1、高等數學（本科少學時類型）第一章函數與極限第一節函數O函數基礎（高中函數部分相關知識） （）。鄰域（去心鄰域）（）第二節數列的極限。數列極限的證明（）【題型示例】已知數列W ,證明!吧代卜"【證明示例】E-N語言1 .山|怎一< £化簡得,g（£）,N=g（£）2 .即對 Ve>0, mN = g（g）,當 ”N 時，始終有不等式|玉-|<£成立，/. lim x = aXf 8第三節函數的極限Ox-4時函數極限的證明（）【題型示例】已知函數/（A）,證明 lim f（x）= A【證明示例】£-6語言1 .由 |/（

2、A-）-A|<£-化簡得O<X-X<S（£），J 5 = g（£）2 .即對 Ve>0 ,m（5 = g（£）,當0<卜一小|<6時，始終有不等式- A|ve 成立，lim f（x）= A XT.”OX78時函數極限的證明（）【題型示例】已知函數/（X）,證明lim f（x） = Ax->x【證明示例】£-X語言i.由 |/(x)-<£ 化簡得 N>g(&),X =g(e)2.即對 V£>0, 3X = g(s),當忖,X 時, 始終有不等式成立，/. li

3、m f(x)= AX->X第四節無窮小與無究大O無窮小與無窮大的本質()函數/(A)無窮小O lim f(x) = O函數/(a)無窮大O lim f(x)=oo。無窮小與無窮大的相關定理與推論 ()(定理三)假設/(X)為有界函數，gW 為無窮小，則 lim(X) g (x)=。(定理四)在自變量的某個變化過程 中，若為無窮大，貝IJ /7(力為 無窮??；反之，若力為無窮小， 且/(£)工0,則廣Q)為無窮大【題型示例】計算：1叩(力氣(力(或x-> X )L 1/ (x)| < /，函數0x)|在x =%的任一去心鄰域6(如。)內是有界的；(|/(x)|WM,函

4、數|“可|在xe。上有界；)2 . lim g(x) = 0 即函數 g(x)是 x -> a-0時的 WX0無窮小；(lim g(x) = 0即函數g(x)是人一> 8時的 X>»無窮??；)3 .由定理可知limf (x)g(x) = 0(也/(x)g(x) =。)第五節極限運算法則O極限的四則運算法則()(定理一)加減法則(定理二)乘除法則關于多項式p（x）、4（x）商式的極限運算P W =g/ + J + + am l乂 ： <q（x） = boxn + btxn1 + . + bnsn < m則 lim，!'? = > - n =

5、mE q（x） 優 0n > m（特別地，當lim 3 = 9 （不定型）f g（x） 0時，通常分子分母約去公因式即約去可去間斷點便可求解出極限值，也可以用羅比達法則求解）【題型示例】求值lim 13 廠 一9【求解示例】解：因為x f 3,從而可得-3, 所 以 原 式x-3x-31 I=Inn = lim - = lim=-13廠_9 z3（x + 3）（x_3） 13工 + 3 （其中x = 3為函數工）=三；的可去間-X 9斷點二節）：能 r x-3 1（f 11解：lim = lim-= lim=-13 d - 9 人川（_ 9）' T 2x 6O連續函數穿越定理（復

6、合函數的極限 求解）（）（定理五）若函數/（五）是定義域上的 連續函數，那么， 粵/夕3 = /由y（x）【題型示例】求值：lim;二第六節極限存在準則及兩個重要極限。夾迫準則（P53） （）第一個重要極限：lim皿=1丁 Vx e I 0, , sinx<x< tanx 工倘若運用羅比達法則求解（詳見第三章第 2sinx .lim= 1x（特別地，lim Sin（ V-Ao）= 1 ）。單調有界收斂準則（P57） （）第二個重要極限：Iinjl + U'=e（一 般 地， lim/（4T）=lim/（x）r,其中 lim/（x）>0）/ o a v+, 【題型示例】

7、求值：lim仝二 2X+ ）【求解示例】第七節無窮小量的階（無窮小的比較）。等價無窮小（）1 .U - sin（7 - tanU arcsinU - arctanU ln（l + U） （T）2 . 1u21-cosU2（乘除可替，加減不行）【題型示例】求值：11nMi+、）+xin（i+.一° r +3x【求解示例】第八節函數的連續性。函數連續的定義（）。間斷點的分類（P67） （）第一類間斷點（左右榔艮存在乂跳越間斷點（不等）可去間斷點（相等）第二類間斷編二裝甑q f ”、無窮間斷點（極限為0）（特別地，可去間斷點能在分式中約去相應公因式）r < 0【題型示例】設函數/（x

