡是（斜面足夠長）（ ）A沿斜面向下的直線 B豎直向下的直線C無規則曲線 D拋

28、物線解析：B 小球只受豎直方向的重力和支持力，即合力始終沿豎直方向，故小球只能做豎直向下的直線運動，所以B正確【例題】如圖所示，A、B為兩游泳運動員隔著水流湍急的河流站在兩岸邊，A在較下游的位置，且A的游泳成績比B好，現讓兩人同時下水游泳，要求兩人盡快在河中相遇，試問應采用下列哪種方法才能實現？（ A ）AA、B均向對方游（即沿虛線方向）而不考慮水流作用BB沿虛線向A游且A沿虛線偏向上游方向游CA沿虛線向B游且B沿虛線偏向上游方向游D都應沿虛線偏向下游方向，且B比A更偏向下游解析：游泳運動員在河里游泳時同時參與兩種運動，一是被水沖向下游，二是沿自己劃行方向的劃行運動。游泳的方向是人相對于水的方

29、向。選水為參考系，A、B兩運動員只有一種運動，由于兩點之間直線最短，所以選A。【例題】如圖為一空間探測器的示意圖，P1、P2、P3、P4四個噴氣發動機，P1、P3的連錢與空間一固定坐標系的x軸平行，P2、P4的連線與y軸平行，每臺發動機開動時，都能向探測器提供推力，但不會使探測器轉動開始時，探測器以恒定的速率v0向正x方向平動要使探測器改為向正x偏負y 60º的方向以原來的速率v0平動，則可A先開動P1適當時間，再開動P4適當時間B先開動P3適當時間，再開動P2適當時間C開動P4適當時間D先開動P3適當時間，再開動P4適當時間解析：選A在運動的合成、分解中，真實運動為合運動，即“向正

30、x偏y60º的方向以原來的速率v0平動”為合運動，x軸、y軸方向上的運動為分運動據平行四邊形定則，由右圖可得，ux<v0，vy<v0，又因為“開始時，探測器以恒定的速率v0向正x方向平動”，所以在x軸方向上探測器做的是沿正x方向的減速運動，其加速度沿負x方向由牛頓第二定律，沿x軸方向的合外力必沿負x方向，所以P1發動機開動在y抽方向上探測器做的是沿負y方向的加速運動，加速度方向沿負y方向，由牛頓第二定律，沿y軸方向的合外力必沿負y方向，所以P4發動機打開本題正確答案為A【例題】一質點在xOy平面內從O點開始運動的軌跡如圖所示，則質點的速度（ ）A若x方向始終勻速，則y方向

31、先加速后減速B若x方向始終勻速，則y方向先減速后加速C若y方向始終勻速，則x方向先減速后加速D若y方向始終勻速，則x方向先加速后減速解析：BD 從軌跡圖可知，若x方向始終勻速，開始所受合力沿y方向，后來沿y方向，如圖所示，可以看出應是先減速后加速，故A錯，B正確；若y方向勻速，則受力先沿x方向，后沿x方向，如圖所示，故先加速后減速，所以C錯，D正確類型題： 判斷兩個直線運動的合運動的性質 方法一：根據加速度與初速度的方向關系判斷先求出合運動的初速度和加速度（可以用作圖法求），再判斷。可以發現，當時，合運動為直線運動，否則為曲線運動。方法二：通過兩個分位移的比例關系來判斷作為一般性討論，我們可以

32、設兩個分運動的規律分別為：，令：根據數學知識可以判斷出，若k為一常數（即當或或時），則表明物體沿直線運動；若k為時間t的函數（當時），則表明物體將做曲線運動。如在平拋運動中，vy0=0，ax=0，ay=g，所以，即k是時間t的函數，且隨時間的延續而變大，所以合運動的軌跡應是越來越陡的曲線。【例題】關于運動的合成，下列說法中正確的是（C）A合運動的速度一定比每一個分運動的速度大B兩個勻速直線運動的合運動不一定是勻速直線運動C兩個勻變速直線運動的合運動不一定是勻變速直線運動D合運動的兩個分運動的時間不一定相等【例題】關于互成角度的兩個初速不為零的勻變速直線運動的合運動，下述說法正確的是A一定是直線

