1、.第15講等腰三角形命題點1等腰三角形的性質與斷定12019河北T83分，如圖，點P在線段AB外，且PAPB，求證：點P在線段AB的垂直平分線上在證明該結論時，需添加輔助線，那么作法不正確的選項是BA作APB的平分線PC交AB于點CB過點P作PCAB于點C且ACBCC取AB中點C，連接PCD過點P作PCAB，垂足為C22019河北T103分如圖，碼頭A在碼頭B的正西方向，甲、乙兩船分別從A，B同時出發，并以等速駛向某海域，甲的航向是北偏東35，為防止行進中甲、乙相撞，那么乙的航向不能是DA北偏東55 B北偏西55C北偏東35 D北偏西3532019河北T83分如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東7

2、0方向的M處， 它以每小時40海里的速度向正北方向航行，2小時后到達位于燈塔P的北偏東40的N處，那么N處與燈塔P的間隔 為DA40海里 B60海里 C70海里 D80海里命題點2等邊三角形的性質與斷定42019河北T162分如圖，AOB120，OP平分AOB，且OP2.假設點M，N分別在OA，OB上，且PMN為等邊三角形，那么滿足上述條件的PMN有DA1個 B2個 C3個 D3個以上52019河北T173分如圖1，兩個等邊ABD，CBD的邊長均為1，將ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，得到圖2，那么陰影部分的周長為2.圖1圖2重難點1等腰三角形的性質與斷定在ABC中，ACBC，ACB1

3、20，點D是線段AB上一動點D不與A，B重合1如圖1，當點D為AB的中點，過點B作BFAC交CD的延長線于點F，求證：ACBF；2連接CD.作CDE30，DE交AC于點E.假設DEBC時，如圖2.CDB120；求證：ADE為等腰三角形；在點D的運動過程中，ECD的形狀可以是等腰三角形嗎？假設可以，懇求出AED的度數；假設不可以，請說明理由【自主解答】解：1證明：CACB，CD是ABC的中線，ADBD.BFAC，AFBD.ADCBDF，ACDBFD.ACBF.2證明：ACBC，AB.DEBC，EDAB.AEDA，ADE為等腰三角形ECD可以是等腰三角形理由如下：.當CDEECD時，ECDE，EC

4、DCDE30.AEDECDCDE，AED60.當ECDCED時，CDDE，ECDCEDCDE180，CED75.AED180CED105.當CEDCDE時，ECCD，ACD180CEDCDE1803030120，ACB120，此時，點D與點B重合，不合題意綜上，ECD可以是等腰三角形，此時AED的度數為60或105.【變式訓練1】2019湖州如圖，AD，CE分別是ABC的中線和角平分線假設ABAC，CAD20，那么ACE的度數是BA20 B35 C40 D70【變式訓練2】2019河北大聯考如圖，在ABC中，ABAC，D為BC邊上的一點，且BABD，DADC，那么C的度數為BA30 B36 C

5、40 D451在同一個三角形中證明邊相等或角相等的方法主要是等邊對等角或等角對等邊，在兩個不同三角形中，證明兩條邊相等或角相等的方法是利用全等三角形2幾何常見圖形“8字圖，其根本構成過程是：1把三角形的中線加倍，即CD是ABC的中線，延長CD至F，使DFCD；2D是AB的中點，BFAC；3沒有明確腰或底邊的等腰三角形或沒有明確頂角或底角的等腰三角形問題，解決時常常需要分類討論,在ABC中，AB6，AC4，BC8，BP平分ABC，CP平分ACB.1如圖1，過點P作BC的平行線交AB于點E，交AC于點F，那么AEF的周長為10；2如圖2，過點P作PMAB交BC于點M，PNAC交BC于點N，那么PM

6、N的周長為8；【變式1】如圖3，假設點P為ABC的內心，將BAC平移使其頂點與P重合，那么圖中陰影部分的周長為8【變式2】如圖4，假設ABC的內角平分線BQ與外角平分線CQ相交于點Q，過點Q作QHBC交AB于點H，交AC于點R.假設BH5，HR2，求CR的長【思路點撥】1由角平分線及兩直線平行，內錯角相等，可得到BEP，CFP均是等腰三角形，從而有EFEBFC，所以AEF的周長為ABAC；對于2同理可得，PMBM，PNCN，所以PMN的周長BMMNCNBC8，對于變式2連接PB，PC，根據2中結論可得陰影部分的周長；對于變式2可證得BHQ，CRQ是等腰三角形【自主解答】解：HQBC，HQBQB

7、C.又BQ平分ABC，HBQCBQ.HQBHBQ.HBHQ.同理可得CRRQ.CRRQHQHRBHHR523.【變式訓練3】：如圖，點D在ABC外，BD，CD分別平分ABC的外角GBC和HCB，過點D作DEBC，分別交BG，CH于E，F兩點，那么EF與BE，CF之間存在怎樣的關系？寫出你的結論，并加以證明解：結論：BECFEF.證明：BD平分EBC，CD平分FCB，EBDCBD，FCDBCD.EFBC，EDBCBD，FDCBCD.EBDEDB，FDCFCD.BEDE，CFDF.BECFDEDFEF.BECFEF.1角平分線平行線可以得出等腰三角形模型如下：如圖，OABC，OC平分AOB，那么B

