1、實驗四 信號抽樣與調制解調一、實驗目的1、進一步理解信號的抽樣及抽樣定理；2、進一步掌握抽樣信號的頻譜分析；3、掌握和理解信號抽樣以及信號重建的原理；4、掌握傅里葉變換在信號調制與解調中的應用。基本要求：掌握并理解“抽樣”的概念，理解抽樣信號的頻譜特征。深刻理解抽樣定理及其重要意義。一般理解信號重建的物理過程以及內插公式所描述的信號重建原理。理解頻率混疊的概念。理解調制與解調的基本概念，理解信號調制過程中的頻譜搬移。掌握利用MATLAB仿真正弦幅度調制與解調的方法。二、實驗原理及方法1、信號的抽樣及抽樣定理抽樣（Sampling），就是從連續時間信號中抽取一系列的信號樣本，從而，得到一個離散時

2、間序列（Discrete-time sequence），這個離散序列經量化（Quantize）后，就成為所謂的數字信號（Digital Signal）。今天，很多信號在傳輸與處理時，都是采用數字系統（Digital system）進行的，但是，數字系統只能處理數字信號，不能直接處理連續時間信號或模擬信號（Analog signal）。為了能夠處理模擬信號，必須先將模擬信號進行抽樣，使之成為數字信號，然后才能使用數字系統進行傳輸與處理。所以，抽樣是將連續時間信號轉換成離散時間信號必要過程。模擬信號經抽樣、量化、傳輸和處理之后，其結果仍然是一個數字信號，為了恢復原始連續時間信號，還需要將數字信號經

3、過所謂的重建（Reconstruction）和平滑濾波（Smoothing）。圖4.1展示了信號抽樣與信號重建的整個過程。AntialiasingfilterSampler/HolderA/D convertorDigital ProcessorD/A convertorAntialiasingfilter圖4.1 模擬信號的數字處理過程圖4.2給出了信號理想抽樣的原理圖：圖4.2 (a) 抽樣原理圖，(b) 帶限信號的頻譜(a)(b)上圖中，假設連續時間信號是一個帶限信號（Bandlimited Signal），其頻率范圍為，抽樣脈沖為理想單位沖激串（Unit Impulse Train），

4、其數學表達式為： 4.1由圖可見，模擬信號x(t)經抽樣后，得到已抽樣信號（Sampled Signal）xs(t)，且： 4.2將p(t)的數學表達式代入上式得到： 4.3顯然，已抽樣信號xs(t) 也是一個沖激串，只是這個沖激串的沖激強度被x(nTs) 加權了。從頻域上來看，p(t) 的頻譜也是沖激序列，且為： 4.4根據傅里葉變換的頻域卷積定理，時域兩個信號相乘，對應的積的傅里葉變換等于這兩個信號的傅里葉變換之間的卷積。所以，已抽樣信號xs(t)的傅里葉變換為： 4.5表達式4.5告訴我們，如果信號x(t)的傅里葉變換為X(jw)，則已抽樣信號xs(t) 的傅里葉變換Xs(jw)等于無窮

5、多個加權的移位的X(jw)之和，或者說，已抽樣信號的頻譜等于原連續時間信號的頻譜以抽樣頻率ws為周期進行周期復制的結果。如圖4.3所示：圖4.3 信號抽樣及其頻譜圖由圖可見，如果抽樣頻率不小于信號帶寬的2倍時，xs(t) 的頻譜中，X(jw)的各個復制品之間沒有混疊（Aliasing），因此，可以用一個理想低通濾波器來恢復原始信號。由抽樣信號恢復原來的原始信號的過程稱為信號的重建( Reconstruction )。反之，如果抽樣頻率小于信號帶寬的2倍時，xs(t) 的頻譜中，X(jw)的各個復制品之間的距離（也就是ws）太近，所以必將造成頻譜之間的混疊，在這種情況下，是無論如何也無法恢復出原

