1、第一章 晶體結構1. 氯化鈉與金剛石型結構是復式格子還是布拉維格子，各自的基元為何？寫出這兩種結構的原胞與晶胞基矢，設晶格常數為a。解：氯化鈉與金剛石型結構都是復式格子。氯化鈉的基元為一個Na+和一個Cl組成的正負離子對。金剛石的基元是一個面心立方上的原子和一個體對角線上的原子組成的原子對。由于NaCl和金剛石都由面心立方結構套構而成，所以，其元胞基矢都為：相應的晶胞基矢都為：2. 六角密集結構可取四個原胞基矢與,如圖所示。試寫出、這四個晶面所屬晶面族的晶面指數。解：(1)對于面，其在四個原胞基矢上的截矩分別為：，。所以，其晶面指數為。(2)對于面，其在四個原胞基矢上的截矩分別為：，。所以，其

2、晶面指數為。(3)對于面，其在四個原胞基矢上的截矩分別為：，。所以，其晶面指數為。(4)對于面，其在四個原胞基矢上的截矩分別為：，。所以，其晶面指數為。3. 如將等體積的硬球堆成下列結構，求證球體可能占據的最大體積與總體積的比為：簡立方：；體心立方：；面心立方：；六角密集：；金剛石：。證明：由于晶格常數為a，所以：(1)構成簡立方時，最大球半徑為，每個原胞中占有一個原子，(2)構成體心立方時，體對角線等于倍的最大球半徑，即：，每個晶胞中占有兩個原子，(3)構成面心立方時，面對角線等于倍的最大球半徑，即：，每個晶胞占有個原子，(4)構成六角密集結構時，中間層的三個原子與底面中心的那個原子恰構成一

3、個正四面體，其高則正好是其原胞基矢的長度的一半，由幾何知識易知。原胞底面邊長為。每個晶胞占有兩個原子，原胞的體積為： (5)構成金剛石結構時，的體對角線長度等于兩個最大球半徑，即：，每個晶胞包含8個原子，4. 金剛石結構原子間的鍵間角與立方體的體對角線間的夾角相同，試用矢量分析的方法證明這一夾角為。證明：如圖所示，沿晶胞基矢的方向建立坐標系，并設晶格常數為。選擇體對角線和，用坐標表示為和。所以,其夾角的余弦為： 5. 試求面心立方結構(110)和(111)晶面族的原子數面密度，設晶格常數為a。解：如圖所示，面ABCD即(110)面，面CDE即為(111)面。設該面心立方的晶格常數為a，則在(1

4、10)面內選取只包含一個原子的面AFGD，其面積為，所以其原子數面密度為：在(111)面內選取只包含一個原子的面DHIG，其面積為：，所以其原子數面密度為： 6. 若在面心立方結構的立方體心位置上也有一原子，試確定此結構的原胞，每個原胞內包含幾個原子，設立方邊長為a。解：這種體心立方結構中有五種不同的原子。頂角、體心上的原子是兩種不同的原子，另外，面心上的原子前后、上下、左右的原子兩兩一組，是互不相同的原子。故此種結構共有五種不同的原子，整個面心立方就是一個原胞。每個原胞中的原子數為：（個）7. 底心立方（立方頂角與上、下底心處有原子）、側心立方（立方頂角與四個側面的中心處有原子）與邊心立方（

5、立方頂角與十二條棱的中點有原子）各屬何種布拉維格子？每個原胞包含幾個原子？解：這三種結構都屬于簡立方結構，原胞包含的原子數分別為：底心立方：側心立方：邊心立方：第二章1. 由實驗測得NaCl晶體的密度為2.16g/cm3 , 它的彈性模量為2.14×1010 N/m2 ，試求NaCl晶體的每對離子內聚能。（已知馬德隆常數M=1.7476, Na和Cl的原子量分別為23和35.45）解：NaCl晶體中Na+和Cl-的最近距離為晶胞基矢長為 2， 一個晶胞中含有四對正負離子對 一個原胞（一個NaCl分子）的體積為： = NaCl晶體中的正負離子的平衡間距為： 由晶體體積彈性模量的公式：

6、，并且由于NaCl晶體為面心立方結構，參數=2，故由上式可得： = =7.82由平衡時離子晶體的內聚能公式：， 將n=7.82代入得NaCl晶體的每對離子的內聚能為： = 2. LiF晶體具有NaCl結構，已由實驗測得正負離子間的最近距離=0.2014nm(1摩爾的內聚能1012.8kJ/mol, 以孤立離子系統的內能為能量的零點)。試計算該晶體的體積彈性模量，并與它的實驗植進行比較。 解：由平衡時離子晶體的內聚能公式：，其中M=1.784 計算1mol的內聚能時，N=Na=6.02×1023 ，且=0.2014，計算得： n= = =6.33 LiF晶體具有NaCl結構，將 =2，