8、OC為等腰三角形2利用等腰三角形的腰相等，可以實現化曲為直，實現線段求解或周長求解變式點：1內心可以看作三角形三條角平分線的交點2平移可以看作平行線3等腰三角形可以作一條線段繞其中一個端點旋轉一個角度，交于另一個端點連接得到的圖形4外心可以看作三角形三邊垂直平分線的交點重難點2等邊三角形的性質與斷定2019廊坊安次區模擬如圖，ABC是等邊三角形，點P是三角形內的任意一點，PDAB，PEBC，PFAC.假設ABC的周長為12，那么PDPEPFCA12 B8C4 D3【思路點撥】延長DP交AC于點M，由等邊三角形的性質及兩直線平行，同位角相等，易得MDCC60，從而MDC是等邊三角形，MPE也是等

9、邊三角形，有MDCMMPPDPEPD，又可得四邊形AMPF是平行四邊形，所以PFAM.所以ACPDPEPF4.【變式訓練4】2019河池等邊ABC的邊長為12，點D是AB上的動點，過點D作DEAC于點E，過點E作EFBC于點F，過點F作FGAB于點G.當點G與點D重合時，AD的長是CA3 B4 C8 D9【變式訓練5】如圖，六邊形ABCDEF中，每一個內角都是120，AB12，BC30，CD8，DE28.那么這個六邊形的周長為CA125B126C116D108這里根據兩個角為60的三角形是等邊三角形，利用等邊三角形的性質以及平行四邊形的性質，化曲為直，平移線段，將三條線段的和轉化成一條線段表達

10、了整體求值的數學思想注：此題的結論與“過等邊三角形內一點向三邊作垂線段，三條垂線段之和等于等邊三角形的高類似12019宿遷假設實數m，n滿足等式|m2|0，且m，n恰好是等腰ABC的兩條邊的邊長，那么ABC的周長是BA12 B10 C8 D622019德州改編如圖，OC為AOB的平分線，CMOB，OC5，OM4，那么點C到射線OA的間隔 為AA3 B4 C5 D632019黃岡如圖，在ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC，AC于點D和E，B60，C25，那么BAD為BA50 B70 C75 D8042019福建如圖，等邊ABC中，ADBC，垂足為D，點E在線段AD上，EBC45，那么

11、ACE等于AA15 B30 C45 D6052019昆明在AOC中，OB交AC于點D，量角器的擺放如下圖，那么CDO的度數為BA90 B95 C100 D1206如圖是四張形狀不同的紙片，用剪刀沿一條直線將它們分別剪開只允許剪一次，不能得到兩個等腰三角形紙片的是BABCD72019棗莊如圖，在RtABC中，C90，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D.假設CD4，AB15，那么ABD的面積是BA15 B30 C45 D6082019玉林如圖，AOB60，OAOB，動點C從點O出發，沿

12、射線OB方向挪動，以AC為邊在右側作等邊ACD，連接BD，那么BD所在直線與OA所在直線的位置關系是AA平行 B相交 C垂直 D平行、相交或垂直92019南充如圖，在ABC中，AF平分BAC，AC的垂直平分線交BC于點E，B70，FAE19，那么C24102019吉林我們規定：等腰三角形的頂角與一個底角度數的比值叫做等腰三角形的“特征值，記作k.假設k，那么該等腰三角形的頂角為36度112019嘉興如圖，在ABC中，ABAC，D為AC的中點，DEAB，DFBC，垂足分別為E，F，且DEDF.求證：ABC是等邊三角形證明：DEAB，DFBC，AEDCFD90.D為AC的中點，ADDC.在RtAD

13、E和RtCDF中，RtADERtCDFHLAC.BABC.ABAC，ABBCAC.ABC是等邊三角形122019紹興數學課上，張老師舉了下面的例題：例1等腰三角形ABC中，A110，求B的度數答案：35例2等腰三角形ABC中，A40，求B的度數答案：40或70或100張老師啟發同學們進展變式，小敏編了如下一題：變式等腰三角形ABC中，A80，求B的度數1請你解答以上的變式題；2解1后，小敏發現，A的度數不同，得到B的度數的個數也可能不同，假如在等腰三角形ABC中，設Ax，當B有三個不同的度數時，請你探究x的取值范圍解：1假設A為頂角，那么B180A250；假設A為底角，B為頂角，那么B1802

14、8020；假設A為底角，B為底角，那么B80；故B50或20或80；2分兩種情況：當90x180時，A只能為頂角，B的度數只有一個；當0x90時，假設A為頂角，那么B；假設A為底角，B為頂角，那么B1802x；假設A為底角，B為底角，那么Bx.當1802x且1802xx且x，即x60時，B有三個不同的度數綜上所述，可知當0x90且x60時，B有三個不同的度數132019武漢如圖，在RtABC中，C90，以ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個頂點在ABC的其他邊上，那么可以畫出的不同的等腰三角形的個數最多為DA4 B5 C6 D714如圖，在等邊ABC中，AC8，點O在AC上，且AO3，點P是AB上一動點，連接OP，將線段OP繞點O逆時針旋轉60得到線段OD.要使點D恰好落在BC上，那么AP的長是5152019河北模擬如圖1，在等邊ABC和等邊ADP中，AB2，點P在ABC的高CE上點P與點C不重合，點D在點P的左側，連接BD，ED.1求證：BDCP；2當點P與點E重合時，延長CE交BD于點F，請你在圖2中作出圖形，并求出BF的長；3直接寫出線段DE長度的最小值解：1證明：ABC是等邊三角形，ABAC，BAC60.ADP是等邊三角形，ADAP，DAP60.DABBAPBAPCA