33、運動 B一定是曲線運動C可能是直線運動，也可能是曲線運動D以上都不對解析：兩個互成角度的直線運動的合運動是直線運動還是曲線運動，決定于它們的合速度和合加速度方向是否共線（如圖所示）。當a和v重合時，物體做直線運動，當a和v不重合時，物體做曲線運動，由于題設數值不確定，以上兩種均有可能。答案選C【例題】互成角度的一個勻速直線運動和一個勻變速直線運動的合運動（ ）A有可能是直線運動 B一定是曲線運動C有可能是勻速運動 D一定是勻變速運動解析：BD 互成角度的一個勻速直線運動與一個勻變速直線運動合成后，加速度不變，是勻變速，且合速度的方向與合加速度的方向不在一條直線上，故其做曲線運動，所以選B、 D

34、。類型題： 小船過河問題 輪船渡河問題：（1）處理方法：輪船渡河是典型的運動的合成與分解問題，小船在有一定流速的水中過河時，實際上參與了兩個方向的分運動，即隨水流的運動（水沖船的運動）和船相對水的運動（即在靜水中的船的運動），船的實際運動是合運動。1渡河時間最少：在河寬、船速一定時，在一般情況下，渡河時間，顯然，當時，即船頭的指向與河岸垂直，渡河時間最小為，合運動沿v的方向進行。2位移最小若結論船頭偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移為河寬，偏離上游的角度為若，則不論船的航向如何，總是被水沖向下游，怎樣才能使漂下的距離最短呢？如圖所示，設船頭v船與河岸成角。合速度v與河岸成角。可以看出：角越大

35、，船漂下的距離x越短，那么，在什么條件下角最大呢？以v水的矢尖為圓心，v船為半徑畫圓，當v與圓相切時，角最大，根據船頭與河岸的夾角應為，船沿河漂下的最短距離為：此時渡河的最短位移：【例題】河寬d60m，水流速度v16ms，小船在靜水中的速度v2=3ms，問：(1)要使它渡河的時間最短，則小船應如何渡河?最短時間是多少?(2)要使它渡河的航程最短，則小船應如何渡河?最短的航程是多少?解析： (1)要使小船渡河時間最短，則小船船頭應垂直河岸渡河，渡河的最短時間(2)渡河航程最短有兩種情況：船速v2大于水流速度v1時，即v2>v1時，合速度v與河岸垂直時，最短航程就是河寬；船速v2小于水流速度

36、vl時，即v2<v1時，合速度v不可能與河岸垂直，只有當合速度v方向越接近垂直河岸方向，航程越短。可由幾何方法求得，即以v1的末端為圓心，以v2的長度為半徑作圓，從v1的始端作此圓的切線，該切線方向即為最短航程的方向，如圖所示。設航程最短時，船頭應偏向上游河岸與河岸成角，則，最短行程，小船的船頭與上游河岸成600角時，渡河的最短航程為120m。技巧點拔：對第一小問比較容易理解，但對第二小問卻不容易理解，這里涉及到運用數學知識解決物理問題，需要大家有較好的應用能力，這也是教學大綱中要求培養的五種能力之一。【例題】在抗洪搶險中，戰士駕駛摩托艇救人，假設江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速

37、度為v1，摩托艇在靜水中的航速為v2，戰士救人的地點A離岸邊最近處O的距離為d，如戰士想在最短時間內將人送上岸，則摩托艇登陸的地點離O點的距離為( C) A B0 C D解析：摩托艇要想在最短時間內到達對岸，其劃行方向要垂直于江岸，摩托艇實際的運動是相對于水的劃行運動和隨水流的運動的合運動，垂直于江岸方向的運動速度為v2，到達江岸所用時間t=；沿江岸方向的運動速度是水速v1在相同的時間內，被水沖下的距離，即為登陸點距離0點距離。答案：C【例題】某人橫渡一河流，船劃行速度和水流動速度一定，此人過河最短時間為了T1；若此船用最短的位移過河，則需時間為T2，若船速大于水速，則船速與水速之比為（ ）

38、(A) (B) (C) (D) 解析：設船速為 ，水速為 ，河寬為d ，則由題意可知 ： 當此人用最短位移過河時，即合速度方向應垂直于河岸，如圖所示，則聯立式可得： ，進一步得【例題】小河寬為d，河水中各點水流速度大小與各點到較近河岸邊的距離成正比，x是各點到近岸的距離，小船船頭垂直河岸渡河，小船劃水速度為，則下列說法中正確的是（ A ）A、小船渡河的軌跡為曲線B、小船到達離河岸處，船渡河的速度為C、小船渡河時的軌跡為直線D、小船到達離河岸處，船的渡河速度為類型題：繩聯物體的速度分解問題指物拉繩（桿）或繩（桿）拉物問題。由于高中研究的繩都是不可伸長的，桿都是不可伸長和壓縮的，即繩或桿的長度不會

