1、第2課時線性規劃的整數解和非線性規劃問題學習目標1.了解實際線性規劃中的整數解求法.2.會求一些簡單的非線性規劃的最優解.知識點一非線性約束條件思考類比探究二元一次不等式表示平面區域的方法，畫出約束條件(xa)2(yb)2r2的可行域.答案梳理非線性約束條件的概念：約束條件不是二元一次不等式，這樣的約束條件稱為非線性約束條件.知識點二非線性目標函數思考在問題“若x，y滿足求z的最大值”中，你能仿照目標函數zaxby的幾何意義來解釋z的幾何意義嗎？答案z的幾何意義是點(x，y)與點(1,1)連線的斜率.梳理下表是一些常見的非線性目標函數.目標函數目標函數變形幾何意義最優解求法zaxby (ab0

2、)yx在y軸上的截距是平移直線yx，使在y軸上的截距最大(或最小)(xa)2(yb)2令m(xa)2(yb)2，則目標函數為()2點(x，y)與點(a，b)距離的平方改變圓(xa)2(yb)2r2的半徑，尋求可行域最先(或最后)與圓的交點點(x，y)與定點(a，b)連線的斜率繞定點(a，b)旋轉直線，尋求與可行域最先(或最后)相交時的直線的斜率1.可行域內的整點指橫坐標、縱坐標均為整數的點.()2.目標函數zx2y2的幾何意義為點(x，y)到點(0,0)的距離.()3.目標函數zaxby(b0)中，z的幾何意義是直線axbyz0在y軸上的截距.()類型一生活實際中的線性規劃問題例1某工廠制造甲

3、、乙兩種家電產品，其中每件甲種家電需要在電器方面加工6小時，裝配加工1小時，每件甲種家電的利潤為200元；每件乙種家電需要在外殼配件方面加工5小時，在電器方面加工2小時，裝配加工1小時，每件乙種家電的利潤為100元.已知該工廠可用于外殼配件方面加工的能力為每天15小時，可用于電器方面加工的能力為每天24小時，可用于裝配加工的能力為每天5小時.問該工廠每天制造兩種家電各幾件，可使獲取的利潤最大？(每天制造的家電件數為整數)考點線性規劃中的整點問題題點線性規劃中的整點問題解設該工廠每天制造甲、乙兩種家電分別為x件，y件，獲取的利潤為z百元，則z2xy(百元)，即作出可行域，如圖陰影部分中的整點，由

4、圖可得O(0,0)，A(0,3)，B(2,3)，C，D(4,0).平移直線y2xz，又x，yN，所以當直線過點(3,2)或(4,0)時，z有最大值.所以工廠每天制造甲種家電3件，乙種家電2件或僅制造甲種家電4件，可獲利最大.反思與感悟在實際應用問題中，有些最優解往往需要整數解(比如人數、車輛數等)，而直接根據約束條件得到的不一定是整數解，可以運用列舉法驗證求最優整數解，或者運用平移直線求最優整數解.最優整數解有時并非只有一個，應具體情況具體分析.跟蹤訓練1預算用2 000元購買單價為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的總數盡可能的多，但椅子數不少于桌子數，且不多于桌子數的1.5倍，問

5、桌子、椅子各買多少才是最好的選擇？考點線性規劃中的整點問題題點線性規劃中的整點問題解設桌子、椅子分別買x張，y把，目標函數zxy，把所給的條件表示成不等式組，即約束條件為由解得所以A點的坐標為.由解得所以B點坐標為.所以滿足條件的可行域是以A，B，O為頂點的三角形區域(含邊界)(如圖)，由圖形可知，目標函數zxy在可行域內經過點B時取得最大值，但注意到xN，yN，故取故買桌子25張，椅子37把是最好的選擇.類型二非線性目標函數的最值問題例2已知實數x，y滿足約束條件試求z的最大值和最小值.考點非線性目標函數的最值問題題點求斜率型目標函數的最值解作出不等式組表示的平面區域如圖陰影部分(包含邊界)

6、所示，由于z，故z的幾何意義是點(x，y)與點M(1，1)連線的斜率，因此的最值是點(x，y)與點M(1，1)連線的斜率的最值，由圖可知，直線MB的斜率最大，直線MC的斜率最小，又B(0,2)，C(1,0)，zmaxkMB3，zminkMC.z的最大值為3，最小值為.引申探究1.把目標函數改為z，求z的取值范圍.解z，其中k的幾何意義為點(x，y)與點N連線的斜率.由圖易知，kNCkkNB，即k，k7，z的取值范圍是.2.把目標函數改為z，求z的取值范圍.解z2.設k，仿例2解得k1.z.反思與感悟對于形如的目標函數，可變形為定點到可行域上的動點連線斜率問題.跟蹤訓練2實數x，y滿足則z的取值