6、來的連續時間信號的。由此，我們得出下面的結論：當抽樣頻率 ws > 2wM 時，將原連續時間信號x(t)抽樣而得到的離散時間序列xn可以唯一地代表原連續時間信號，或者說，原連續時間信號x(t)可以完全由xn唯一地恢復。以上討論的是理想抽樣的情形，由于理想沖激串是無法實現的，因此，這種理想抽樣過程，只能用來在理論上進行抽樣過程的分析。在實際抽樣中，抽樣往往是用一個A/D轉換器實現的。一片A/D轉換芯片包含有抽樣保持電路和量化器。模擬信號經過A/D轉換器后，A/D轉換器的輸出信號就是一個真正意義上的離散時間信號，而不再是沖激串了。A/D轉換器的示意圖如圖4.4所示。HolderQuantiz

7、erSampler圖4.4 A/D轉換器示意圖上述的實際抽樣過程，很容易用簡單的數學公式來描述。設連續時間信號用x(t)表示，抽樣周期（Sampling Period）為Ts，抽樣頻率（Sampling Frequency）為ws，則已抽樣信號的數學表達式為 4.6在MATLAB中，對信號抽樣的仿真，實際上就是完成式4.6的計算。下面給出一個例題和相應的范例程序，來實現信號抽樣的仿真運算。例題4.1 設連續時間信號為一個正弦信號 x(t) = cos(0.5t)，抽樣周期為Ts = 1/4秒，編程序繪制信號x(t)和已抽樣信號xn的波形圖。范例程序Sampling如下：% Samplingcl

8、ear, close all,t = 0:0.01:10;Ts = 1/4; % Sampling periodn = 0:Ts:10; % Make the time variable to be discretex = cos(0.5*pi*t);xn = cos(0.5*pi*n); % Samplingsubplot(221)plot(t,x), title('A continuous-time signal x(t)'), xlabel('Time t')subplot(222)stem(n,xn,'.'), title('Th

9、e sampled version xn of x(t)'), xlabel('Time index n')執行該程序后，得到的波形圖如圖4.5所示。圖4.5 連續時間信號及其抽樣后的離散時間序列在這個范例程序中，先將連續時間t進行離散化，使之成為以Ts = 1/4秒的離散時間n，然后，將n代入到信號x(t) 的數學表達式中計算，就完成了抽樣過程，且得到了抽樣后的離散時間序列xn。2、 信號抽樣過程中的頻譜混疊為了能夠觀察到已抽樣信號的頻譜是否會存在混疊現象，或者混疊程度有多么嚴重，有必要計算并繪制出已抽樣信號的傅里葉變換。根據式4.5可計算出已抽樣信號的頻譜。下面給出

10、的范例程序Program4_1就是按照式4.5進行計算的。其中，主要利用了一個for循環程序完成周期延拓運算。% Program4_1clear, close all,tmax = 4; dt = 0.01; t = 0:dt:tmax;Ts = 1/10; ws = 2*pi/Ts;w0 = 20*pi; dw = 0.1;w = -w0:dw:w0;n = 0:1:tmax/Ts; x = exp(-4*t).*u(t);xn = exp(-4*n*Ts);subplot(221)plot(t,x), title('A continuous-time signal x(t)'

11、;),xlabel('Time t'), axis(0,tmax,0,1), grid onsubplot(223)stem(n,xn,'.'), title('The sampled version xn of x(t)'),xlabel('Time index n'), axis(0,tmax/Ts,0,1), grid onXa = x*exp(-j*t'*w)*dt;X = 0;for k = -8:8; X = X + x*exp(-j*t'*(w-k*ws)*dt;endsubplot(222)plot

12、(w,abs(Xa)title('Magnitude spectrum of x(t)'), grid onaxis(-60,60,0,1.8*max(abs(Xa)subplot(224)plot(w,abs(X)title('Magnitude spectrum of xn'), xlabel('Frequency in radians/s'),grid onaxis(-60,60,0,1.8*max(abs(Xa)本程序可以用來觀察在不同的抽樣頻率條件下，已抽樣信號的頻譜的混疊程度，從而更加牢固地理解抽樣定理。但是，提請注意的是，在for循

