1、導數幾何意義與函數性質【題型】一.導數的定義二.導數的幾何意義三.導數幾何意義與參數四.曲線上動點到直線距離的最值問題五.公切線問題六.導數幾何意義與函數性質綜合七.兩條曲線上動點距離最值八.導數幾何意義綜合【方法規律總結】一.導數的定義例1已知直線l經過 1,0 , 0,1兩點，且與曲線y f x切于點A 2,3 ,則 加 匚2一x一U-的 x 0x值為（）A.2B.1C. 1D. 2【解析】Q直線l經過 1,0 , 0,1兩點，l : y x 1.直線與曲線y f x切于點A 2,3 ,可得曲線在x 2處的導數為：f,2）=1,f 2 x f 2所以f 2 lim 1 .故選：C.x 01

2、 ,則曲線y f x上的點1, f 1處的D. 2. f 1 f 1 2 x練習1.設f x存在導函數且滿足lim x 02 x切線的斜率為（）A. -1B. -2C. 1x在點1, f 1處的切線的斜率為 f' 1f 1 lim x 01 2 x 1，故選A.練習2.已知函數f(x)在x x0處可導，若lim f(x0 3 x)一31 1,則f (x0) x 0x1A. 1B.-3C. 3D. 0fx03x f x0f x0 3 x f x03f' x0解析由已知可得lim -0 3 lim 0x 0xx 03 x1.所以f x0.故選B.3二.導數的幾何意義例2.曲線y1A

3、 .12e【答案】Da 一xe在點1, e處的切線與直線 ax + by+c = 0垂直，則一的值為（ b2B. 一 e2 c.一 e1D.2e【解析】曲線y xex,則 y ex xex，則 y x 1 2e.曲線在點1,e處的切線與直線 ax+by+c = 0垂直,a 1 . , b 2ea 1 一 一. b 2e故選：D.2練習1.己知曲線y x 2x 2在點M處的切線與x軸平行，則點M的坐標是（A. 1,3B,1, 3C,2, 3D,2,3【答案】B【解析】y x2 2x 2的導數為y 2x 2,設M m,n ,則在點M的切線斜率為2m 2,由于在點M處的切線與x軸平行，則2m 2 0

4、,解得m 1,所以n 1 2 23,即有M 1, 31練習2.如果曲線yx4 x在點P處的切線垂直于直線y x,那么點P的坐標為（）3A. (1,0)B.(0,1)C. (0,1)D. ( 1,0)【解析】設點P(a,b),則 b由題得f （x）因為曲線y1x在點P處的切線垂直于直線 y -x, 3所以4a3 13,所以a=1.所以b=1410,所以點P的坐標為（1,0）.練習3.已知曲線f (x) 1 x3 1x2325在點（1,f（1）處的切線的傾斜角為，則cos 2sin 2B.【解析】因為f(x)351 2 x2C.D.則切線的斜率tan2;又因為一cos22sin 2 cos2 co

5、s2sin cos.2sin2 costan22tan 14 1三.導數幾何意義與參數例3.函數f3ln xx2 bx0,aR的圖像在點b, fb 處的切線斜率的最小值是由題則函數B.2.3C.D. 272所以練習1.A. 22x b2x2bx 3的圖像在點b, f b32出，當且僅當bb的最小值為2,.3，即 kmin直線y kx由題意，直線則點（1,4）滿足直線y處的切線斜率為k f b_ 22_2bb 3 bb2與曲線yB. - 13一，即bb3x 2axy kx 2與曲線ykx 2，代入可得4b相切于點（1,4）,則4a b的值為C. 1D. 2x3 2ax b相切于點(1,4),3

6、2 一又由曲線f xx 2ax b,則f x 3x 2a,213所以f 13 122a 2,解得a 萬，即f xx3 x b,3把點(1,4)代入f x x x b,可得4 13 1 b,解答b 4,1 一 一所以4ab 4(-)4 2 ,故選A.2練習2.函數f (x)ln x ax在x 2處的切線與直線 ax y 10平行，則實數a1A.1B.-41【斛析】Q f (x) - a ,x2j 1f (2) a a a21一.故選：B.4D. 1練習3.已知函數f(x)2x xlnx,x 02 3，若方程f(x)x2 -x,x 02kx 1有四個不相等的實根，則實數k的取值范圍是(A .(1,

