1、精選優質文檔-傾情為你奉上 數列求通項與求和常用方法歸納1、 知能要點1、求通項公式的方法： (1)觀察法：找項與項數的關系，然后猜想檢驗，即得通項公式an；(2)利用前n項和與通項的關系an(3)公式法：利用等差(比)數列求通項公式； (4)累加法：如an1anf(n)， 累積法，如f(n)；(5)轉化法：an1AanB(A0，且A1)2、求和常用的方法：(1)公式法： (2)裂項求和：將數列的通項分成兩個式子的代數差，即，然后累加時抵消中間的許多項. 應掌握以下常見的裂項： (3)錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法(這也是等比

2、數列前n項和公式的推導方法) .(4)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性，則常可考慮選用倒序相加法，發揮其共性的作用求和(這是等差數列前n項和公式的推導方法) .(5)分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和.二、知能運用典型例題考點1：求數列的通項題型1 解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。【例1】已知數列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，題型2 解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。【例2】已知數列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之

3、，即 又， 題型3 (其中p，q均為常數，且)。解法(待定系數法)：轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。【例3】已知數列中，求。解：設遞推公式可以轉化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數列，則,所以.題型4 (其中p，q均為常數，且)。 (或,其中p，q, r均為常數)。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數列(其中)，得：再待定系數法解決。【例4】已知數列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以題型5 遞推公式為與的關系式。(或)解法：這種類型一般利用與消去 或與消去進行求解。【例5】已知數列前n項和. (1)求與的關系；

4、(2)求通項公式.解：(1)由得：于是所以. (2)應用題型4(，其中p，q均為常數，且)的方法，上式兩邊同乘以得： 由.于是數列是以2為首項，2為公差的等差數列，所以題型6 解法：這種類型一般是等式兩邊取對數后轉化為，再利用待定系數法求解。【例6】已知數列中，求數列的通項公式。解：由兩邊取對數得，令，則，再利用待定系數法解得：。考點2：數列求和題型1 公式法【例7】已知是公差為3的等差數列，數列滿足 (1)求的通項公式； (2)求的前項和.解：(1)依題a1b2+b2=b1，b1=1，b2=，解得a1=2 2分通項公式為 an=2+3(n-1)=3n-1 6分(2)由()知3nbn+1=nb

5、n，bn+1=bn，所以bn是公比為的等比數列 9分所以bn的前n項和Sn= 12分題型2 裂項求和【例8】為數列的前項和.已知0，. (1)求的通項公式； (2)設 ,求數列的前項和.解析：(1)=； (2)由(1)知，=， 所以數列前n項和為= =.題型3 錯位相減求和【例9】已知數列和滿足， .(1)求與；(2)記數列的前n項和為，求.解析：(1)由，得.當時，故.當時，整理得，所以.(2)由(1)知，所以所以所以.題型4 分組求和【例10】已知an是等差數列，滿足a13，a412，數列bn滿足b14，b420，且bnan為等比數列 (1)求數列an和bn的通項公式； (2)求數列bn的

6、前n項和解：(1)設等差數列an的公差為d，由題意得d3.所以ana1(n1)d3n(n1，2，)設等比數列bnan的公比為q，由題意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.從而bn3n2n1(n1，2，)(2)由(1)知bn3n2n1(n1，2，)數列3n的前n項和為n(n1)，數列2n1的前n項和為1×2n1，所以，數列bn的前n項和為n(n1)2n1.三、知能運用訓練題1、(1)已知數列中，求數列的通項公式； (2)已知為數列的前項和，求數列的通項公式.【解】(1)， (2)，當時， . 2、已知數列中，求數列的通項公式.【解】， 是以為公比的等比數列，其首項

7、為 3、已知數列中，求數列的通項公式.【解】，令則 ， 4、已知為數列的前項和， ，求數列的通項公式.【解析】當時， 當時，. 是以為公比的等比數列，其首項為， 5、已知數列中，求數列的通項公式.【解析】，令 數列是等差數列， .6、已知數列中，求數列的通項公式.【解】由 得 又，所以數列是以1為首項，公比為的等比數列， 7、已知數列是首項為正數的等差數列，數列的前項和為. (1)求數列的通項公式； (2)設，求數列的前項和. 【解析】（1）設數列的公差為，令得，所以.令得，所以. 解得， 所以（2）由（I）知所以所以兩式相減，得 所以8、已知數列an的前n項和Sn，nN*.(1)求數列an的

8、通項公式；(2)設bn(1)nan，求數列bn的前2n項和解：(1)當n1時，a1S11；當n2時，anSnSn1n.故數列an的通項公式為ann.(2)由(1)知，bn2n(1)nn.記數列bn的前2n項和為T2n，則T2n(212222n)(12342n)記A212222n，B12342n，則A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故數列bn的前2n項和T2nAB22n1n2.9、已知數列的前n項和Sn=3n2+8n，是等差數列，且 (1)求數列的通項公式； (2)令求數列的前n項和Tn.解析：（1）由題意知當時，當時，所以. 設數列的公差為，由，即，可解得， 所以.（2）由（）

9、知，又，得，兩式作差，得 所以10、等比數列的各項均為正數，且 (1)求數列的通項公式； (2)設 求數列的前n項和.解析：（1）設數列an的公比為q，由得所以。由條件可知a>0,故。由得，所以。故數列an的通項式為an=。（2 ）故 所以數列的前n項和為11、在公差為d的等差數列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比數列 (1)求d，an； (2)若d<0，求|a1|a2|a3|an|.解：(1)由題意得，a1·5a3(2a22)2，由a110，an為公差為d的等差數列得，d23d40， 解得d1或d4. 所以ann11(nN*)或an4n6(nN*)(2)設數列an的前n項和為Sn. 因為d<0，由(1)得d1，ann11， 所以當n11時，|a1|a2|a3|an|Snn2n；