8、）=， 應a + x x>0該怎樣選擇數”，使得成為在R上的連續函數【求解示例】/(0-)=產=J =eL 7<y(o+)=</+o+ = t/由連續函數定義八0)="lim f(x)= lim /(x)=/(0)=o-A->0第九節閉區間上連續函數的性質。零點定理()【題型示例】證明：方程f(x) = g(x)+C至 少有一個根介于與匕之間【證明示例】1 .(建立輔助函數)函數 (px) = fx)-g(x)-C 在 閉區間 上連續；2 . V (6/) (/?) <0 (端點異號)3 .，由零點定理，在開區間(“小)內至少 有一點g ,使得夕仁)=。

9、，即 /©-g(>)-c=0(0<<<1)4 .這等式說明方程f(x) = g(x) + C在開 區間(凡與內至少有一個根自第一節導數概念O高等數學中導數的定義及兒何意義(P83) ()X . 1【題型示例】已知函數/(x)=，ax + bx < 0在x = 0處可導，求，bx>0【求解示例】.(£(0) = °。=產1+。+ 1=2, (/；(0)= «，)(。»/(0) = e° + l = 22 . 由函數可導定義N(0)=£(0)=“ = i,/(0-) = /(0+) = /(0

10、) = /9 = 2: a = ,b = 2【題型示例】求,，=在X處的切線與法線方程(或：過y = /(x)圖像上點",/()處的切線與法線方程)l y' = /'（x），y'ij=/'（"）2.切線方程：=法線方程：）,_/（a）= _1（x-a）第二節函數的和（差）、積與商的求導法則O函數和（差）、積與商的求導法則（ ）1 .線性組合（定理一）：（an ± pv）' = an1 + pv'特別地，當a = p = 時，有（M ± V）* = ltr± VZ2 .函數積的求導法則（定理二）：（

11、v）' = ，+ /3 .函數商的求導法則（定理三）：第三節反函數和復合函數的求導法則【題型示例】求函數/-（、）的導數【求解示例】山題可得/（x）為直接函數，其 在定于域。上單調、可導，且廣（力,0;，"）。復合函數的求導法則（）【題型示例】設y = ln（*wng + JE）,求【求解示例】第四節高階導數o*（x） = K）'（ 或2曰）（）dxn |_加”川_【題型示例】求函數y = ln（l + x）的階導數【求解示例】y = =（i + a-）-1,。反函數的求導法則（）y" = （l + x） =（l）.（l + x 尸,2 . XV (O)=

12、/(O)sinO = O即 0(0) = 9(乃)=03 .，由羅爾定理知亞40,乃)，使 得f ()cos< + 廣 sin4 = 0 成立O拉格朗日中值定理()【題型示例】證明不等式：當時，ex > ex【證明示例】1 .(建立輔助函數)令函數/(力=-， 則對Vx>l,顯然函數/(x)在閉區間 1,同上連續，在開區間(1,力上可導, 并且 = ;2 .由拉格朗日中值定理可得,毛41,司 使得等式/ 一 J = (x-l) J成立，又 凈,ex -e >(x-1)/ =e-xe ,化簡得/即證得：當x>l時., ex >e x【題型示例】證明不等式：當x

13、>0時， ln(l + x)<x【證明示例】1 .(建立輔助函數)令函數 /(x) = ln(l + x),則對 Vx>0,函數 /(X)在閉區間0,x上連續，在開區間 (0,町上可導,并且廣(力=占；2 .由拉格朗日中值定理可得，3e0,A- 使 得 等 式 ln(l + x)-ln(l + 0) = pJ-(x-0)成立，化簡得ln(l + x) = -Lx ,又 e0,x», 廣團號<1, Jln(l + x)< lx = x,即證得：當X>1時，第二節羅比達法則(一般地，lin產。(lnx)' =0 ,其中 a.p e /?)2.判