7、1)31B. (3,2)1 4、C- (2,5)2x xln x, x 0【解析】作出f(x)2 3的圖象如圖所示,x x, x 02f x的圖象與直線y kx 1有四個交點,方程f(x) kx 1有四個不相等的實根，等價于函數其臨界位置為y kx 1和兩段曲線相切時,23當直線y kx 1與函數f x x2 ?x相切時，聯立 y x 2x得2x22k 3 x 2 0,2y kx 1m 2，1 一 7由V 4k 12k 7 0,解得k 或k (由圖可得舍負)22當直線y kx 1與函數f x 2x xln x相切時,設切點坐標為 Xo,2Xo Xo lnx0 , f x 1 lnx,切線的斜率

8、為：k 1 ln x0 ,切線方程為 y 2xo Xolnxo11nx0 x Xo ,由于切線y kX 1恒過0,1 ,代入可得Xo 1,可得：k 1,1即由圖知函數f x的圖象與直線y kx 1有四個交點時，實數 k的取值范圍是-k 1 ,故選：d.練習4.已知函數f（x）1,x2x,xA. 0.2B. 1, 20,右f(x) -mx>Q則頭數m的取值范圍是（C. ln3, 2D. ln2, 2【解析】如圖所示：畫出函數 f x的圖像.當 x 0時，f ' x 2x 2,故 f'02；當x 0時，f '四.曲線上動點到直線距離的最值問題x1 lnL 故22ln2

9、；根據圖像知:m ln2,2 .例4.設曲線f x 4ln x在點1,0處的切線上有一動點P ,曲線g x3x2 2ln x.上有一點Q ,則線段PQ長度的最小值為（17 A.17B.C.Q f 10, f4x y4 0 .又 g x17切線斜率6xx2人八一，令 6x x在1,3處的切線方程為4x y3.1717D.4x1717f x在1,0處的切線方程為4,（舍去）.又g 13,故g (x)1 0 ,與直線4x0平行,這兩條平行線間的距離為d23.1717練習1.已知點P在曲線y 2xX11 lnx上，點Q在直線y 3x 2上，則|PQ|的最小值為()B. 1C同C10A.叵13【解析】函

10、數y 2x2 ln x的定義域為(0,),y4x人.11 .令4x - 3,可得x 1, x -(舍去)X4所以切點為(1,2),它到直線y 3x 2的距離|32 2| _J0即點P到直線y,10103x 2的距離的最小值為 邈則|PQ|的最小值為10五.公切線問題例5.函數f (x) mxln xx 1與g(x) x2 1有公切線yax,( a0),則實數m的值為()A. 4B. 2C. 1【解析】設公切線ax,( a0)與兩個函數f (x)ln xmx與g(x) x2 1圖象的切點分別為A x1, y1 和B x2,1f (x) 一(x)g(x2) 2x2可得y2x2ax22 X2y2解得

11、a 2,所f (Xi)Xim以有f(X)mxLx1 1y1.，一 2化簡得2x1X1ln x12x21nxi X 0 ,Viax1 2x1,14x - 1 3 0恒成立, x即得函數2x2In x 1 x0在定義域上為增函數，又0,則可解得方程2x2X1ln x110,、1則由f (1)-練習1.已知函數f(x) aex (a0)與 g(x)2x2m (m 0)的圖象在第一象限有公共點，且在該點處的切線相同，當實數 m變化時，實數a的取值范圍為(B.4C.0,eD.【解析】設切點為A Xo，y0xo aexo ae2x24xo,4Xo由 m 2x2 4xox02.由上可知a令 h(x)4xx

12、e因為X2 ,所以h (x)練習2.已知函數f (x)4(1 x)xe4(1 x)xe1 21-x -x420,m, 4 e, 口整理得4xd, ,、 4x 小h(x) 7 在(2,e(x 0), g(x)Xo2x20,0,m,)上單調遞減，所以0ln x( x 0),其中 a點A(x , f (xi)處的切線與g(x)的圖象在點A. ( 1 ln2,C. ( 1 ln 2,【解析】f (x)1-x 2f '(x)故切線方程為:12x1xig(x) lnx,故1g'(x)一,切線方程為: x11故二 x1 二2212x1xi化簡整理得到:124x1ln12 x1ln故函數在1.

