1、學習-好資料選修4-5不等式選講考點不等式選講1. (2017?新課標 I ,23)已知函數 f (x) =-x2+ax+4, g (x) =|x+1|+|x - 1| . (10 分)當a=1時，求不等式f (x) >g(x)的解集；(2)若不等式f (x) >g(x)的解集包含-1, 1,求a的取值范圍.11. (1)解：當a=1時，f (x) = - x2+x+4,是開口向下，對稱軸為x=二的二次函數，(2r ,x>l1g (x) =|x+1|+|x - 1|= I . " fX<一1，歷T當 xC (1, +00)時，令-x2+x+4=2x,解得 x=

2、 二 ,g (x)在(1, +°°)上單調遞增,后1f (x)在(1, +8)上單調遞減，此時 f (x) >g(x)的解集為(1,2;當 xC 1, 1時，g (x) =2, f (x) >f( - 1) =2.當 xC (-8, - 1)時，g (x)單調遞減，f (x)單調遞增，且 g ( - 1) =f ( - 1) =2.綜上所述，f (x) >g(x)的解集為-1, -2 ；(2)依題意得：-x2+ax+4>在-1, 1恒成立，即x2- ax- 2W0在T, 1恒成立，則只需；P-ci-l-2<0.I0：(一 1) 一口(一1)一

3、2sl0,解得1wa&i故a的取值范圍是T,1.2. (2017?新課標n ,23)已知 a>0, b>0, a3+b3=2,證明：(I) (a+b) (a5+b5) >4(n) a+b<22.證明：(I)由柯西不等式得：(a+b) (a5+b5) >(口 ' 一 +)2= (a3+b3) 2 4當且僅當=,即a=b=1時取等號，/ TT . .3. 3 c(n ) . a +b =2,o2. ( a+b) (a - ab+b ) =2,. ( a+b) (a+b) - 3ab=2 ,. ( a+b) 3 - 3ab (a+b) =2,玄用)=ab

4、,由均值不等式可得:3(什書) =ab< (2 ) 2又共分( a+b) 3- 2< -4 ,I4 (a+b)a+b< 2,當且僅當a=b=1時等號成立.3. (2017?新課標ID ,23 )已知函數 f (x) =|x+1| - |x - 2| .(I )求不等式f (x) >1的解集；(H)若不等式f (x)*-x+m的解集非空，求 m的取值范圍.(-3 卻 - 13. (I) f (x) =|x+1| - |x -2|= 3, f (x) >1,當1WxW附，2x- 1 > 1,解得 1WxW；2當x>2時，31恒成立，故x>2;綜上，不

5、等式f (x) >1的解集為x|x >1.(n )原式等價于存在 xC R使得f (x) - x2+x)m成立，IP rrrcf (x) - W+xmax , 設 g (x) =f (x) x+x.-W+工-3K£ - 1一爐+女L l<x<2由(1)知，g (x) = i -r-+x+ 3 ,x> 2,2當X<- 1時，g (x) =- x2+x- 3,其開口向下，對稱軸方程為x=二> - 1, -g(X)<g(- 1) =- 1 - 1 - 3=- 5;當-1vxv2時，g (x) =-x2+3x- 1,其開口向下，對稱軸方程為 x

6、= - ( - 1, 2),39 95'-g (x) <g( - ) =- 4 + 21= 4 ；2當x>2時，g (x) =-x2+x+3,其開口向下，X出東軸方程為x=二<2,1. g (x) Wg(2) =-4+2=3=1;5綜上，g (x) max= 4 ,5. m的取值范圍為(-4.4. (2017?江蘇,21D)已知 a, b, c, d 為實數，且 a2+b2=4, c2+d2=16,證明 ac+bd <84 .證明：a2+b2=4, c2+d2=16,令 a=2cosa, b=2sin a c=4cos 8 d=4sin 3ac+bd=8 ( c

7、os a cos 3+sin a Sin= 8cos (a 3) && 當且僅當 cos ( a- 3) =1 時取等號. 因止匕ac+bdw &5.(2016 全國 I , 24)已知函數 f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)在圖中畫出y=f(x)的圖象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集.rx 4, x< 1 ,L “35 .解f(x)=3x 2，1<x 2' y=f(x)的圖象如圖所示.3 -x+4, x>2,(2)當 f(x)=1 時，可得 x= 1 或 x=3;更多精品文檔學習-好資料1當f(x)= 1時，可得x =-或

8、x=5, 3故 f(x)>1 的解集為x1<x<3 ; f(x)< - 1 的解集為或X>5)所以|f(x)|>1的解集為F)x<§或1<x<3或x>5 )6 .(2016 全國 ID , 24)已知函數 f(x)= |2x-a|+a.(1)當a = 2時，求不等式f(x) & 6的解集；(2)設函數g(x) = |2x1|.當xC R時，f(x)+g(x)>3,求a的取值范圍.6.解 (1)當 a=2 時，f(x)= |2x2|+2.解不等式 |2x2| + 206 得一1WxW3.因此f(x)&6的

9、解集為x|1&X&3.(2)當 x R 時，f(x) + g(x) = |2x- a|+ a+ |1 - 2x|> |2x- a+ 1 - 2x|+ a= |1 - a|+ a,所以當 xCR 時，f(x) + g(x)>3 等價于 |1 a|+a>3.當aw 1時，等價于1 a + a3,無解.當a>1時，等價于a-1 + a>3,解得a>2.所以a的取值范圍是2, +8).117.(2016全國n , 24)已知函數f(x)= x- + x + , M為不等式f(x)<2的解集.求M;(2)證明：當 a, bCM 時,|a+b|&l

