1、華互理呈太號復變函數與積分變換作業（第1冊）班級 學號 姓名 任課教師第一次作業教學內容：1.1復數及其運算1.2平面點集的一般概念1. 填空題：2' 2 2、3535.(1),， + 乙 2'(2) 1, 3, 1 + 3z, J10,一arcta n-1(1 + V3i)(4) x = 1, y = 132. 將下列復數化成三角表示式和指數表示式 (1)1 + 據;1 - cos 0 + i sin e(0<(p<TT)解:1 - cos (p + isin(p = 2 sincos(-)+ z si n(-)=2sine(cos 5?+ i sin5。) 2

2、(cos 3放T sin 3疔解:(cos 50 + , sin 5 疔=w 2-頃尸=M(cos 3。-i sin 3 。)'I9</, e解：I + zV3 = 2(A- + zA-) = 2(cosy+ zsiny)=2e3cosl9 £ + , sinl97 13. 求復數一的實部與虛部z+1解 Z-1 (z-l)(z+l) (z-l)(z+l) z + 1 (z + l)(z + l) lz + 11-_ (zZ + z -Z-l) _ zZ-1 * . 2Imz 一 Iz + lP-|z + llZ|z + llEE D 22-1 t 2Irjnz+ 所以

3、2 Reiv =-叵-匚-伯 2, Imw =4.求方程/ +8 = 0的所有的根 i (l+2k )解：z =( 8)3=2e3 M = 0,1,2.即原方程有如下三個解：l + zV3-2,l-zV35.若=|Z2 =|Z3且Zi +彼+A3 =0，證明：以 乙,Z2,Z3aJ頂點的三角形是正三角形證明：記z x=a,則kJ =1 A2 + 有 F= 2(1 Z2 F + II 2 1, 2 一曷得般2 一句|2=3/ =(|知| It?忙，同樣,I _ 勾仁 ki _ =3。2所以I勺一京1=1句一京1=|勺一時.6. 設勺.勺是兩個復數，試證明.Izi+z2 | 2+l zi - z2

4、|2=2(| ZI | 2+| Z2| 2)-并說明此等式的幾何意義.證明：左式=(Z1 + z 2 )( Z1 + z 2 )+( Z1 + z 2 )( Zj -z 2)=2( Z ? Z2 + Z 2 Z2 )=2( |z J + |-Z21 )7.求下列各式的值：(1)(73-0 5；-15解：(心一 z')5= 2(爭一 ；)=(2e 甘)5 =32 疽咳=32 cos(-) + i sin(-) = -16A3-16/6 6（1-0'；-i冗2y2e = V2(cos - z sin )； 12 1277 兀rjr-j2y2e = V2 (cos + i sin )

5、12 12垂 e 4 =垂(cos + i sin4求gi(l +i)i5V3 i口兀e 6100+(l-i)i3e -2 2'100= 72cos 77 12 2illi100 100+ -J2I cos -is in8.cos 25,r+i sin 2氣疋)+2" fcos25-i sin 25疋)x + iyx-iy 俶+) iyT (x +iy)比較系數得2 2 -x - y 2xyF 32x -y+ lixy .=a+bi=2預=-251化簡_% (Df I * 汁 h it/.解：原式=(l-z) 2=_w=I9.設AA- = a + bi, 其中a,b,x,y

6、均為實數，證明 x-iy2 . 2a +b =1解：先求岀a,b的x, y表達式，因于是/ +b2y2,2乩、2 _ 12 2)+(22) 1x + y x + y10.設刃是1的n次根，旦口。1,證明：ft*滿足方程解：因刃=1,即刃(? -1)(1+ a)+ a)-t F 口 "T) =0由于 a)Al, tA(l + a)+ a)2 + +=0,即+z + z=0第二次作業教學內容：L2平面點集的一般概念1.3復變函數1.填空題2. 指岀下列各題中點 z的軌跡，并作圖(l)|z-2i|>l;中心在-2z'半徑為1的圓周及其外部。2 Re(z + 2) = 1.直線

7、x = -33 |z +3| + |z + 1| = 4以-3與-1為焦點，長軸為4的橢圓/冗 arg(z-z)以，為起點的射線 y = x + l5 a >1z-2直線x=°及其右半平面23. 指出下列不等式所確定的區域或閉區域，并指出是有界區域還是無界區域，多連通還是單連通的。 A<1 ；1-az解：| < |1 _(z q(Z -a)<(l - az)(l - az) 連接點1 + Z與一1 4Z的直線斷的參數方程為1 + , +_(2_5由0<?j1(2)以原點為中心，焦點在實軸上，長軸為 a ,短軸為b的橢圓的參數方程為z 二 a cos t

8、+ ib sin t Q <t <2 tva <l時，表示單位圓的內部，有界單連通域同1時，表示單位圓的外部，無界單連通域，同=1不表示任何區域(2) zz - (2 + z)z -(2-z)z < 4圓(X 2)2+(y + 1)2 =9及其內部區域，有界，單連通區域(3) |z-l|<4|z + 1|17Q中心在z =-,半徑為£的圓外部區域，無界，多連通1515(4) £ < arg(z + 2，) <£ 且 |z| > 2.解：z + 2/ =工 + (y +y + 22)i => tan 。= - =

9、> arg(z + 2z) = arctanx >0,x< 0,y> 0,x< 0, y<0,6且有|z| = 山2+y2xx7iy + 2 7i< arctan - < 6x 27iy + 2 7i y + 2 V3< arctan vn->26x 2x3> 4以-2/為頂點，兩邊分別與正實軸成角度蘭與生的6 2角形域內部，且以原點為圓心，半徑為2的圓外部分，無界單連通區域。4. 設r是實參數，指岀下列曲線表示什么圖形已知函數w =z = x + iy = t+ -<=><求以下曲線的像曲線x = t即為雙曲

10、線” 1;%2 V +C=1,為橢圓(a+b) 2 (a-b)2解：加-=_l_z x + iyU-+V-_z 2(x + y- _ i y_x2+y2 x2+y2=_ =,是 w平面上一圓周解:由 X = 1,知"=-1+ y,v =-y，從而 U2 + V 2 =-1-U+ y1 +此為(侃)2 + v(?)2,是平面上一圓周111w =-,貝 U, u ,v (3) y = 1x(l + z) 2x6.討論下列函數的連續性:i,像曲線為=Vo2x 2x)x + y 4(1) W = |z|解：設Zo為復平面上任一點，因為lim|z| = ko| ZTZ函數W= |z|在平面上處處連續。 ”0(2) f(Z)="+ 廣v0,4=0解：當z沿實軸趨向于零時，z = x，有lim/(z) = limx = 0當Z沿某一直線趨向于零時? tan。 tan。八lim f(z) = lim - = 廠2 2 zto co 1 + tan 01 + tan 0故f (z)在z = 0處不連續。7.下列函數在何處可導？求岀其導數。(1)(z-1)"解：對任意的 Z ,有 lim "f 。 = lim(z"T+?-2+.+ 媽心)=nz°n'ZTZ。 Z Zof &#