1、高二數學理科第二章推理與證明高考題選L （2011年高考江西卷理科7）觀察下列各式:55=3125, 56=15625, 57 =78125,則520n的末四位數字為（）A. 3125 B. 5625 C. 0625 D. 81252 . （2011年高考江西卷理科10）如右圖，一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內壁的逆時針方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點.那么，當小圓這樣滾過大圓內壁的一周，點M, N在大圓內所繪出的圖形大致是（）3 2012高考江西】觀察下列事實：lxl+lyl=l的不同整數解（x,y）的個數為4 , lxl+lyl=2 的不同整數解（x,y）的個數為8,

2、lxl+lyl=3的不同整數解（x,y）的個數為12則lxl+lyl=20的不同整數解（x, y）的個數為（）A.76B.80C.86D.92 4【2012高考陜西】觀察下列不等式 131 + r <一22 21151 + + -r<->22333,11152232423照此規律，第五個不等式為5【2012高考湖南】對于 eN*,將表示為 = 4x2* xZ*" + q x2+a0x2°, 當，=攵時 =1 ,當OWi4攵一 1時/為。或1,定義2如下：在的上述表示中，當旬必，S,，山中等于1的個數為奇數時，bi 否則瓦=0.(1) b2+b4+b(y+b

3、=；(2)記G”為數列/瓦中第m個為0的項與第m+個為0的項之間的項數，則大的最大值 是.6【2012高考湖北】傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上面點或用小石子表示數.他們研究過 如圖所示的三角形數：1 3610將三角形數1,3610,記為數列“),將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組 成一個新數列E .能夠推測：(1) 2 0 2是數列。 中的第 項：(2fe -i=.(用 k 表示)Y7. (2011年高考山東卷理科15)設函數f(x) = (x > 0),觀察：x + 2x y；(x) = /(%) = -, x + 2%(x) = /"(x) =X3x +

4、 4x力=/5")=ff<x) = f (&*) =X15x + 16根據以上事實，由歸納推理可得：當 e N+ 且 N 2 時，fn (x) = /(£(幻)=8. (2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數，就稱點(x, y)為整點，下列命題中準確的是(寫出所有準確命題的編號).存有這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經過任何整點如果k與b都是無理數，則直線y = kx+b不經過任何整點直線/經過無窮多個整點，當且僅當/經過兩個不同的整點直線)，=履+。經過無窮多個整點的充分必要條件是：k與。都是有理數存有恰經過一個整點的直線9.

5、(2011年高考湖北卷理科15)給個自上而下相連的正方形著黑色或白色.當W4時, 在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示： n=2B H H由此推斷，當門=6時，黑色正方形目不相鄰的著色方案共有 種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有種:(結果用數值表示) 10. (2011年高考陜西卷理科13)觀察下列等式1 = 12+34-4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此規律，第五個等式應為.11. (2011年高考湖南卷理科16)對于“eV,將表示為n = a0 x 2k + x2k + a2 x 2A-2 + . + ak1 x 21 +

6、 ak x2°,當 i=O 時，0=1,當 攵時,a,為0或L記/()為上述表示中s為0的個數(例如：1 = 1x2。' 4= 1x22+0x21+0x2。，故/ =0, /(4)=2),則127(1)7(12)=：(2) Z2"")=.n-l12.【2102高考福建】某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常 數：sin2130+cos217°sin 13°cos 17°； sin5°+cos2l 50sin 15°cos 150； sin? 180+cos2l 2°sin 1

7、8°cos 120；(4)sin2( 18°) 4- cos248°sin( 18°)cos48°：(§)sin2( - 25°)+cos2550 - sin( - 25°)cos55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數：(2)根據的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，并證明你的結論.13. (2011年高考安徽卷理科19)(I )設 Nl,證明 x + y + 4+ + xy, xy x y(11) <a<b<c ,證明 log。b + log, c + logr

8、a < log/? a + log/? + logfl c.14. (2011年高考湖南卷理科22)已知函數/(1)=/, g(x)=x + yx.求函數力(x) = /(x)-g(x)的零點個數，并說明理由：(口)設數列%)(£ N)滿足q=a(a>0)J®+J=g(%),證明：存有常數M, 使得對于任意的 wN'，都有。” 4M.2011年高考試題數學(理科)推理與證明1. （2012年高考江西卷理科7）觀察下列各式:55=3125, 56 =15625, 5? =78125,則5?°" 的末四位數字為A. 3125 B. 562

9、5 C. 0625 D. 8125【答案】D【解析】觀察發現塞指數是奇數的，結果后三位數字為125,故排除B、C選項;而52。” >3125 故A也不準確，所以選D.2. （2011年高考江西卷理科10）如右圖，一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內壁的 逆時針方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點.那么，當小圓這樣滾過大圓內 壁的一周，點M, N在大圓內所繪出的圖形大致是答案：A解析：由題意可知，X和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點，黨小圓沿著大圓內壁的逆時針方向滾動時，點M沿著直線向右移動，而點N先沿著直線 向下移動，再沿著直線向上移動，故選A.8. （2011年高考安徽卷理

10、科15）在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數，就稱點（K y）為整點，下列命題中準確的是 （寫出所有準確命題的編號）.存有這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經過任何整點如果k與都是無理數，則直線不經過任何整點直線/經過無窮多個整點，當且僅當/經過兩個不同的整點直線丁=辰+。經過無窮多個整點的充分必要條件是：k與。都是有理數存有恰經過一個整點的直線 【答案】【命題意圖】本題考查直線方程，考查邏輯推理水平.難度較大.【解析】而心令v = x+L滿足I：;k = 6、b = 4i, v = V2.V + V2 . Jr 2點（一1,0）：準確，設y = H是過原點的直線，若此直線過兩個整點（內,y）