39、改變，所以解題原則是：把物體的實際速度分解為垂直于繩（桿）和平行于繩（桿）兩個分量，根據沿繩（桿）方向的分速度大小相同求解。合速度方向：物體實際運動方向分速度方向：沿繩（桿）伸（縮）方向：使繩（桿）伸（縮）垂直于繩（桿）方向：使繩（桿）轉動速度投影定理：不可伸長的桿或繩，若各點速度不同，各點速度沿繩方向的投影相同。這類問題也叫做：斜拉船的問題有轉動分速度的問題【例題】如圖所示，人用繩子通過定滑輪以不變的速度拉水平面上的物體A，當繩與水平方向成角時，求物體A的速度。解析：解法一（分解法）：本題的關鍵是正確地確定物體A的兩個分運動。物體A的運動（即繩的末端的運動）可看作兩個分運動的合成：一是沿繩的

40、方向被牽引，繩長縮短。繩長縮短的速度即等于；二是隨著繩以定滑輪為圓心的擺動，它不改變繩長，只改變角度的值。這樣就可以將按圖示方向進行分解。所以及實際上就是的兩個分速度，如圖所示，由此可得。解法二（微元法）：要求船在該位置的速率即為瞬時速率，需從該時刻起取一小段時間來求它的平均速率，當這一小段時間趨于零時，該平均速率就為所求速率。設船在角位置經t時間向左行駛x距離，滑輪右側的繩長縮短L，如圖2所示，當繩與水平方向的角度變化很小時，ABC可近似看做是一直角三角形，因而有，兩邊同除以t得：即收繩速率，因此船的速率為：總結：“微元法”。可設想物體發生一個微小位移，分析由此而引起的牽連物體運動的位移是怎

41、樣的，得出位移分解的圖示，再從中找到對應的速度分解的圖示，進而求出牽連物體間速度大小的關系。解法三（能量轉化法）：由題意可知：人對繩子做功等于繩子對物體所做的功。人對繩子的拉力為F，則對繩子做功的功率為；繩子對物體的拉力，由定滑輪的特點可知，拉力大小也為F，則繩子對物體做功的功率為，因為所以。評點：在上述問題中，若不對物體A的運動認真分析，就很容易得出的錯誤結果；當物體A向左移動，將逐漸變大，逐漸變大，雖然人做勻速運動，但物體A卻在做變速運動。總結：解題流程：選取合適的連結點（該點必須能明顯地體現出參與了某個分運動）；確定該點合速度方向（物體的實際速度為合速度）且速度方向始終不變；確定該點合速

42、度的實際運動效果從而依據平行四邊形定則確定分速度方向；作出速度分解的示意圖，尋找速度關系。【例題】如圖所示，在高為H的光滑平臺上有一物體用繩子跨過定滑輪C，由地面上的人以均勻的速度v0向右拉動，不計人的高度，若人從地面上平臺的邊緣A處向右行走距離s到達B處，這時物體速度多大？物體水平移動了多少距離？解析：人的實際運動為合運動，將此合運動分解在沿繩方向和垂直于繩的方向。全解設人運動到B點時，繩與地面的夾角為。人的運動在繩的方向上的分運動的速度為：。物體的運動速度與沿繩方向的運動速度相同，所以物體的運動速度為。物體移動的距離等于滑輪右端繩子伸長的長度，。答案：， 小結分清合運動是關鍵，合運動的重要

43、特征是，合運動都是實際的運動，此題中，人向前的運動是實際的運動，是合運動；該運動分解在沿繩的方向和垂直于繩的方向，這兩個運動的物理意義是明確的，從滑輪所在的位置來看，沿繩的方向的運動是繩伸長的運動，垂直于繩的方向的運動是繩繞滑輪的轉動，人同時參與了這兩個運動，其實際的運動（合運動）即是水平方向的運動【例題】如圖所示，重物M沿豎直桿下滑，并通過繩帶動小車m沿斜面升高問：當滑輪右側的繩與豎直方向成角，且重物下滑的速率為v時，小車的速度為多少？解析：方法一：虛擬重物M在t時間內從A移過h到達的運動，如圖（1）所示，這個運動可設想為兩個分運動所合成，即先隨繩繞滑輪的中心軸O點做圓周運動到B，位移為s1

44、，然后將繩拉過s2到C若t很小趨近于0，那么0，則s10，又OAOB，亦即s1近似s2，故應有：s2h·cos因為所以vv·cos方法二：重物M的速度v的方向是合運動的速度方向，這個v產生兩個效果：一是使繩的這一端繞滑輪做順時針方向的圓周運動；二是使繩系著重物的一端沿繩拉力的方向以速率v運動，如圖（2）所示，由圖可知，vv·cos【例題】一根繞過定滑輪的長繩吊起一重物B，如圖所示，設汽車和重物的速度的大小分別為，則（ BD ）A、 B、 C、 D、重物B的速度逐漸增大【例題】如圖所示，一輕桿兩端分別固定質量為mA和mB的兩個小球A和B（可視為質點）。將其放在一個直