7、范圍是()A.1,0 B.(，0C.1，) D.1,1)考點題點答案D解析作出可行域陰影部分，如圖所示，的幾何意義是點(x，y)與點(0,1)連線l的斜率，當直線l過B(1,0)時kl最小，最小為1.又直線l不能與直線xy0平行，kl1.綜上，k1,1).例3已知x，y滿足約束條件試求zx2y2的最大值和最小值.考點非線性目標函數的最值問題題點求距離型目標函數的最值解zx2y2表示可行域內的點到原點的距離的平方，結合圖形(例2圖)知，原點到點A的距離最大，原點到直線BC的距離最小.故zmax|OA|213，zmin22.反思與感悟當兩點間的距離、點到直線的距離與可行域相結合求最值時，注意數形結

8、合思想方法的靈活運用.跟蹤訓練3變量x，y滿足約束條件(1)設z，求z的最小值；(2)設zx2y2，求z的取值范圍；(3)設zx2y26x4y13，求z的取值范圍.考點非線性目標函數的最值問題題點求距離型目標函數的最值解由約束條件作出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示.由解得A；由解得C(1,1)；由解得B(5,2).(1)因為z，所以z的值即是可行域中的點與原點O連線的斜率.觀察圖形可知zminkOB.(2)zx2y2的幾何意義是可行域上的點到原點O的距離的平方.結合圖形可知，可行域上的點到原點的距離中，dmin|OC|，dmax|OB|，即2z29.(3)zx2y26x4y13(x3)2(y

9、2)2的幾何意義是可行域上的點到點(3,2)的距離的平方.結合圖形可知，可行域上的點到點(3,2)的距離中，dmin1(3)4，dmax5(3)8.所以16z64.1.某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤.根據需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有()A.5種 B.6種 C.7種 D.8種考點線性規劃中的整點問題題點線性規劃中的整點問題答案C解析設購買軟件x片，磁盤y盒，則畫出線性約束條件表示的平面區域，如圖陰影部分(含邊界)所示.落在陰影部分(含邊界)區域的整點有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，

10、(5,2)，(6,2)共7個整點.即有7種選購方式.2.已知點P(x，y)的坐標滿足約束條件則x2y2的最大值為()A. B.8 C.16 D.10考點非線性目標函數的最值問題題點求距離型目標函數的最值答案D解析畫出不等式組對應的可行域如圖(陰影部分含邊界)所示，易得A(1,1)，|OA|，B(2,2)，|OB|2，C(1,3)，|OC|.(x2y2)max|OC|2()210.3.若x，y滿足約束條件則z的最大值是_.考點非線性目標函數的最值問題題點求斜率型目標函數的最值答案3解析作出不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分所示(包括邊界).z可看作可行域上的點(x，y)與定點B(1,1)連線的

11、斜率.由圖可知z的最大值為kAB3.4.已知實數x，y滿足約束條件則zx2y2的最小值為_.考點非線性目標函數的最值問題題點求距離型目標函數的最值答案解析實數x，y滿足的可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，則z的最小值為原點到直線AB的距離的平方，故zmin2.1.畫圖對解決線性規劃問題至關重要，關鍵步驟基本上是在圖上完成的，所以作圖應盡可能準確，圖上操作盡可能規范.2.在實際應用問題中，有些最優解往往需要整數解(比如人數、車輛數等)，應結合可行域與目標函數微調.3.對于非線性目標函數，應準確翻譯其幾何意義，如x2y2是點(x，y)到點(0,0)的距離的平方，而非距離.一、選擇題1.在“家電下

12、鄉”活動中，某廠要將100臺洗衣機運往鄰近的鄉鎮.現有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用.每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機20臺；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機10臺.若每輛車至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為()A.2 000元 B.2 200元C.2 400元 D.2 800元考點線性規劃中的整點問題題點線性規劃中的整點問題答案B解析設需使用甲型貨車x輛，乙型貨車y輛，運輸費用z元，根據題意，得線性約束條件求線性目標函數z400x300y的最小值，可行域如圖陰影部分(含邊界)所示，解得當時，z有最小值，且zmin2 200(元).2.已知O是坐標原點，點A(1,1)

13、，若點M(x，y)為平面區域上的一個動點，則的取值范圍是()A.1,0 B.0,1C.0,2 D.1,2考點線性目標最優解題點求線性目標函數的最優解答案C解析作出可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示，因為xy.所以設zxy，作l0：xy0，易知過點P(1,1)時，z有最小值，zmin110；過點Q(0,2)時，z有最大值，zmax022，所以的取值范圍是0,2.3.某公司有60萬元資金，計劃投資甲、乙兩個項目，按要求對項目甲的投資不小于對項目乙投資的，且對每個項目的投資不能低于5萬元，對項目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確規劃投資后，在

