1、2.4 光波導的電磁理論光波導的電磁理論作業：作業：2-12； 2-35；推導課；推導課本公式（本公式（2.2-41）Maxwell方程及邊界條件方程及邊界條件Maxwell方程方程0BDDJHBEffttHBEPED0強度：強度：E：電場強度，：電場強度，H：磁場強度：磁場強度通量密度：通量密度：D：電位移矢量，：電位移矢量，B：磁感應強度：磁感應強度 f：自由電荷密度，：自由電荷密度，Jf：自由電流體密度：自由電流體密度 ：磁導率，真空磁導率：磁導率，真空磁導率 0介電常數介電常數=真空介電常數真空介電常數*相對介電常數相對介電常數1,0rr2.32.12.22.42.52.6邊界條件邊界

2、條件12nE1H1B1D1E2H2B2D20021212121BBnDDnJHHnEEnsfsf2.82.92.102.11切向連續切向連續法向連續法向連續Maxwell電磁理論基礎波動方程波動方程無自由電荷無自由電荷 f=0無自由電流無自由電流 Jf=000BDDHBEttEEEDEEEln02202tHBEDDHBE0,ttAAA2弱導近似：弱導近似： 0 02202tEE022222tcnEE022222tcnHH001,cnr012222tvEE012222tvHH課本2.4-12,2.4-13諧變電磁場諧變電磁場:線性介質中線性介質中,電磁場可分解為諧變分量的疊加電磁場可分解為諧變分

3、量的疊加 tjttjtexp,exp,rHrHrErE000BDEHHEjj222,tjt22,00002222cfcknkkkkHHEEHelmholtz方程方程Maxwell方程方程& r為位置矢量為位置矢量, t為時間為時間, w為震蕩頻率為震蕩頻率k為電磁波波數為電磁波波數, k0為真空中的電磁波波數為真空中的電磁波波數.022222tcnEE022222tcnHH以特定頻率作簡諧震蕩的電磁場可以表示為以特定頻率作簡諧震蕩的電磁場可以表示為:課本2.4-16,2.4-17，記平面光波導中的平面光波導中的Helmholtz方程方程 對稱性考慮對稱性考慮)exp()(zjxjzy

4、, 0一維均勻平面光波導中，電磁一維均勻平面光波導中，電磁場在場在 y 和和 z 方向均勻，對于波導方向均勻，對于波導內沿內沿 z 方向傳輸的電磁波，其方向傳輸的電磁波，其任一電磁場分量均具有如下形任一電磁場分量均具有如下形式：式：滿足：滿足： 3213210,0,nnnxnhxnxhnxn波導結構（折射率空間分布）：波導結構（折射率空間分布）：限制層波導層限制層n3n1n2xyzhttDHBE,Maxwell方程方程zyxzyxAAAzyxeeeAzzyyxxxyzzxyyzxzzyyxxxyzzxyyzxHHHjyExExEzEzEyEEEEjyHxHxHzHzHyHeeeeeeeeeee

5、e0直角坐標系內的形式直角坐標系內的形式EHHEjj0zzyyxxxyzzxyyzxzzyyxxxyzzxyyzxHHHjyExExEzEzEyEEEEjyHxHxHzHzHyHeeeeeeeeeeee0直角坐標系內的形式直角坐標系內的形式jzy, 0yzxzyxyEjdxdHHjHjdxdEHE00TE0 xEyzxzyxyHjdxdEEjEjdxdHEH0TM0yE0zE0zH0yH0 xH課本2.4-37課本2.4-38一維平面光波導的場方程及其解一維平面光波導的場方程及其解3 , 2 , 1, 0222022jnkdxdjyyHTMETE:yzxzyxyEjdxdHHjHjdxdEHE

6、00TEyzxzyxyHjdxdEEjEjdxdHEH0TM課本2.4-45,2.4-46，記zk限制層波導層限制層n3n1n2xyzh3 , 2 , 1, 0222022jnkdxdjyyHTMETE:場方程（場方程（平面光波導的平面光波導的Helmholtz方程方程 ）方程是微分算符的本征方程，本征值 決定模場函數的性質，如果 0，方程的解是余弦(正弦)函數，若 0，則是指數函數。另一方面必須考慮物理的合理性，對于可傳播的導波模，芯層的電磁場必然是波動的，而包層必然是阻尼的，這就要求在芯層和包層的符號必須是相反的。至此已在電磁場方程的基礎上論證了導波的必要條件是2202Kn2202Kn22