10、t;|1 + ab|.c一 12 2x, x< - '2'117.(1)解 f(x)= 1 1, - 2<x<2,1L 2x, x>2.11當 xw2 時，由 f(x)<2 得一2x<2,解得 x>1,所以,-1<xW -2；- 1 L. 一當-2<x<2時，f(x)<2;1 1當 x>；時，由 f(x)<2 得 2x<2,解得 x<1 ,所以，-2<x<1.所以 f(x)<2 的解集 M = x|1<x<1.(2)證明 由(1)知，當 a,bCM 時,-1&

11、lt;a<1,-1<b<1,從而(a+b)2-(1 + ab)2= a2+b2-a2b2-1 = (a2-1)(1-b2)<0,即(a+b)2<(1+ab)2,因此 |a+b|<|1 +ab|.8.(2015重慶，16)若函數f(x) = |x+1|+2|xa|的最小值為 5,則實數a =.8.4或一6 由絕對值的性質知f(x)的最小值在x=-1或x=a時取得，若f(-1)=2|1-a|=5,a3 ,、7=2'或a= 5，經檢驗均不合適；右f(a)=5,則|x+1|=5, a = 4或a= 6,經檢驗合題息，因此a= 4或a= 6.9.(2015陜西

12、,24)已知關于x的不等式|x+ a|vb的解集為x|2<x< 4.(1)求實數a, b的值；(2)求"at + 12 +4瓦的最大值._b_ a=2)9 .解(1)由|x+a|v b,得一bavxvba,則“解得 a=3, b = 1.b-a=4,(2)/-3t+12 +#= V3山二 + Vt< 叱(V3) 2+12 (V4t) 2+ (#)<=2/4 t+t = 4,當且僅當省口=,3即t=1時等號成立，故(四3t+12 + <t)max=4.10 .(2015 新課標全國 I,24)已知函數 f(x)= |x+ 1|-2|x- a|, a>

13、0.(1)當a=1時，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.11 .解 當 a=1 時，f(x)>1 化為 |x+1| 2|x1|1>0.當xw 1時，不等式化為 x-4>0,無解；2當一1<x<1時，不等式化為 3x-2>0,解得2Vx<1 ； 3當x>1時，不等式化為x+2>0,解得1Wx<2.所以f(x)>1的解集為僅2Vx<2 tL 31 -2a, x< 1,(2)由題設可得，f(x) = 3x + 1 2a, 1 w x w a,x+1 + 2

14、a, x>a.所以函數f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為A【2am，0 ：B(2a+1,0),C(a,a+1), ABC的面積為3(a+1)2.由題設得|(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范圍為(2, +°o ).11.(2015新課標全國n,24)設a、b、c、d均為正數，且 a+b=c+d,證明:若ab>cd,則0+亞>證+ 4d;(2p/a+ Vb>Vc+ 也是|ab|v|c d|的充要條件.11.證明(1)因為(3 + Vb)2=a+b+2啊，(Vc+Vd)2=c+d+2Vcd, 由題設 a + b=c+d, ab>

15、;cd 得(qa+qb)2>(W+qd)2 因此5 + 例>m+,. (2)若 |ab|v|cd|,則(a b)2(c d)2,即(a+b)2 4abv (c+d)24cd.因為a+b= c+d,所以ab>cd.由(1)得平+事>平+ yfd.若 ja + b > jc + d,則(ya + Tb) 2> ("6+d) 2,即 a+ b + 2Jab > c+ d + 2-cd. 因為 a+b= c+d,所以 ab> cd,于是(ab)2= (a+b)24abv (c+d)24cd= (c d)2.因此 |a一b|v |c d|綜上，i

16、ja+b>c+ d是|ab|v |cd|的充要條件.12.（2014廣東，9）不等式|x- 1|+ |x+2|>5的解集為 x> 1,121鄧"3或42原不等式等價于'»1）+（x+2） >5-2<x<1,x< -2,或j或j(x1) + (x+2) > 5 ( x 1) ( x+ 2) > 5,解得x>2或x< 3.故原不等式的解集為x|xw - 3或x>2.51 |13.(2014湖南，13)若關于x的不等式|ax-2|<3的解集為ix|-<x<- 1則a=.13.-3 依

17、題意，知 aw0.|ax2|<3? -3<ax-2<3? -1<ax<5,當 a>0 時，不等式的解集信，,1 5- a 3'、”.為1, 5 ；,從而有此方程組無解.a a15-J=-5,a 3戶=_5當a<0時，不等式的解集為 島-a ；'a 3' .,從而有 <解得a=- 3.a 3更多精品文檔學習-好資料14.(2014重慶，16)若不等式|2x 1|+ |x+2|>a2+|a+2對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍是.一 .1 1.一，一5 - 一 o 15114. 1, 2 令 f(x)= |2x-1|

18、+|x+2|,勿求得 f(x)min = -,依題國得 a +2a+2W3? -1 < a<2.15.(2014 新課標全國 n,24)設函數 f(x) = |x+J|+|xa|(a>0).a證明：f(x)>2;(2)若f(3)<5,求a的取值范圍15.(1)證明 由 a>0,有 f(x)= |x+1|+ |x-a|>|x+ 1一(xa)| = 1+a>2.所以 f(x)>2. aaa(2)解由 f(3)<5 得 3<a<f(3)=|3+)+|3 a|.當 a>3 時，f(3)=a + 1, aa當 0<aW3 時，f(3) = 6-a + 1,由 f(3)<5