14、這兩個項目上共可獲得的最大利潤為()A.36萬元 B.31.2萬元C.30.4萬元 D.24萬元考點線性目標函數的最值問題題點求線性目標函數的最值答案B解析設投資甲項目x萬元，投資乙項目y萬元，可獲得利潤z萬元，則z0.4x0.6y.可行域如圖陰影部分(含邊界)所示，由圖象知，目標函數z0.4x0.6y在A點取得最大值.由得A(24,36)，zmax0.4240.63631.2(萬元).4.設x，y滿足約束條件則的最大值是()A.5 B.6 C.8 D.10考點非線性目標函數的最值問題題點求斜率型目標函數的最值答案D解析畫出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示，的幾何意義是點M(1，1)與可行域內

15、的點P(x，y)連線的斜率，當點P移動到點N(0,4)時，斜率最大，最大值為5，max2510.故選D.5.設zxy，其中實數x，y滿足若z的最大值為6，則z的最小值為()A.3 B.2 C.1 D.0考點線性規劃中的參數問題題點線性規劃中的參數問題答案A解析作出不等式組對應的平面區域如圖中陰影部分所示，由zxy，得yxz，由圖可知當直線yxz經過點A時，直線yxz在y軸上的截距最大，此時z最大為6，由得即點A(k，k)，zkk6，得k3.當直線yxz經過點B時，z取得最小值，由解得即點B(6,3)，此時z的最小值為633.6.設實數x，y滿足則z的取值范圍是()A. B.C. D.考點非線性

16、目標函數的最值問題題點求非線性目標函數最值問題綜合答案D解析令k，則ykx(因為x0，所以k存在)，直線ykx恒過原點，不等式組表示的可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，當直線ykx過點A(1,2)時，斜率有最大值2；當直線ykx過點B(3,1)時，斜率有最小值，所以斜率k的取值范圍為，又zk，當k時，zk為減函數；當k1,2時，zk為增函數，可得z的取值范圍為，故選D.7.若滿足條件的整點(x，y)(整點是指橫、縱坐標都是整數的點)恰有9個，則整數a的值為()A.3 B.2C.1 D.0考點線性規劃中的整點問題題點線性規劃中的整點問題答案C解析不等式組所表示的平面區域如圖陰影部分(含邊界)所

17、示，當a0時，只有4個整點(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0).當a1時，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)，5個整點.再加上a0時的四個整點，共9個整點，故選C.二、填空題8.某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y需滿足約束條件則z10x10y的最大值是_.考點線性規劃中的整點問題題點線性規劃中的整點問題答案90解析先畫出滿足約束條件的可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，由解得但xN*，yN*，結合圖知當x5，y4時，zmax90.9.實數x，y滿足不等式組則的取值范圍是_.考點非線性目標函數的最值問題題點求斜率型目標函數的最值答案解析如圖，畫出

18、滿足不等式組的解(x，y)構成的可行域ABO，求得B(2,2)，根據目標函數的幾何意義是可行域上一點(x，y)與點(1,1)連線的斜率，可求得目標函數的最小值為1，最大值為.故的取值范圍是.10.已知則x2y2的最小值是_.考點非線性目標函數的最值問題題點求距離型目標函數的最值答案5解析令zx2y2，畫出可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示，令d，即可行域中的點到原點的距離，由圖得dmin，zmind25.三、解答題11.某超市要將甲、乙兩種大小不同的袋裝大米分裝成A，B兩種規格的小袋，每袋大米可同時分得A，B兩種規格的小袋大米的袋數如表所示：規格類型袋裝大米類型AB甲21乙13已知庫房中現有甲

19、、乙兩種袋裝大米的數量分別為5袋和10袋，市場急需A，B兩種規格的成品數分別為15袋和27袋.問分甲、乙兩種袋裝大米各多少袋可得到所需A，B兩種規格的成品數，且使所用的甲、乙兩種袋裝大米的袋數最少？(要求畫出可行域)考點線性規劃中的整點問題題點線性規劃中的整點問題解設需分甲、乙兩種袋裝大米的袋數分別為x，y，所用的袋裝大米的總袋數為z，則zxy(x，y為整數)，作出可行域D如圖陰影部分(含邊界)所示.從圖中可知，可行域D的所有整數點為(3,9)，(3,10)，(4,8)，(4,9)，(4,10)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，共8個點.因為目標函數為zxy(x，y為整數)，所以在一組平

20、行直線xyt(t為參數)中，過可行域內的整點且與原點距離最近的直線是xy12，其經過的整點是(3,9)和(4,8)，它們都是最優解.所以，需分甲、乙兩種袋裝大米的袋數分別為3,9或4,8可使所用的袋裝大米的袋數最少.12.設非負實數x，y滿足(2,1)是目標函數zax3y(a0)取最大值時的最優解，求a的取值范圍.考點線性規劃中的參數問題題點線性規劃中的參數問題解作出不等式組所表示的平面區域(陰影部分含邊界)，由zax3y(a0)，得yx，因為當直線zax3y(a0)過P(2,1)時，z取最大值，所以由圖可知2，所以a6，所以a的取值范圍是6，).13.已知求：(1)zx2y210y25的最小值；(2)z的取值范圍