45、角形光滑槽中，已知當輕桿與槽左壁成角時，A球沿槽下滑的速度為VA，求此時B球的速度VB？解析：A球以VA的速度沿斜槽滑下時，可分解為：一個使桿壓縮的分運動，設其速度為VA1；一個使桿繞B點轉動的分運動，設其速度為VA2。而B球沿斜槽上滑的運動為合運動，設其速度為VB，可分解為：一個使桿伸長的分運動，設其速度為VB1，VB1=VA1；一個使桿擺動的分運動設其速度為VB2；由圖可知： 【例題】如圖所示，桿OA長為R，可繞過O點的水平軸在豎直平面內轉動，其端點A系著一跨過定滑輪B、C的不可伸長的輕繩，繩的另一端系一物塊M。滑輪的半徑可忽略，B在O的正上方，OB之間的距離為H。某一時刻，當繩的BA段與

46、OB之間的夾角為時，桿的角速度為，求此時物塊M的速率Vm解析：桿的端點A點繞O點作圓周運動，其速度VA的方向與桿OA垂直，在所考察時其速度大小為：VA=R對于速度VA作如圖所示的正交分解，即沿繩BA方向和垂直于BA方向進行分解，沿繩BA方向的分量就是物塊M的速率VM，因為物塊只有沿繩方向的速度，所以VM=VAcos由正弦定理知，由以上各式得VM=Hsin。類型題：面接觸物體的速度問題求相互接觸物體的速度關聯問題時，首先要明確兩接觸物體的速度，分析彈力的方向，然后將兩物體的速度分別沿彈力的方向和垂直于彈力的方向進行分解，令兩物體沿彈力方向的速度相等即可求出。【例題】一個半徑為R的半圓柱體沿水平方

47、向向右以速度V0勻速運動。在半圓柱體上擱置一根豎直桿，此桿只能沿豎直方向運動，如圖所示。當桿與半圓柱體接觸點P與柱心的連線與豎直方向的夾角為，求豎直桿運動的速度。解析：設豎直桿運動的速度為V1，方向豎直向上，由于彈力方向沿OP方向，所以V0、V1在OP方向的投影相等，即有，解得V1=V0。tan【例題】一根長為L的桿OA，O端用鉸鏈固定，另一端固定著一個小球A，靠在一個質量為M，高為h的物塊上，如圖所示，若物塊與地面摩擦不計，試求當物塊以速度v向右運動時，小球A的線速度vA（此時桿與水平方向夾角為）。解析：解題方法與技巧：選取物與棒接觸點B為連結點。 （不直接選A點，因為A點與物塊速度的v的關

48、系不明顯）。因為B點在物塊上，該點運動方向不變且與物塊運動方向一致，故B點的合速度（實際速度）也就是物塊速度v；B點又在棒上，參與沿棒向A點滑動的速度v1和繞O點轉動的線速度v2。因此，將這個合速度沿棒及垂直于棒的兩個方向分解，由速度矢量分解圖得：v2=vsin。設此時OB長度為a，則a=h/sin。令棒繞O 點轉動角速度為，則：=v2/a=vsin2/h。故A的線速度vA=L=vLsin2/h。類型題：平拋運動1常規題的解法【例題】如圖所示，某滑板愛好者在離地h= 1.8 m高的平臺上滑行，水平離開A點后落在水平地面的B點，其水平位移= 3 m。著地時由于存在能量損失，著地后速度變為v=4

49、m/s，并以此為初速沿水平地面滑行=8 m后停止，已知人與滑板的總質量m=60 kg。求：（1）人與滑板離開平臺時的水平初速度。（2）人與滑板在水平地面滑行時受到的平均阻力大小。（空氣阻力忽略不計，g取10)解析：（1）人和滑板一起在空中做平拋運動，設初速為，飛行時間為t，根據平拋運動規律有， 解得（2）設滑板在水平地面滑行時受到的平均阻力為f，根據動能定理有 解得本題主要考查的知識點是動能定理和平拋運動的規律。滑行者共參與了兩個運動：在AB段做的是平拋運動；在BC段做的是勻減速運動由動能定理可求出平均阻力，而根據平拋運動的規律可求出人離開平臺時的速度【例題】如圖所示，墻壁上落有兩只飛鏢，它們

