1、拋物線基礎檢測卷一、單選題1 .拋物線y = 2/的焦點坐標是（）A. i,0| B.化o C, o,-l（2 ）l4 ）8j2 .下列拋物線中，其方程形式為丁=2川（>0）的是（）試卷第4頁，總4頁3 .拋物線）3= 8x上到其焦點廠距離為5的點有（）A. 0個B. 1個4.拋物線y = 的焦點坐標是（A.（0,1）B,（0,1C. 2個C.°45.拋物線Y=8y的準線被圓/+），2-6x = 0截得的線段長為（A. 4B. 2小C. y/5D. 4個1。（聞）D. 26.拋物線1=二上的點與其焦點的距離的最小值為（）41A. 2B. 1C.167 .已知是拋物線。：）3=2

2、/»（>0）上的一點，尸是拋物線。的焦點，。為坐標原點，若IP7H=2, 4PFO = g 則拋物線C的方程為（）D. y2 =4xA. y2 = 6xB. y2 = 2xC. y2 = x8 .已知點P為拋物線C：X2=2>（>0）上一點，且點P到軸的距離比它到焦點的距離小3,則=()A. 3B. 6C. 8D. 129 .已知拋物線C V =8x的焦點為尸，。是拋物線。的準線上的一點，且夕的縱坐標為正數，。是直線尸尸與拋物線C的一個交點，若pq = 6qf ,則直線尸E的方 程為()A.工一)'-2 = 0B. x+y-2 = 0C, x-y + 2 =

3、 0D. x+y + 2 = 010 .斜率為的直線/過拋物線。：9=2/火(>0)的焦點凡 若/與圓M:(x-2)2 + y2=12 相切，貝ij= () .A. 12B. 8C. 10D. 6)22)11 .拋物線的頂點和橢圓三十二=1的中心重合，拋物線的焦點和橢圓二+t=1的25 925 9右焦點重合，則拋物線的方程為()A. y2=16x B. y2=8xC. y2 = 2xD. y2 = 6x12 .已知拋物線G .y2=2i的焦點為F,點M, N分別在拋物線。上.若赤=2可7，則點時到y軸的距離為()1 32A. B. C. D 12 53二、填空題13 .動圓經過點A(3,

4、0),且與直線/:x = 3相切，求動圓圓心M的軌跡方程是14 .拋物線產=2/»(>0)的準線截圓/十丁2),_i = o所得弦長為2,則拋物線 的焦點坐標為.15 .已知拋物線方程為)，2=x，點M在此拋物線上運動，則點A(4,0)與點M之間的距離IM41的最小值為.16 .已知點M (1, 2)在拋物線C： yJ2Px (p>0)上，則點M到拋物線C焦點的距離 是.三、解答題17 . （1）求過點尸（1,#）,。（一，/）的橢圓的標準方程.（2）求焦點在大軸負半軸上，焦點到準線的距離是5的拋物線的標準方程.18 .已知拋物線），2=4x.（1）求過點尸（0）與拋物線

5、有且只有一個公共點的直線方程；（2）過焦點尸作一條斜率為舊的直線與拋物線交于兩點M，N,求A/N的長.19 .已知拋物線V =2px（ >0）的焦點/恰好是雙曲線12/ -4y2 =3的一個焦點，。是坐標原點.（1）求拋物線的方程；（2 ）經過焦點廣作直線,與拋物線相交于45兩點，1而1=5,若市+礪=mOD， 且。在拋物線上，求實數，的值.2720.已知拋物線C： /=2川（>0）的焦點/是橢圓亍+=1的一個焦點.（1）求拋物線。的方程；（2）設P, M，N為拋物線。上的不同三點，點且PW_L/W.求證：直線 過定點.21.已知拋物線E的頂點為原點，其焦點尸(0,c)(c>

6、0)到直線，:x-y-2 = 0的距離為孚,求(1)求c的值(2)拋物線E的方程22.已知拋物線C：V=4x的焦點是尸，準線是/.(I)寫出尸的坐標和/的方程：(II)已知點P(9,6),若過尸的直線交拋物線C于不同的兩點A , B (均與。不重合), 直線P4，必分別交/于點A/, N.求證：MFLNF.試卷第3頁,總4頁參考答案1. c【解析】【分析】將拋物線方程化為標準方程，即可得出開口方向和，進而求出焦點坐標.【詳解】由y = 2/化為標準方程得開口向上，則 2 p = Q ,即 /? = »所以y = 2/的焦點坐標是（0. X. O故選：C.【點睛】本題考查焦點的求法，屬