13、環程序段中，計算已抽樣信號的頻譜X 時，沒有乘以系數1/Ts，是為了便于比較X與Xa之間的區別，從而方便觀察頻譜的混疊程度。另外，程序中的時間步長dt的選擇應該與抽樣周期Ts保持一定的比例關系，建議Ts不應小于10dt，否則，計算得到的已抽樣信號的頻譜將出現錯誤。3、 信號重建如果滿足抽樣定理，那么，我們就可以唯一地由已抽樣信號xn 恢復出原連續時間信號x(t)。在理想情況下，可以將離散時間序列通過一個理想低通濾波器，圖4.6給出了理想情況下信號重建的原理示意圖。圖4.6 信號重建原理圖Ideal Lowpass Filter理想低通濾波器也稱重建濾波器，它的單位沖激響應 4.7已抽樣信號xp

14、(t)的數學表達式為：，根據系統輸入輸出的卷積表達式，我們有 4.8將xp(t)代入式4.8，有 4.9這個公式稱為內插公式（Interpolation Formula），該公式的推導詳見教材，請注意復習有關內容。須提請注意的是，這里的內插公式是基于重建濾波器為理想低通濾波器的。若重建濾波器不是理想低通濾波器，則不能用這個內插公式。理想低通濾波器的頻率響應特性曲線和其單位沖激響應曲線如圖4.7所示。圖4.7 理想低通濾波器的幅度頻率響應和單位沖激響應范例程序程序Program4_2就是根據這個內插公式來重構原始信號。本程序已經做了較為詳細的注釋，請結合教材中的內插公式仔細閱讀本程序，然后執行，

15、以掌握和理解信號重建的基本原理。范例程序Program4_2如下。% Program4_2% Signal sampling and reconstruction% The original signal is the raised cosin signal: x(t) = 1+cos(pi*t).*u(t+1)-u(t-1). clear; close all,wm = 2*pi; % The highest frequency of x(t)a = input('Type in the frequency rate ws/wm=:'); % ws is the sampli

16、ng frequencywc = wm; % The cutoff frequency of the ideal lowpass filtert0 = 2; t = -t0:0.01:t0;x = (1+cos(pi*t).*(u(t+1)-u(t-1);subplot(221); % Plot the original signal x(t)plot(t,x); grid on, axis(-2,2,-0.5,2.5);title('Original signal x(t)');xlabel('Time t');ws = a*wm; % Sampling fr

17、equencyTs = 2*pi/ws; % Sampling periodN = fix(t0/Ts); % Determine the number of samplersn = -N:N;nTs = n*Ts; % The discrete time variablexs = (1+cos(pi*nTs).*(u(nTs+1)-u(nTs-1); % The sampled version of x(t)subplot(2,2,2) % Plot xsstem(n,xs,'.'); xlabel('Time index n'); grid on, titl

18、e('Sampled version xn');xr = zeros(1,length(t); % Specify a memory to save the reconstructed signalL = length(-N:N);xa = xr;figure(2); % Open a new figure window to see the demo of signal reconstructionstem(nTs,xs,'.'); xlabel('Time index n'); grid on;hold onfor i = 1:L m = (

19、L-1)/2+1-i; xa = Ts*(wc)*xs(i)*sinc(wc)*(t+m*Ts)/pi)/pi; plot(t,xa,'b:');axis(-2,2,-0.5,2.5); hold on pause xr = xr+xa; % Interpolationendplot(t,xr,'r'); axis(-2,2,-0.5,2.5); hold onfigure(1);subplot(223)plot(t,xr,'r');axis(-2,2,-0.5,2.5);xlabel('Time t');grid ontitle

20、('Reconstructed signal xr(t)');% Compute the error between the reconstructed signal and the original signalerror = abs(xr-x); subplot(2,2,4)plot(t,error);grid ontitle('Error');xlabel('Time t')4、 調制與解調在通信系統（Communication system）中，信號在傳輸之前，往往需要先對它進行調制（Modulation），然后才能發射出去。在接收端，還