50、是從同一位置水平射出的，飛鏢A與豎直墻壁成530角，飛鏢B與豎直墻壁成370角，兩者相距為d，假設飛鏢的運動是平拋運動，求射出點離墻壁的水平距離?(sin370=0.6，cos3700.8)解析：設射出點離墻壁的水平距離為s，A下降的高度h1，B下降的高度h2，根據平拋運動規律可知：（根據反向沿長線是中點）答案：知識鏈接：本題的關鍵是理解箭頭指向的含義箭頭指向代表這一時刻速度的方向，而不是平拋物體的位移方向。理解兩個重要的推論：推論1：做平拋(或類平拋)運動的物體在任一時刻任一位置處，設其末速度方向與水平方向的夾角為，位移與水平方向的夾角為，則tan=2tan推論2：做平拋(或類平拋)運動的物

51、體任意時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點。 【例題】如圖所示，排球場總長為18m，設球網高度為2m，運動員站在網前3m處正對球網跳起將球水平擊出。(1)若擊球高度為2.5m，為使球既不觸網又不出界，求水平擊球的速度范圍；(2)當擊球點的高度為何值時，無論水平擊球的速度多大，球不是觸網就是越界？解析：(1)排球被水平擊出后，做平拋運動若正好壓在底線上，則球在空中的飛行時間：由此得排球越界的臨界速度。若球恰好觸網，則球在網上方運動的時間:。由此得排球觸網的臨界擊球速度值。使排球既不觸網又不越界，水平擊球速度v的取值范圍為: 。(2)設擊球點的高度為h，當h較小時，擊球速度過大會出

52、界，擊球速度過小又會觸網，臨界情況是球剛好擦網而過，落地時又恰好壓在底線上，如圖所示，則有: 。即擊球高度不超過此值時，球不是出界就是觸網【例題】拋體運動在各類體育運動項目中很常見，如乒乓球運動。現討論乒乓球發球問題，設球臺長2L、網高h，乒乓球反彈前后水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉和空氣阻力。（設重力加速度為g）（1）若球在球臺邊緣O點正上方高度為h1處以速度v1水平發出，落在球臺的P1點（如圖實線所示），求P1點距O點的距離x1。（2）若球在O點正上方以速度v2水平發出，恰好在最高點時越過球網落在球臺的P2點（如圖虛線所示），求v2的大小。（3）若球在O

53、點正上方水平發出后，球經反彈恰好越過球網且剛好落在對方球臺邊緣P3處，求發球點距O點的高度。解析：設發球時飛行時間為t1，根據平拋運動 解得 (2)水平三段應是對稱的則 解得（3）點評：（本題主要是對圖的理解）【例題】一位同學將一足球從樓梯頂部以的速度踢出（忽略空氣阻力），若所有臺階都是高0.2m， 寬0.25m，問足球從樓梯頂部踢出后首先撞到哪一級臺階上？解析：所有臺階的棱角都在同一斜面上，取小球的軌跡與這個斜面的交點為P，此過程小球的水平位移為x，豎直位移為y，則：由幾何知識可得：由以上各式得， 2<n<3，小球首先撞到第三級臺階上2斜面問題（1）分解速度【例題】如圖所示，以水

54、平初速度拋出的物體，飛行一段時間后，垂直撞在傾角為的斜面上，求物體完成這段飛行的時間和位移。解析：（分解速度）， 上面的S好象不對我做【例題】如圖所示，在傾角為370的斜面底端的正上方H處，平拋一小球，該小球垂直打在斜面上的一點，求小球拋出時的初速度。解析：小球水平位移為豎直位移為由圖可知，又（分解速度），消去t解之得： （2）分解位移【例題】在傾角為的斜面頂端A處以速度水平拋出一小球，落在斜面上的某一點B處，設空氣阻力不計，求(1)小球從A運動到B處所需的時間和位移。(2) 從拋出開始計時，經過多長時間小球離斜面的距離達到最大？解析：(1)設小球從A處運動到B處所需的時間為t ，則水平位移 ，豎直位移(2) 【例題】（求平拋物體的落點）如圖，斜面上有a、b、c、d四個點，ab =bc =cd。從a點正上方的O點以速度v0水平拋出一個小球，它落在斜面上b點。若小球從O點以速度2v0水平拋出，不計空氣阻力，則它落在斜面上的（ ）Ab與c之間某一點Bc點Cc與d之間某一點Dd點解析：當水平速度變為2v0時，如果作過b點的直線be，小球將落在c的正下方的直線上一點，連接O點和e點的曲線，和斜面相交于bc間的一