14、斷極限不定型的所屬類型及是否 滿足運用羅比達法則的三個前提條 件A.屬于兩大基本不定型（2：） 0 6且滿足條件， 則進行運算： r /W . /"）lim 7 = lim fg（x） fg'（x）（再進行1、2步驟，反復直到結果 得出）B. 不屬于兩大基本不定型（轉化 為基本不定型）型（轉乘為除，構造分式）【題型示例】求值：limxtf lnx.D【求解示例】【求解示例】0f0f儲（x-sinx） v 1-cosx（1-cosx）. sinx 八=hm = hm= hm = lim= 0"t （djf 2x n （2x），i 2（3）0。型（對數求極限法）【題型示

15、例】求值：lim/【求解示例】解：設y = r兩邊取對數得：lny = lnx* =xInA- = -!-Xx/對對數取a->01時的極限：lim（In v） = lim華=lim f I11 U x-M> z :；（7）_=lim= "limjc = 0, 從而有limy = limelnv =e° = 1101 .DITO.XT（4）廣型（對數求極限法）【題型示例】求值：lim（cos x + sin x）：【求解示例】8。型（對數求極限法）O運用羅比達法則進行極限運算的基本步驟（）1. *等價無窮小的替換（以簡化運算）8-8型（通分構造分式，觀察分母）【題

16、型示例】求值：出4一-xT01sinx x）（I lanx - X）【求解示例】O運用羅比達法則進行極限運算的基 本思路（）通分獲得分式（通常伴有等價無窮小的替換）取倒數獲得分式（將乘積形式轉化為分式 形式）取對數獲得乘積式（通過對數運算將指數提前）第三節泰勒中值定理（不作要求）第四節函數的單調性和曲線的凹凸性。連續函數單調性（單調區間）（）【題型示例】試確定函數f （x） = 2/ _ 9/ + I2x - 3 的單調區間【求解示例】1 . 函數/(可在其定義域R上連續，且可導f,(x) = 6x2 18x+122 .令(x) = 6(xl)(x2) = 0,解得：X = 1,= 23.(三

17、行表)極大值極小值4 .函數/（x）的單調遞增區間為單調遞減區間為（1,2）【題型示例】證明：當x>0時，ex>x + 【證明示例】1 .(構建輔助函數)設o(x)=/xl, (x>0)2 .=( x>0 )夕(力>夕(0)= 03 .既證：當 x>0時，ex>x + 【題型示例】證明：當x>0時，ln(l+x)<x【證明示例】1.(構建輔助函數)設0(x) = ln(l+x)-x, (x>0)y = -3x d(x) = ! 1 <0 , ( x>0 )1 + x:.°(x)<9(0)= 0 +6x =

18、-3x(x-2) yff = -6x + 6 = -6(x-l)/ = -3x(x-2)= 0u"。解得:3 .(四行表)4 .函數丫 = 1 + 3/-/單調遞增區間為 (0,1) , (1,2)單調遞增區間為 (-oo,0), (2,+oo)；函數y = + 3x2-x3.既證：當x>0時，ln(l + x)<x。連續函數凹凸性()題型示例】試討論函數y = 1 + 3/ -d的單 調性、極值、凹凸性及拐點的極小值在 x = 0時取到，為/(0) = 1,【證明示例】極大值在x = 2時取到，為"2) = 5；(3)函數)，=1+3/73在區間(-00,0)

19、 , (0,1)上凹，在區間(1,2), (2,)上凸；函數y = l + 3x2-%3的拐點坐標為(第五節函數的極值和最大、最小值。函數的極值與最值的關系()設函數“力的定義域為0,如果 天”的某個鄰域U(4)u。，使得對VxeU(x”)，都適合不等式我們則稱函數/(X)在點 如./(均)處有極大值/(%);令8/ XA/h XM2> XM3XMn 則函數力在閉區間心山上的最M =11乂次)，%|,%2，%3，/加，/(0) *設函數“X)的定義域為。，如果天,”的某個鄰域U(/)uO,使得對VA-e(/(xw),都適合不等式“X)>/'(%)，我們則稱函數/(X)在點%

20、/(%)處有極小值/(.%);令/e%，/2，/3，“，j則函數 X)在閉區間上的最小值?滿足：/ = min / (a)，蒼川，42，七”3,，加，f(b) 9【題型示例】求函數同=3工-丁在41,3上的最值【求解示例】1 .函數x)在其定義域卜1,3上連續，且可導大值"滿足:f,(x) = -3x1 +32 .令尸(力=_3(1)(1+1) = 0,解得：x1 =-l,x2 = 13 .(三行表)極小值極大值4. XV /(-l) = -2,/(l) = 2,/(3)= -18/«=/（0 = 2，/（=/（3）= -18第六節函數圖形的描繪（不作要求）第七節曲率（不作