7、于基礎題.2. A【解析】【分析】根據方程形式為y2=2x（>。），可得其圖象關于x軸對稱，且x»0,即可判斷.【詳解】 解：根據方程形式為y2=2px（p>0）,可得其圖象關于工軸對稱，且xNO, 故可得該拋物線對稱軸為大軸，開口朝右.故選:A.【點睛】本題考查了拋物線方程對應的圖像，屬于基礎題.3. C【解析】【分析】結合拋物線的定義判斷出結果.【詳解】依題意拋物線V=8x, 2 = 8,9 = 2,準線方程為工=一2,結合拋物線的定義可知：拋物線y2 = 8x上到其焦點廠距離為5的點的橫坐標為52 = 3,將戈=3代入y?=8x,得丁=24,解得y = ±

8、2#,所以拋物線y2 = 8x上到其焦點F距離為5的點有2個.故選：C【點睛】本小題主要考查拋物線的定義，屬于基礎題.4. B【解析】【分析】先把拋物線方程y =化為標準方程/= 2），從而得2 = 2, g =進而可求出其乙乙 乙焦點坐標【詳解】解：由 >得F=2y,所以2 = 2,得 =1,所以2 =， 2 2所以焦點坐標為（。，），故選：B【點睛】此題考查由拋物線的標準方程求焦點坐標，屬于基礎題5. B【解析】【分析】先由拋物線方程，得到其準線方程，再由幾何法求圓的弦長，即可得出結果.【詳解】因為拋物線/ = 8y的準線方程為y = -2 ,答案第13頁，總15頁圓V+y2-6x

9、= 0整理得(x 3+V=9,則圓心坐標為(3,0),半徑為r=3,則圓心到直線y = -2的距離為d = 2 ,因此y = -2被圓V + /-6a=0截得的弦長為2>/7=產=2" 故選：B.【點睛】本題主要考查求拋物線的準線，考查求圓的弦長，屬于基礎題型.6. B【解析】【分析】根據拋物線的定義可轉化為I夕/1= 1 +/，根據為的范圍求解即可.【詳解】由題意，丁=4工的焦點廠(L0),準線為x = 1,設拋物線上的動點,根據拋物線的定義可知，IP/1=1 + %,因為X。亡0,+8),所以 1Pq =故拋物線V =4x上的點與其焦點的距離的最小值為1.故選：B【點睛】本

10、題主要考查了拋物線的標準方程，拋物線的定義，屬于容易題.7. A【解析】【分析】IPFI=2, NPFO = 土,可求出夕點的坐標，代入拋物線方程，即可求解. 3【詳解】過P向工軸作垂線，設垂足為。,v ZPFO = - , PF 1=2, 3.IPQI=C，I。尸 1=1,尸（2一1,士遂），2將P點的坐標代入y2 = 2px,得p = 3,故C的方程為y2 = 6x.故選:A【點睛】本題考查拋物線的標準方程，屬于基礎題.8. B【解析】【分析】由拋物線的定義可知點P到焦點的距離等于它到準線的距離，可得4 = 3,從而得出答案. 2【詳解】由題得，拋物線的準線方程為y = -g,由拋物線的定

11、義可知，點。到焦點的距離等于它到準線的距離，所以點尸到工軸的距離比它到準線y =-搭的距離小3,于是得上=3,所以 =6.2故選：B【點睛】本題考查拋物線的定義的應用，屬于基礎題.9. B【解析】【分析】根據拋物線的定義求出直線的斜率得解.【詳解】過。點作于H,因為尸。=也。尸，由拋物線的定義得尸。=點QH ,答案第13頁，總15頁所以在町中，4PQH =上,4所以4所以直線尸廠的斜率為 =1,所以直線PF的方程為y-0 = (-l)(x-2),故選B.【點睛】本題關鍵在于根據拋物線的定義，將線段的關系轉化到角的關系，屬于中檔題.10. A【解析】【分析】首先根據題意直線/方程為y =根據直線

12、/與圓M : (x - 2)2 + y2 = 12相切,得到d26Tp乙2=2%再解方程即可.【詳解】拋物線C:),=2px(p>0)的焦點g,0設直線/方程為y =0(x-f，即B-y上p = 0， )2因為/與圓M:(x 2)2+ ),2= 12相切,所以圓心（2,0）到直線的距離為解得 =12。故選：A.【點睛】本題主要考查拋物線的定義，同時考查直線與圓的位置關系，屬于簡單題.11. A【解析】【分析】依題意可求得橢圓的右焦點乙（4,0）,從而可求得拋物線丁= 2px中的，繼而可得答案.【詳解】解：依題意知，橢圓的右焦點心（4,0）,設拋物線的方程為：y2=2px（p>0）,