13、0上單調遞減，故練習3.若函數f x lnx 08 h(x) eR ,若f(x)的圖象在B(x2,g(x2)處的切線重合，則 a的取值范圍是()B. (ln 2,D. ( ln 2,1 24X11；x1,xi12 x11；x2lnx2x2；12x1x2又2ln x2 ,g'ln2,當 x1與函數g x12x10,1 時，g x，故 a ln 2.2x a有兩條公切線，則實數a的取值氾圍是()B.In 2D.In 2【解析】設公切線與函數ln x的圖象切于點A x1,lnXi因為f x In x ,所以A xjnx處斜線的斜率kif (Xi)xi所以切線方程為In x1設公切線與函數xi

14、a的圖象切于點B因為g x xa,所以x 2x ,所以在x>, x2 a處點斜線的斜率k2所以切線方程為2x22x2 x x2 ,2x2所以有 xi ln xi i因為0xii,所以2x2令tx2i 2,令 h(t)所以h t所以函數2乂2xix2In 2x2x； i,i 口2,得t-2t ln2t t上為減函數，在2In xx i與函數gi ln2Intt2i,所以h t_ 22t2 it上為增函數.a有兩條公切線,3.一,所以 a ln 724i 32, 4六.導數幾何意義與函數性質綜合例6.已知函數N琦=r3 + ax3 +占r的圖象的對稱中心為（Hl）, MW的圖象在點處的切線過

15、點 GL7),則& =A. iB. 2C. 3D. 4【解析】:函數= x4 +在三+卜工4 r的圖象的對稱中心為（01）,.爐（一。十式。=2即 =2'即工,得仁;工/(x)=小+為工+1片幻=3jt3 +&,又T/（幻的圖象在點L/K1）處的切線過點Q,7）,解得b = 1,故選A.練習1.已知A,B是函數f x2 x xxln xa,xa, x0圖像上不同的兩點，若曲線 y0f x在點A, B處的切線重合，則實數 a的最小值是1B. 一2D. 1【解析】當2x 0 時，f x xx 2x 1；當 x 0 時，f xxln x aIn x 1.設 A x1, f x

16、1,B乂2, f 乂2為函數圖像上的兩點,?；?0 x1 x2 時，f ' x1f x在A處的切線方程為yx2x在B處的切線方程為yx2 In x2ln x 1 2xi 12x2 a a Xi12,整理得a 2 Xi則g' x2xx e ,g x1 2e2x ,則當1.1, ln 一時，g' x2 2的最大值為,0練習2.已知函數x-7, x f(x)ex2x值范圍是（f ' x2x1ae2x1由g'',不符合題意，故0 x2.2x1 1 x x1 ；In x2x1上單調遞減，則1 x x2 .由兩切線重合可知,、12 2x.不妨設g x - x

17、 e可得x11In 一2 20右函數g (x) f (x) 2x, x 0k(x一）在R上零點最多，則實數 k的取 233A . (0,3e)B- ( 專0)1C. ( 7,0)2 . e1D . (0, y=) 2 . e【解析】由圖知 y ”*)與丫 k(x1、一 人，一254個公共點即可,0,k切，當設切點X0,y0k則 e1k(X0 -)2XoX0ex012i2,ek (0,.故選：D.練習3.設函數f Xasin x bcos x0在區間一,一上單調，且6 2，當x 一時，f12x取到最大值4,若將函數f x的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍得到函數g X的圖象，則函數yg XD.

18、 7B. 5C.【解析】設a2 b2 sinT 1 2，即 02 23,'- a2b2 sin x的一條對稱軸,12a2b2 sin x的一個對稱中心,由于03,所以x 乙與 一，0為同一周期里相鄰的對稱軸和對稱中心, 1237 22則T 4 ,2 ,又工b2 4,且 f 一 asin bcos,123a b 4121212解之得a 2, b 2必.故 f x 2sin 2x 2 3cos2x 4sin 2x,由圖象變換可得，g x4sin x因為g x 4sin x 在一,0處的切線斜率為g33.所以x 右側g x圖象較緩，如圖所示, 33一,0處切線斜率不存在，即切線方程為 3練習

19、4.已知函數f(x)2xe 1,x 0,2x 2x 2, x若| f (x)| mx恒成立，則實數 0,m的取值范圍為(A.2 2 亞,2B.2 2夜1C.2 2g,eD. 2 2>/e,e【解析】作出函數| f (x) |的圖象如圖所示;當 x 0叱令 x2 2x 2 mx,即 x2 (2 m)x 2 0,令0,即(2 m)2 8 0,解得 m 2 272 ,結合圖象可知，m 2 2.2 >當 x 0時，令 e2x 1 mx,則此時 f (x) e2x 1, h(x) mx 相切,2x0設切點,產1 ,則7 1”解得m 2,2 22,22e2x0 m,觀察可知，實數 m的取值范圍