11、,（，為），則仃y = kx1, y2 =匕、，兩式相減得y - y2 = %（內一），則點（占一馬，凹一乃）也在直線），=履上，通過這種方法能夠得到直線/經過無窮多個整點，通過上下平移y =履得對于y =奴+6也成立；錯誤，"M與b都是有理數時，令y = x+顯然不過任何整點：2準確.如：有線y = y/2x恰過一，個整點【解題指導】：這類不定項多選題類型，難度非常大，必須每一個選項都有充足的把握確定 其正誤，解題時須耐心細致。9. （2011年高考湖北卷理科15）給n個自上而下相連的正方形著黑色或白色.當nW4時， 在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：

12、0OBRHUB BnBiMB GEBnMQi 12 3 4 = = = = n n n nnHdnHB由此推斷，當"6時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有 種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有 種.（結果用數值表示）答案：21, 43解析：根據著色方案可知，n=6時，若有3個黑色正方形則有3種，有2個黑色正方形 有4+3+2+1+1=11種，有1個黑色正方形有6種；有0個黑色正方形有1種，所以共有 3+11+6+1=21 種.n=6時，當至少有2個黑色正方形相鄰時，畫出圖形可分為:有2個黑色正方形相鄰時，共23種，有3個黑色正方形相鄰時，共12種，有4個黑色正方形相鄰時，共5種

13、，有5個黑色正方形相鄰時，共2種，有6個黑色正方形相鄰時，共1種.故共有 23+12+5+2+1=43 種.10. (2011年高考陜西卷理科13)觀察下列等式2+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此規律，第個等式為【答案】 + (，+1) + ( + 2) + + (3 2) = (2 -1)【解析】：第個等式是首項為，公差1,項數為2 1的等差數列，即 + 5 + 1) + ( + 2) + -,+(3”-2)=(2-1)+(2"一"："7 741=(2/2 1)2211. (2011年高考湖南卷理科16)對于 wN*,將表

14、示為n = a0x2k +a x2A"! +«2 x2i-2 +-+akx2 +ak x2。，當 i = 0 時,a, =,當時，凡為0或1.記/()為上述表示中巴為0的個數(例如：1 = 1x2°,4 = 1x22+0x21+0x2°,故/(1)=0, /=2),則(1)/(12)=；(2)答案：/(12)= 2; X2""1 = 1093 答案：(1) 2； (2) 1093解析：(1)因 12 = 1x23+1x22+0x21+0x2°,故"12) = 2；(2)在2進制的%(%22)位數中，沒有0的有1個，

15、有1個0的有CL個，有2個。的有個，有機個0的有個，有攵一1個0的有。；二；=1個，故對所有2進制為k位數的數，在所求式中的的和為: 1-2°+ C12+ C3 2? + +。£； 2'7= 3J 01277又127 = 27 -1恰為2進制的最大7位數，所以工2/(n) = 2° + >人=1093。 -1A-213. (2011年高考安徽卷理科19)(本小題滿分12分)(I )設x 21, vNl,證明 x+y+ -!"<!«+_L + xy, xy x y(II ) <a<b<c , log b +

16、ogh c + Iogc a < ogh a + logc b + logfl c.【命題意圖】：本題考查不等式的基本性質，對數函數的性質和對數換底公式等基本知識, 考查代數式恒定變形水平和推理論證水平。【證明】:(【)因為xNLyNl,所以要證明：x + y+ < + + xy xy x y只要證明：xy(x +y) + l < y + x + (xy)2只要證明：(xy)2 -l + (x+y)-xy(x+y)>0只要證明：(個- 1)(個+1 -x- y) 2 0 只要證明：(沖_l)(x_l)(y_l)N0 因為上式顯然成立，所以原命題成立.(II)設logRr

17、 , logft c-y ,則 k)g, a =，一 =-!- =!= >logflc log- 1- logclogj? xy1叫a log” blog/二一，log 尸一，log°Cf , y yA所要證明不等式即為x + y +-« L +冷，XV x.9： c>b>a> , ：. x = lognb >1, y = oghc 21,由(I)知所證明的不等式成立.14. (2011年高考湖南卷理科22)(本小題滿分13分)已知函數/'(X)= /, g(x) = x + j7.（I）求函數Mx）= /（x）g（x）的零點個數，并說

18、明理由：（口）設數列%）（"）滿足。 =。（。0）J（%+J=g（%）,證明：存有常數 M, 使得對于任意的 wN:都有* 4 M.解：（I）由力（x）=x3-X-五知，xwo,y）,而力（0）= 0,且/?（1） = 一1 0 , 耳2）= 6應0,則x = 0為力（工）的一個零點，且力在（1,2）內由零點， 所以力（X）至少有兩個零點.,1 -1 -11 -2解法 1 hx) = 3x2 - -x 2,記0(元)=3/-1一工工則d(x) = 6x +-x 2 當XW（0,M）時,“（x）0,所以就9在（0,48）上單調遞增,則0）在（0,例）上至多有又因為夕（1）0, /y一個零點,。，則3（x）在 彳內有零點.所以9）在（0,+oc）上有且只有一個零點，記此零點為修，則當xw（0，M）時，0（x）3（X） = O;當X£（X*c）時, 見） 8G J = 0;所以，當再）時,成）單調遞減,而力（0）= 0,則力（1）在（0,再內無零點；當X£（X*o）時, 力（6單調遞增，則力（6在（內,”）內至多只有一個零點，從而/?（6在（0,引力）上至多有一個零點.綜上所述，力（工）有且只有兩個零點._n_1 _3解法 2 由（工）二工/一1一X2 ,記夕（1）=/ - 1-