13、則£ = 4,2 = 8.,拋物線的方程為：），2 = 16x .故選：A.【點睛】本題考查橢圓與拋物線的簡單性質，判斷拋物線的焦點位置及求參數的值是關鍵，屬于基 礎題.12. D【解析】【分析】由V=2x可得E（3,0）,設“（義_,片），N（也,為），由赤'=2而，可得$=L 222【詳解】由V = 2x可得嗎,0）,設M與，片），N（M%）， 乙乙乙答案第13頁，總15頁由礪 =2麗，可得(1一?'f)= 2吟一；,為)，所以：-5 = )'；_1且一y=2%，所以之一2£ =豈，解得城=2,所以再=%=1, 2 242所以點M到y軸的距離為1

14、.故選：D.【點睛】本題考查了拋物線的幾何性質，考查了平面向量共線的坐標表示，屬于基礎題.13. y2 = 12x【解析】試題分析：設動點M(x,y),設。w與直線/:l=一3的切點為N,則卜|MN|,即動 點M到定點A和定直線/:x = 3的距離相等，所以點M的軌跡是拋物線，且以A(3.0)為 焦點，以直線/:x = 3為準線，所以 =6,所以動圓圓心的軌跡方程為丁 = 12- 考點：拋物線的定義及其標準方程.14. (L 0)【解析】【分析】根據標準方程寫出準線方程，化圓的一般方程為標準形式，得出圓心和半徑，利用弦長公式 得到關于的方程，求得的值，進而得到焦點坐標.【詳解】拋物線/= 2p

15、xp > 0)的準線為x =一，把圓化成標準方程為 1)2=2,得圓心半徑,yJL圓心到準線的距離為所以("尸+(3)2=(應尸，即 =2,222所以焦點坐標為(1,0).【點睛】 本題考查求拋物線的標準方程中的參數問題進而求焦點坐標，涉及拋物線的準線和圓的弦長 問題，難度較易.15.巫2【解析】【分析】由于點M在拋物線V = *上運動，所以設M (機2, ?)，則“0川=一4八+ 產 ,然后 整理配方可求得結果【詳解】解：不妨設 M (/,?)( m>0 ),則_ 4)2 +J(-一g)2 + 個 2.當?2 =2時，1MAi取得最小值史22故答案為：叵2【點睛】此題考

16、查了點與拋物線的位置關系，考查兩點間的距離公式的應用，屬于基礎題16. 2【解析】【分析】將點的坐標代入拋物線方程，求出p=2,求得焦點F(l, 0),利用拋物線的定義，即可求 點M到拋物線C焦點的距離.【詳解】由點 M (1, 2)在拋物線 C： y2=2px (p>0)上，可得 4=2p, p=2,拋物線C： y2=4x,焦點坐標F (1, 0),則點M到拋物線C焦點的距離是：1+1=2,故答案為2.【點睛】本題考查拋物線的標準方程及拋物線的定義，考查計算能力，屬于基礎題.答案第14頁，總15頁17. （1） + = 1； （2） y2 =-10x. 39【解析】【分析】（1）先設橢

17、圓方程為化2+盯,2=1（7>0,”>0,7工”），根據點的坐標，列出方程組求解，即可得出結果；（2）根據拋物線的焦準距求出，再由焦點位置，即可得出拋物線方程.【詳解】（1）設所求橢圓方程為儲+）' =1（7>0,>0,7工）,因為該橢圓過點尸（1,而），C（-V2,5/3）,m + 6/1 = 1i1所以o ，解得6=；，=；， 2/7?+ 3/7 = 139 22因此所求橢圓方程為：+=1: 39（2）因為拋物線求焦點在x軸負半軸上，所以可設,，2=2px（p>0）,又焦點到準線的距離是5,即 =5,因此所求拋物線方程為丁 = - 10x .【點睛】本

18、題主要考查求橢圓的方程，以及拋物線的方程，屬于基礎題型.18. （1） x = 0, >' = 1, y = x+； （2）. 3【解析】【分析】（1）分類討論，再設出直線方程與拋物線方程聯立，即可得到結論：（2）先求出直線方程，聯立方程組，求出點M，N的坐標，根據兩點之間的距離公式即 可求出.【詳解】解：（1）由題意，斜率不存在時，直線x = 0滿足題意，斜率存在時，設方程為丁 =6+ 1,代入V=4x,可得分/+（2攵-4口 + 1 = 0,當攵=0時，y = l,滿足題意，當kwO時， = （2Z4尸一4r=0," = 1,直線方程為x ），+ l = 0,綜上，