7、02Kn2220jnk2220jnkn2K0 n1K0 3 , 2 , 1, 0222022jnkdxdjyyHTMETE:場方程（場方程（平面光波導的平面光波導的Helmholtz方程方程 ）模式解模式解: 參考課本參考課本P35-38 及教材附帶課件及教材附帶課件.TE模討論之相差相位因子，以的相位可以不同，可以狀不變，但它導截面上分布保持其形中，一種模式的場在波波的傳輸過程的一種穩定分布，即在導波模式是指波導空間平面導波模式的場分布0)(:,0)(0)(22320222222022212022yyyyyyEnkdxEdEnkdxEdEnkdxEd敷層區襯底區：薄膜區：;, 0)(1,;,

8、 0)(1:2220102210場為正弦解在薄膜區：若解得為指數解由邊界連續可由方程，當xEEnknkExEEnkyyyy12222, 0)(1ciyyxEE相當射線光學分析中：形式駐波，在邊界衰減這時為導模，在薄膜區場為指數解；可在襯底敷層：指數解在敷層區當, 01,223020 xEEnknkyy13122201:cicyyxEE相當于射線光學中：，正弦解，為駐波其他為1230, 00cink為正玄解，相當于，各層當輻射模襯底輻射模導模n1n2n3k0n1k0n2k0n3波動方程（波動方程（TE模）模） 00yxyzzxyEHEiHxHi HiEx 2222020yyEk nEx22220

9、320yyEk nEx22220120yyEk nEx22220220yyEk nExxn1n3n2yz包層包層薄膜層薄膜層襯底襯底0k c001c 0n15波動方程的解（場分布）波動方程的解（場分布）33122exp() cladding( )cos() core exp() substrateyxExa xaExEk x axaExa xa 2222303k n2222202k n222201xkk n010302max(,)k nk n k n根據物理意義可以預見在導波層內是駐波解，可用余弦函數表示，而在覆蓋層、襯底層中是倏逝波，應是衰減解，用指數函數表示。 導模存在條件導模存在條件：k

10、x、a3、a2均應為實數，故須滿足 與射線法結果一致與射線法結果一致16p2q3對比課本取zk邊界條件邊界條件邊界條件為：邊界處切向Ey分量連續，切向分量Hz也連續，由 知 連續 0yzEiHxxEy(1) x= -a處，12cos()xEk aE1222sin()|exp()|xxxaxak Ek xExa122(sin()xxk Ek aE2tan()xxk ak z x t=2a A C 入射波陣面 二次反射波陣面 一次反射波陣面 n3 n2 n1 33122exp() ( )cos() exp() yxExa xaExEk x axaExa xa 17對比課本2a=h邊界條件邊界條件(

11、2) x=a處，13cos()xEk aE1333sin()|exp()|xxx ax ak Ek xExa 133(sin()xxk Ek aE3tan()xxk ak z x t=2a A C 入射波陣面 二次反射波陣面 一次反射波陣面 n3 n2 n1 33122exp() ( )cos() exp() yxExa xaExEk x axaExa xa 18特征方程（本征值方程）3tan()xxk ak11322tan ()tan ()xxxk amkkTE模模關于關于 的函數的函數 z x t=2a A C 入射波陣面 二次反射波陣面 一次反射波陣面 n3 n2 n1 33122exp

12、() ( )cos() exp() yxExa xaExEk x axaExa xa 2tan()xxk ak19對比課本2a=h)/arctan()/arctan(xxxkqkpmhk即課本TE模的特征方程：與射線法得到結果的一致：1012132ncos2k tm11322tan ()tan ()xxxk amkk特征方程（本征值方程）特征方程（本征值方程）關于關于 的函數的函數關于關于 的函數的函數TM模的特征方程：2211311222322tan ()tan ()xxxnnk amn kn k20對比課本2a=h)/arctan()/arctan(xxxkqkpmhk與射線法推導過程的區

13、別？1012132ncos2k tm11322tan ()tan ()xxxk amkk特征方程（本征值方程）特征方程（本征值方程） z x t=2a A C 入射波陣面 二次反射波陣面 一次反射波陣面 n3 n2 n1 k1 1/222211212221sin2tancosnnn1/222211313221sin2tancosnnn2222303k n2222202k n222201xkk n傳播常數傳播常數橫向波矢橫向波矢21對比課本2a=hTE模的特征方程：zknksin10cos10nkkx平板波導模式分布平板波導模式分布33122exp() cladding( )cos() core