21、要求）第八節方程的近似解（不作要求）第四章不定積分第一節不定積分的概念與性質。原函數與不定積分的概念（）原函數的概念：假設在定義區間/上，可導函數 爪X）的導函數為k（x）,即當自變量 時，有 r（x） = /（x）或 dF（x） = / （x） 八成立，則稱F（x）為 “X）的一個原函數原函數存在定理：（）如果函數“X）在定義區間/上連 續，則在/上必存在可導函數尸"）使 得9（x） = /（x）,也就是說：連續函數 一定存在原函數（可導必連續）不定積分的概念（）在定義區間/上，函數“X）的帶 有任意常數項C的原函數稱為/（“在 定義區間/上的不定積分，即表示為： J/（a-Xv=

22、F（a） + C（稱為積分號，“X）稱為被積函數,對于一次根式（"O,beH）：/（x）公稱為積分表達式，x則稱為積分變量）?；痉e分表（）O不定積分的線性性質（分項積分公式）（）y/ax + h ： 令，=yjax + b , 于是r-ba則原式可化為，對于根號下平方和的形式（。>0）：第二節換元積分法yja2 +x2 ：令x = atanZ (),22O第一類換元法（湊微分）（）（4v=ra）wx的逆向應用）【題型示例】求一/xJ CT +k【求解示例】于是=arctan上，則原式可化為asec/； a對于根號下平方差的形式（a>0）：a. 4cr -x2 ：令x =

23、 asin/ （ <t< ）,22x于是r = arcsin-,則原式可化為acos/；于是f = arccos,則原式可化為atan/; x【求解示例】。第二類換元法（去根式）（）【題型示例】求一次根式）（dy = /'（X）,的正向應用）【求解示例】解小 , dx .產f , = /+c = "J 757+1 T* b ）山Ndl【題型示例】求J7777公（三角換元）【求解示例】第三節分部積分法o分部積分法（）設函數“ =/（力，y = g（x）具有連續 導數，則其分部積分公式可表示為: J udv = uv - j vdu分部積分法函數排序次序：“反、對、

24、塞、三、指”O運用分部積分法計算不定積分的基 本步驟：遵照分部積分法函數排序次序對被 積函數排序；就近湊微分：（火公=小）使用分部積分公式： j udv = mv - j vdu展開尾項J Mu =八udx ,判斷+ 1+C a.若卜"公是容易求解的不定積 分，則直接計算出答案（容易表 示使用基本積分表、換元法與有 理函數積分可以輕易求解出結 果）:b.若JufNx依舊是相當復雜，無法 通過a中方法求解的不定積分， 則重復、（3）,直至出現容易求 解的不定積分；若重復過程中出 現循環，則聯立方程求解，但是 最后要注意添上常數C【題型示例】求公【求解示例】題型示例】求J sin xdx

25、【求解示例】J ex - sin xdx = ex （sin x - cos x） + C2第四節有理函數的不定積分。有理函數()設P (%) p (x) = aoxm + qf+ + amQ(x) 9(x) = %x" +幻""+. + bn一般地：nix + ri = m x + 2,則參數 in )nin則參數p = -,q = a a對于有理函數3 。當P（x）的次數小于。（X）的次數時.，有理函數3U是 。3真分式；當P（x）的次數大于Q（x）的次數時，有理函數P(x) Q(x)是假分式則設有理函數理2的分拆和式為:。3其中參數 4,A2,： AiJM由

26、待定系數法（比較法）求出。有理函數（真分式）不定積分的求解 思路（）將有理函數 1 的分母Q（x）分拆成兩個沒有公因式的多項式的乘 積：其中一個多項式可以表示為一 次因式（X-而另一個多項式可 以表示為二次質因式（丁 +川+4'，（I）2 -4ty <0 ）；得到分拆式后分項積分即可求解【題型示例】求f二及（構造法）J X + 1【求解示例】第五節積分表的使用（不作要求）第五章定積分極其應用第一節定積分的概念與性質即：Q(x) = 0(x)Q(x)O定積分的定義（）（/（x）稱為被積函數，/（工）公稱為被 積表達式，X則稱為積分變量，。稱為 積分下限，b稱為積分上限，四田稱 為積分區間）O定積分的性質（） J： f（x