7、n =6.33, =0.2014代入上式得：晶體的彈性模量為: = 7.242×101 0 (N/m2)相對誤差為：3. 由氣體分子的實驗測得惰性氣體Xe的倫納德瓊斯勢參數在低溫下Xe 元素形成面心立方的晶體，試求Xe晶體的晶格常數a,每個原子的內聚能及體積彈性模量Bm。若對Xe晶體施加壓力。試在近似假定體積彈性模量不變的情況下，計算這些晶體的晶格常數a將變為多少？并求這時的內聚能將變為多少？ 解：原子間的平衡間距為 ：因結構為立方晶體，則晶格常數為：每個原子的內聚能為：體積彈性模量： =3.81×109 N/m2由體積彈性模量的定義式可知： 因為：故 P 晶格常數 內聚能

8、 第三章1.一維單原子晶格，在簡諧近似下，考慮每一原子與其余所有原子都有作用，求格波的色散關系。解：設第個原子的勢能函數為其中，為與第個原子的相距的原子間的恢復力常數，為晶格常數。則，第個原子的受力為其中，利用了。第個原子的運動方程為 令其試解為代入運動方程得故，2. 聚乙烯鏈的伸張振動，可以采用一維雙原子鏈模型來描述，原胞兩原子質量均為，但每個原子與左右的力常數分別為和，原子鏈的周期為。證明振動頻率為解：單鍵及雙鍵的長分別為和，而原子與的運動方程分別為令這兩個方程的試解為把試解代入運動方程得有非零解的條件為解得利用，方程的解為晶體中的衍射1. 試證明面心立方與體心立方互為正倒格子。方法1：面

9、心立方： （1）由正格子和倒格子的轉換關系 （2）其中：得： （3）在體心立方中 （4）由（2）式可得 （5）比較（1）與（5），（3）與（4）便可得面心立方與體心立方互為正，倒格子。方法2：由方法一中的（1）可知正格子與倒格子之間存在如下關系： 由此可得面心立方的倒格子基矢： 同理可得體心立方的倒格子基矢： 比較可得面心立方和體心立方互為正倒格子。2. 為簡單正交格子的基矢，試證明晶面族（h k l）的晶 面間距為解： 由知 可得： 再由中和的關系：可得： 得證。3. 設一二維格子的基矢,夾角a=，試畫出第一與第二布里淵區。二維倒格子基矢與正格子基矢間有如下關系： 解：令 中間矩形為第一布里

10、淵區，陰影部分為第二布里淵區。晶格振動和晶體的熱學性質1， 求一維單原子鏈的振動模式密度，若格波的色散可以忽略，其具有什么形式，比較這兩者的曲線。解: 一維單原子鏈的晶格振動的色散關系為 其中，此函數為偶函數，只考慮的情況，下式右邊乘2。區間振動模式數目為其中，故色散關系為其中，為單鏈總長，為晶格常數，因此，為原子個數。若格波沒有色散，既只有一個（愛因斯坦模型）。而且振動模式密度函數滿足下面關系故，為函數色散關系的曲線圖如下：4. 金剛石（碳原子量為12）的楊氏模量為，密度。試估算它的德拜溫度解：德拜溫度為將，代入上式5. 試用德拜模型求晶體中各聲頻支格波的零點振動能。解：在德拜模型中，縱波與

11、橫波的最大振動頻率均為，其中。縱波的零點振動能為同理，兩支橫波的零點振動能均為故，總的零點振動能為7. 和的原子量分別為23和37。氯化鈉立方晶胞邊長為，在方向可以看作是一組平行的離子鏈。離子間距。晶體的楊氏模量為，如果全放射的光頻率與的光頻模頻率相等，求對應的光波波長（實驗值為）。解：在一維雙原子鏈模型中，時，光頻模頻率為楊氏模量為故，光波波長為 金屬電子論1. 導出一維和二維自由電子氣的能態密度。解：一維情形由電子的Schrödinger方程：得自由電子波函數解：且有：由周期性邊界條件： 得：在到區間： 那么：，其中：二維情形同上，由電子的Schrödinger方程：得自由電子波函數解：，且：由周期性邊界條件：得：，在到區間：那么：其中：2. He3是費米子，液體He3在絕對零度附近的密度為0.081 gcm3。計算它的費米能EF和費米溫度TF。解：He3的數密度：其中m是單個He3粒子的質量。可得：代入數據，可以算得：EF 6.8577×1023 J = 4.28×104 eV.則：4.97 K.5. 銀是一價金屬，在T295 K時，銀的電阻率1.61×106·cm，在T20 K時，電阻