14、 exp() substrateyxExa xaExEk x axaExa xa 將特征方程的解，代入上式，并確定各個系數，求得Ey。而后根據右式，確定其余場分量。yzxzyxyEixHHiHixEHE0022平板波導模式分布平板波導模式分布23 m=0時 為最低模,m=1,m=2其模式結構如圖xn2=n3n1m=0m=1m=2Exx對稱平面光波導n2=n3高階短低階長軸等距離兩次全反射在小即入射角大。而高階模大低階模，z，1的深度大小，穿透）對高價模32,2nn，場在覆蓋層和襯底中是按指數函數衰減的，衰減的快慢分別由衰減系數2和3確定。平板波導模式分布平板波導模式分布2和3的值大，則場衰減快

15、，穿透深度1/ 2和1/ 3就淺，說明場主要束縛在導波層中。反之， 2和3的值小，則場衰減慢，穿透深度就深，說明波導束縛場的能力差。 2和3的大小與覆蓋層、襯底的折射率有關，同時還與模序數m密切相關。由模式本征方程可以導出，m越大，則越小， 2和3也越小。這表明高階模的電磁場可延伸到導波層外的距離較遠。26導模和輻射模 iCladdingCore iSubstrateCladdingCoreSubstrate輻射模的特點：輻射模的特點： 傳播常數連續。傳播常數連續。 沿傳播方向有損耗。沿傳播方向有損耗。 與導模一起組成一個與導模一起組成一個完備的正交函數集。完備的正交函數集。導模的特點：導模的

16、特點： 傳播常數取分立的值。傳播常數取分立的值。 理論上沒有損耗。理論上沒有損耗。 各個導模正交。各個導模正交。27特征模的展開特征模的展開 任意電場分布的光波入射如何轉變成特征模？任意電場分布的光波入射如何轉變成特征模？ 處理方法：將任意電場分布展開，分解成不同特征模的處理方法：將任意電場分布展開，分解成不同特征模的電磁場分布。電磁場分布。 數學上用正交函數展開，如傅立葉級數等，稱之為特征模展開；數學上用正交函數展開，如傅立葉級數等，稱之為特征模展開； 各導波模以相應階數模的傳播常數傳播；各導波模以相應階數模的傳播常數傳播； 隨著光的傳播，不同模之間的相位差將發生變化，導致導波模疊隨著光的傳

17、播，不同模之間的相位差將發生變化，導致導波模疊加以后的電磁場分布也隨著傳播過程而變化，光束像蛇一樣反復加以后的電磁場分布也隨著傳播過程而變化，光束像蛇一樣反復蠕動前進。蠕動前進。()( , )( )exp ()mmmmE x tA Exjtz光波導中的各種損失光波導中的各種損失 在單模波導中導波模只有基模，其余展開分量全部在單模波導中導波模只有基模，其余展開分量全部轉變成耦合損失，所以為減小耦合損失，應盡量使轉變成耦合損失，所以為減小耦合損失，應盡量使入射光束的形狀與波導基模的形狀相同。入射光束的形狀與波導基模的形狀相同。波動光學獲得波動光學獲得TETE模式和模式和TMTM模式的特征方程與幾何

18、光模式的特征方程與幾何光學分析獲得的橫向諧振條件類似，但是表述起來更學分析獲得的橫向諧振條件類似，但是表述起來更為嚴格。為嚴格。求解特征方程，可以獲得傳輸常數的一系列解，每求解特征方程，可以獲得傳輸常數的一系列解，每一個解對應一個模式。一個解對應一個模式。由傳輸常數可以獲得其他的分布參數，進一步得出由傳輸常數可以獲得其他的分布參數，進一步得出電磁場的各個場分量。電磁場的各個場分量。4分別對分別對TETE和和TMTM模，找出滿足模，找出滿足 k k0 0n n2 2 k k0 0n n1 1 的的 的個數（總是有限的），按從大到小依次記為的個數（總是有限的），按從大到小依次記為 m m （m=1,2m=1,2M)M)； m m 即為第即為第 m m 個個TETE或或TMTM模式的傳輸常模式的傳輸常數，其隨數，其隨 的變化關系決定了該模式在波導中的的變化關系決定了該模式在波導中的傳輸特性傳輸特性波導內各模式場分布與傳輸特性的求解波導內各模式場分布與傳輸特性的求解從模式的傳輸常數從模式的傳輸常數 m 求出該模式的橫向振蕩參數求出該模式的橫向振蕩參數 kxm 以及在限制層內的衰減常數以及在限制層內的衰減常數 pm、qm ，代入束縛，代入