19、直線/的方程為x = 0或y = l或x-y + l = o：（2）拋物線y2=4x的焦點坐標為（1,0）,則過焦點F作一條斜率為的直線方程為），=61），_ 1y = >/3(x-l)3 x = 3聯立L 或， L，y2 = 4x_ 2V3>-= 2>/31 _2 3'一一 r不妨令M（3,2jJ）, N二MM =，（3-？ + （2# + 號尸=y，【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力, 屬于基礎題.19. （1） y2 = 4x ； （2） m = -.3【解析】【分析】（1）求出雙曲線的一個焦點是（1,0）,從

20、而可得巴=1,求出即可.2（2）直線/的斜率一定存在，設其為鼠可得/的方程為y = k（x-1）/工0）,利用焦半徑公 式求出=±2,設。（工0，”），根據向量的坐標運算即可求解.【詳解】三_匯=1（1）雙曲線方程12/-4），2=3可化為1 T",44答案第15頁，總15頁i 3因此C,2 =- + -= 1,C = 1 ,所以雙曲線的一個焦點是(1.0), 4 4于是拋物線y2 = 2px(p > 0)的焦點為尸(1,0),則？ = 1,2 = 4,故拋物線的方程為y2 = 4x.(2)依題意,直線/的斜率一定存在，設其為七則/的方程為丁 = &。-1)(

21、工0).y2 = 4x設4(和X),5(孫，2)，44則)'i + % = 7,演 + X)=0 + 2 .KK,4因為 1481=1£41 + 1b8| =內+/+2 = 7 + 4 = 5,所以2=4,即 =±2. - 匕設。(%,比)，則由。漆+ 0互=?而31 /31 /1 2得=(玉 +X2)= _，)b = _()'l + >2)= ±， mm mm由于。在拋物線上，因此二=口,可得，="【點睛】本題考查了拋物線的標準方程、焦半徑公式，考查了基本運算能力，屬于基礎題.20. (1) y2=4x； (2)證明見解析.【解析

22、】【分析】 22(1)橢圓:+千=1的焦點為(±1,0),由題意可知§ = 1,由此即可求出拋物線的方程:(2)設直線的方程為x = D' + ，與拋物線聯立得,可得 +為=4如 ,出=一4， 再根據PM_LPN,可得麗麗=0，列出方程代入其+為=4?，力丁2=-4，化簡可 得小 一6一472 -8? + 5 = 0 ,再因式分解可得 =2m+ 5或 =2? +1,再代入方程進 行檢驗，即可求出結果.【詳解】 22（1）因為橢圓：+二=1的焦點為（±1,0）,依題意，y = l， = 2,所以 C： >'2 = 4x（2）設直線MN的方程為x

23、 町+ ，與拋物線聯立得丁一4少一4 = 0,設M（X，X）, "（,乃），則 十 % = 46，yy2 = -4，由AW_LPN,則麗麗=0，即（、T,y 2）（馬 一 1,%-2） = 0，所以（N 1）（ - 1）+（% 2）（%2）=。即（歿+ - 1）（7y2 + -1）+（X - 2）（% - 2）= 0,整理得到（m1 + 1）>'!y2 +（/?/?-/-2）（y, + %）+（- 1 f + 4 = 0 ,所以+1） + 47（?一?-2） + （" 1） + 4 = 0 ,化簡得2 -6一462 -8m+5 = 0即（九一3）2 =4（初一

24、1）2,解得 =2m+5 或 =-2m +1.當 =2? + 5時，直線MN的方程為工=少+ 2? + 5,即為x-5 = "7（y + 2）,即直線過 定點（5,2）；當 =一2"? + 1時，直線的方程為工=沖一2? + 1,即為x-l = m（y-2）,即直線過 定點（1,2）,此時與點尸重合，故應舍去，所以直線MN過定點（5,2）.【點睛】本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分答案第14頁，總15頁析解決問題的能力，屬于中檔題.21. (1) c = l (2) x2 = 4y【解析】 【分析】（1）利用點到直線的距離公式計算即可.（2）根據拋物線的焦點坐標即可得到拋物線的標準方程.【詳解】|0 c 2|3>/2,(1)由題知：d= i <，即(c + 2)2=9,解得c = 1或c = -5.#+(-1)22因為c>0,所以c = l.（2）由（1）知：拋物線的焦點為產（M）,所以拋物線的焦點在軸正半軸，且開口向上,設拋物線E的方程為V=2py , (p>0