20、為七.兩條曲線上動點距離最值例7.設函數f x2cc sin x在0, 上最小的零點為X0,曲線y f x在點 小,0處的切線上有lnx上有一點Q ,則PQ的最小值為（A痣10B.亞5C.3,510D.255【解析】令，則x k ,最小為Xo 1 .因為f x2cosx,所以曲線yf x在點1,0處的切線斜率為f1 2cos2,則切線方程為y 2x 2,3x2 lnx 2x22,0,h x在x 1處取最小值h0,所以0恒成立，所以直線2x 2與曲線y gx沒有交點.（舍去），13x 一x則PQ的最小值為點1,-到直線22x2的距離所以d2 3 2222173 ,5.10練習1.已知實數a,b,

21、c,d滿足的最小值為（）Ae2 1B _e=C e_JA B . / 2 C 2e - e 1 eD.2 e2 e1【解析】由題，得a lnb,c d e1,設（b,a）是曲線C:y lnx的點，（d,c）是直線l:y1的點,22a c b d 可看成曲線C上的點到直線l上的點的距離的平方,11對y lnx求導得y一,令y,得x e,xe所以曲線C上的點(e,1)到直線l的距離最小,因此(a c)2(b練習2.若X ,【解析】(a2)2該點到直線l的距離為d )2的最小值為b為任意實數，且B. 18e1=e2(a 2)22e2 .1 e(b 3)21,則(x a)2 (lnx b)2 的最小值

22、為()c. 342 1D. 19 6我(b 3)2 1 ,可得a,b在 2,3為圓心,1為半徑的圓上,222 .(x a) (In X b)表布點 a,b與點x,ln x的距離的平萬，又x,ln x在曲線y lnx上，設曲線y lnx上一點為 m,ln m設過點 m,ln m的切線與點 m,ln m與 2,3的連線垂直,ln m 3 12可信1 ，即有ln m m 2m 3,2由f m =lnm m 2m在m 0遞增，且f 13,可得切點為 1,0 ,圓心與切點的距離為d , (1 2)2 (0 3)23 2,-2一可得(x a) (ln x b)的最小值為 3& 119 6J2,22

23、xix y V2 ，則(練習3.已知ln x1x1y1 20 , x2 2y2D. M的最小值為一52y V2的最小值可轉化為函數yln x x 2圖象上的點與直線A. M的最小值為58C. M的最小值為一5【解析】由題意，Mj 4B. M的取小值為一5x 2y 4 2ln 2 0上的點的距離的最小值的平方1 ,y ln x x 2 ,得 y - 1 , x1與直線x 2y 4 2ln 2 0平行的直線斜率為人11-一令一1,解得x 2,所以切點的坐標為2,ln2x2切點到直線x 2y 4 2ln 2 0的距離d 1 21n j 4 21n 2適1 45224即M X X2y1 y2的最小值為

24、一.52222練習4.若x,a,b均為任意實數，且a 2 b 31,則x a 1nx b的最小值為（）a. 372B. 18C. 372 1D. 19 6/2【解析】由題意可得，其結果應為曲線y 1nx上的點與以C 2,3為圓心，以1為半徑的圓上的點的距離的平方的最小值，可以求曲線y 1nx上的點與圓心 C 2,3的距離的最小值，在曲線 y 1nx上取一點11nm 3 1.M m,1nm，曲線有y 1nx在點M處的切線的斜率為 k'一,從而有kcM k' 1,即1,mm 2 m整理得1nm m2 2m 3 0,解得m 1,所以點1,0滿足條件，其到圓心 C 2,3的距離為d J 2 1 2_3 0 2 3J2,故其結果為 3五 1 2 19 672 ,練習5.設點P在曲線y 2ex上，點Q在曲線上 =Ln k-Iu二上，則 Q的最小值為（）A . 1 1n2b. V2 11n 2 c. 2（1 Mu 2） d. V2 11n 2【解析】因為曲線y 2ex與曲線）1=ln工-M 2互為反函數，其圖象關于直線y x對稱，故可先求點p到直線y x的最近距離，