1、精選優質文檔-傾情為你奉上數形結合思想在高中數學中的應用靈寶實驗高中 王少輝一、什么是“數形結合思想”？數形結合是一種數學思考方法；是數學研究和學習中的重要思想；也是解決數學問題的有效方法。“以形助數”可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化；能夠把抽象的數學語言變為直觀的圖形語言、把抽象的數學思維變為直觀的形象思維；“以數助形”有助于把握數學問題的本質。二、什么類型的題可以用“數形結合思想”解決？“數”和“形”是數學研究的兩個基本對象。數，通俗地說一般是指文字語言、數學符號語言、代數式等；形，通俗地說一般指圖形語言、函數圖象、代數式的幾何意義等。既能用“數”表示，又能用“形”表示的知識就可以用數

2、形結合思想解決。數形結合的思想方法是數學教學內容的主線之一，應用數形結合思想，可以解決以下問題：集合問題函數問題方程與不等式問題三角函數問題向量問題數列問題線性規劃問題解析幾何問題立體幾何問題絕對值問題三、數形結合思想應用舉例（一）在集合中的應用【知識點】集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集文字表示ABAB若全集為U，則集合A的補集為UA符號語言x|xA，或xBx|xA，且xBx|xU，且xA圖形語言在這個知識點中集合的三種運算除了抽象的符號語言描述之外，還有直觀的圖形語言。所以在解決某些集合的運算問題時，我們可以用數形結合思想。【例1】(1)已知(2)已知集合Ax|2x7，Bx|m1

3、<x<2m1，若BA，則實數m的取值范圍是_.【小結】數形結合在集合中的應用，主要體現在集合的基本運算中：（1）離散的集合用Venn圖表示（2）連續的數集用數軸表示，注意端點（二）在函數中的應用1.二次函數區間求值問題二次函數的圖象我們都很熟悉，所以在解決二次函數的相關問題時，我們就可以借助圖象來進行。【例2】已知，求f(x)在1,2上的最小值【跟蹤訓練】已知，求f(x)在t,t+2上的最小值2.函數性質綜合應用函數的性質在圖象上都有直觀的反應，所以在利用函數性質解決某些問題時，我們就可以借助圖象來進行。【例3】設函數，若函數yf(x)在區間(a，a1)上單調遞增，則實數a的取值范

4、圍是_.【例4】已知函數，則滿足不等式的x的取值范圍為 3.函數零點個數問題函數零點、方程的根與函數圖象的交點密切相關，所以在解決函數零點個數問題，方程根的個數問題時，常使用數形結合思想。【例5】已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，當x0時，f(x)x22x，如果函數g(x)f(x)m(mR)恰有4個零點，則m的取值范圍是_.【例6】已知定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區間0，2上f(x)x，若關于x的方程f(x)logax有三個不同的實根，求a的取值范圍.【小結】數形結合在函數中的應用，主要體現在函數圖象的應用中（1）二次函數求給定區間上的最值問題 軸動區間定 軸定區

5、間動（2）函數性質（奇偶性、單調性、周期性）的綜合應用 求范圍 解不等式（3）函數零點個數、方程根的個數 轉化為圖象交點個數問題【跟蹤訓練1】 函數f(x)|x2|ln x在定義域內的零點的個數為()A.0 B.1 C.2 D.3解析由題意可知f(x)的定義域為(0，).在同一直角坐標系中畫出函數y1|x2|(x0)，y2ln x(x0)的圖象，如圖所示：由圖可知函數f(x)在定義域內的零點個數為2.答案C【跟蹤訓練2】若關于x的方程|x|ax只有一個解，則實數a的取值范圍是_.解析在同一個坐標系中畫出函數y|x|與yax的圖象，如圖所示.由圖象知當a>0時，方程|x|ax只有一個解.答

6、案(0，)【跟蹤訓練3】已知函數(aR)，若函數f(x)在R上有兩個零點，則a的取值范圍是()A.(，1) B.(，0) C.(1，0) D.1，0)解析當x>0時，f(x)3x1有一個零點x.因此當x0時，f(x)exa0只有一個實根，aex(x0)，則1a<0.答案 D【跟蹤訓練4】(2016·山東卷)已知函數，其中m>0.若存在實數b，使得關于x的方程f(x)b有三個不同的根，則m的取值范圍是_.解析在同一坐標系中，作yf(x)與yb的圖象.當x>m時，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三個不同的根，則有4mm2<m，即m23m

7、>0.又m>0，解得m>3.答案(3，)四、作函數圖象的常用方法數形結合的關鍵在于準確作出函數的圖象，那么如何作函數圖象就是最關鍵的步驟，同學們一定要掌握。下面介紹兩種高中數學中最常用的方法。1.利用描點法作函數的圖象步驟：(1)確定函數的定義域；(2)化簡函數解析式；(3)討論函數的性質(奇偶性、單調性、周期性、對稱性等)；(4)列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等)，描點，連線.2.利用圖象變換法作函數的圖象(1)平移變換 yf(x+a)（a>0）的圖象把yf(x)的圖象向左平移a個單位即可 ； yf(x -a)（a>0）的圖象把y

8、f(x)的圖象向右平移a個單位即可 ； yf(x)+b（b>0）的圖象把yf(x)的圖象向上平移b個單位即可； yf(x) -b（b>0）的圖象把yf(x)的圖象向下平移b個單位即可；即我們通常所說的左加右減，上加下減。【練習1】作出下列函數的圖象（1） （2） （3）(2)對稱變換 yf(x) 的圖象把yf(x)的圖象關于 x軸對稱即可 ； yf(x) 的圖象把yf(x)的圖象關于 y軸對稱即可 ； yf(x) 的圖象把yf(x)的圖象關于原點對稱即可 ；【練習2】作出下列函數的圖象（1） （2） （3）(3)伸縮變換 yf(ax)（a>0）的圖象 把yf(x)的圖象縱坐標不變，各點的橫坐標變為原來的倍即可 ； 相當于以y軸為中心，把圖象往左右伸長或壓縮；a<1時伸長，a>1時壓縮. yAf(x)（A>0）的圖象 把yf(x)的圖象橫坐標不變，各點的縱坐標變為原來的 A 倍即可 ； 相當于以x軸為中心，把圖象上下伸長或壓縮；A>1時伸長，A<1時壓縮.(4)翻轉變換y|f(x)|的圖象，把yf(x)的圖象位于x軸下方的部分翻到x軸上方即可；函數值為負數的變為其相反數，函數值為正數的