1、 專題三 由圖形的軸對稱性看角平分線、中垂線的應用（3）一.教學目標：1知識與技能:進一步理解軸對稱變換,掌握用軸對稱作圖解決一類幾何極值問題的方法.2過程與方法:經歷“實際問題數學問題求解與應用”的基本過程，體會軸對稱變換在解決問題時的轉化作用.3情感價值觀:進一步體會軸對稱在實際中的廣泛應用,感受數學活動充滿探索與創造.二教學重點：掌握用軸對稱作圖解決一類幾何極值問題的方法.三教學工具：幾何畫板.四教學內容：引入：如圖，要在河邊修建一個水泵站，分別向張村、李莊送水.水泵站修在河邊什么地方，可使所用的水管最短？例1.已知：如圖1，直線a與a同側兩點A、B.求作：點C，使C在直線a上，并且AC

2、+CB最小. 圖1 圖1-1設計思想：要求學生掌握一類幾何極值問題的作圖方法.先找到A點關于直線a的對稱點A,再連接BA交直線a于C點,這樣B,C,A三點在一條直線上,根據“兩點之間線段最段”可知, CA+CB最小,由于A和A點關于直線a對稱,則直線a是線段AA的垂直平分線,則CA=CA,所以可知AC+CB最小.作法:如圖1-1，畫出點A關于直線a的對稱點A,連結BA交直線a于C點，則點C為所求例2.如圖1,在一塊三角形區域ABC中,一只螞蟻P停留在AB邊上,它現在從P點出發,先爬到BC邊上的點M,再從點M爬到AC邊上的點N,然后再回到P點,請在圖上作出M、N點,使得螞蟻爬行的路程最短. 圖1

3、 圖1-1 設計思想：例2是例1作圖方法的引申應用.作法：如圖1-1，畫出點P關于BC的對稱點P，再畫出點P關于AC的對稱點P，連結PP,交BC于M點，交AC于N點，則PMN的周長最小.例3（宣武）如圖1，在平面直角坐標系中，直線是第一、三象限的角平分線(1) 由圖觀察易知A（2，0）關于直線l的對稱點的坐標為（0，2），請在圖中分別標明B(5,3) 、C(-2,5) 關于直線l的對稱點、的位置，并寫出他們的坐標： 、 ；(2) 已知兩點D(1,-3)、E(-1,-4)，試在直線l上確定一點Q，使點Q到D、E兩點的距離之和最小，并求出Q點坐標 圖1設計思想：本題設計在網格中確定對稱點的坐標,方

4、便又精確；同時延用例1的作圖方法解決一類幾何極值問題；本題還考察了直線解析式及兩直線交點坐標的確定方法解：（1）圖略.B(3,5)；C(5,-2).(2)D(1,-3)關于直線l的對稱點D(-3,1),連接ED交直線l于Q點.設直線ED的解析式為y=kx+bE(-1,-4),D(-3,1), -k+b=-4, 解得 k=-,-3k+b=1. b=-.直線ED為y=-x-.當x=y時, x=-x-則x= -Q(-,-).例4（09宣武一模）如圖1，矩形OABC的邊OC、OA分別與軸、軸重合，點B的坐標是，點D是AB邊上一個動點（與點A不重合），沿OD將OAD翻折，點A落在點P處當線段OD與PC所

5、在直線垂直時，在PC所在直線上作出一點M，使DM+BM最小，并求出這個最小值 圖1 圖1-1設計思想：本題繼續延用例1的作圖方法解決一類幾何極值問題同時應用解直角三角形、線段與坐標的相互轉化等舊知識來解決問題解：如圖1-1，OAD沿OD翻折，點A落在點P處，OD垂直平分AP.PCOD，A、P、C三點共線.在中，OAD=90°，OA=1，又可得：AOD=30°，AD=AO，D.作點B關于直線AC的對稱點，過點作AB于點N，連結，與AC交點為M，此點為所求點.可得：=30°，.在中，=90°，DM+BM的最小值為 五.練習:1在直角坐標系內有兩點A(-1，1

6、)、B(3，3)，若M為軸上一點，且MA+MB最小，則M的坐標是_.2.（06課標）已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點A（0，3），與x軸分別交于B（1，0）、C（5，0）兩點.（1）求此拋物線的解析式；（2）若一個動點P自OA的中點M出發，先到達x軸上的某點（設為點E），再到達拋物線的對稱軸上某點（設為點F），最后運動到點A.求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長.3.（09北京中考）如圖，在平面直角坐標系xOy中，ABC三個頂點的坐標分別為A, B（6,0），C,延長AC到點D，使CD=AC，過D點作DEAB交BC的延長線于點E.（1）求D點的坐標.（

7、2）作C點關于直線DE的對稱點F，分別連結DF、EF，若過B點的直線將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式.（3）設G為y軸上一點，點P從直線與y軸的交點出發，先沿y軸到達G點，再沿GA到達A點.若P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短.（要求：簡述確定G點位置的方法，但不要求證明）參考答案：1（0，0）2.解：（1）根據題意，c3 所以 解得 所以拋物線解析式為 （2）如圖，由題意，可得 點M關于x軸的對稱點為點A關于拋物線對稱軸的對稱點為A'（6，3） 連結A'M'，根據

8、軸對稱性及兩點間線段最短可知，A'M'的長就是所求點P運動的最短總路徑的長 所以A'M'與x軸的交點為所求E點，與直線x3的交點為所求F點. 可求得直線A'M'的解析式為 可得E點坐標為（2，0），F點坐標為（3，） 由勾股定理可求出所以點P運動的最短總路徑（MEEFFA）的長為.3解：如圖（1）A（，0），C（0，），OA=6，OC=設DE與y軸交于點M由DEAB可得 DMCAOC又CD=AC，CM =，MD=3 同理可得EM=3 OM =D點的坐標為 (3，) （2）由（1）可得點M的坐標為（0，）由DEAB，EM=MD，可得軸所在直線是線段

9、ED的垂直平分線點C關于直線DE的對稱點F在軸上 ED與CF互相垂直平分CD=DF=FE=EC 四邊形CDFE為菱形，且點M為其對稱中心作直線BM 設BM與CD、EF分別交于點S、點T可證FTM CSM FT = CS .FE = CD ，TE = SD .EC=DF ，TE+ EC + CS+ST =SD+DF+FT+TS 直線MB將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形由點B的坐標（6，0），點M（0，）在直線上，可得直線BM的解析式為 （3）確定G點位置的方法：過A點作AHBM于點H，則AH與y軸的交點為所求的G點 由OB=6，OM=，可得 OBM=60°BAH=30°在RtOAG中，OG=G點的坐標為（0，）（或G點的位置為線段OC中點）六.總結:本節課讓學生學會運用軸對稱的作圖解決一類幾何極值問題，在知識教學中滲透數學方法和思想，幫助學生提高解決問題的能力，自覺增強學生的數學來自于實際，又反過來指導解決實際問題的意識七.反思:這節課的難度大，一些學困生可能會在解題過程中失去信心，而一些好的學生又覺得沒有意思失去興趣因此在教學設計上，