21、要進行解調（Demodulation），才能恢復原信號。在實際應用中，有多種調制方法，在信號與系統中，僅介紹了模擬調制中的正弦幅度調制（Sinusoidal amplitude modulation）。正弦幅度調制就是利用高頻正弦信號的幅度攜帶調制信號x(t)，也就是使高頻正弦信號的幅度隨調制信號的變化而變化。正弦調制的解調分為同步解調（Synchronous demodulation）和異步解調（Asychronous demodulation），調制與解調的原理框圖如圖4.8所示。圖中，需要傳輸的信號稱為調制信號（Modulating signal），頻率為wc的正弦信號稱為載波（Carr

22、ier），wc稱為載頻，調制器的輸出信號稱為已調信號（Modulated signal）。正弦幅度調制的基本原理，就是將調制信號與一個高頻正弦載波相乘，從而將調制信號的頻譜搬移到較高的頻段上，以利于發射傳輸。圖4.8 正弦幅度調制與解調 (a) 調制 (b) 同步解調(a)(b)Lowpass filter下面，我們回顧一下調制與解調過程中的時域和頻域的有關情況。從時域上看，已調信號的數學表達式為 4.10調制信號x(t)、載波c(t)和已調信號y(t)的波形如圖4.9所示圖4.9 正弦幅度調制中信號的波形從頻域上看，假設調制信號是一個帶限信號，其頻譜用X(jw) 表示，而正弦載波cos(wc

23、t) 的頻譜C(jw) 由兩個沖激構成，即 4.11根據傅里葉變換的頻域卷積定理可知，已調信號的頻譜為 4.12即 4.13式4.13說明，已調信號的頻譜由兩個移位的X(jw)構成，位移量為 ±wc。圖4.10示出了調制過程中各信號的頻譜圖。從已調信號的頻譜上看，我們發現，調制信號為低通信號（Lowpass signal），其帶寬（Bandwidth）為wM，而已調信號則變成了一個帶寬為2wM的帶通信號（Bandpass signal）。這表明，通過調制，信號在傳輸過程中，與不調制而直接傳輸相比，需要占居更寬的信道（Channel）帶寬。圖4.10 調制過程中各信號的頻譜圖從圖4.8

24、可以看出，同步解調的原理類似于調制原理，只是在乘法器（Multiplier）后面接了一個低通濾波器，請同學們參看教材中的相關內容，自行分析同步解調的原理，并繪制出同步解調過程中各信號的頻譜圖。5、 通信系統中的調制與解調仿真本實驗室利用MATALAB對通信系統中的調制與解調、濾波等進行仿真。具體方法簡述如下：1、在命令窗口鍵入simulink然后按回車鍵，這時屏幕上將出現一個新界面：Simulink Library Browser 界面。2、新建仿真系統圖：第一步：單擊左上角的新建按鈕，將在屏幕右部出現建模窗口；第二步：建立仿真系統的系統函數。單擊continuous模塊，選擇系統函數功能框，

25、將它拖放到空白圖面上，然后雙擊該功能框，又出現參數選擇對話框，在該框中設定好仿真系統（濾波器）的參數。如果仿真模型中需要多個系統函數功能框圖，可重復第二步；第三步：選擇信號源。單擊Sources模塊，選擇需要的信號源拖放到模型圖中，然后雙擊已設定適當的參數；第四步：選擇信號之間的運算單元，如加法器，乘法器（調制器）等。單擊Math Operations 模塊，選擇所需的運算單元，拖放到模型圖中并雙擊加以設定；第五步：選擇顯示器，通常選擇示波器。單擊Sinks模塊，并拖放到模型圖中；雙擊加以設定；第六步：將模型圖中的所有元件調整好位置，然后進行連接。3、選擇仿真時間，單擊模型圖上部的Simula

26、tion菜單，選中Simulation Parameters子菜單設定方針的起止時間，如不設定，則系統默認的起止時間為010s。4、單擊運行按鈕開始仿真，雙擊示波器即可看到仿真結果。三、實驗內容及步驟實驗前，必須首先閱讀本實驗原理，了解所給的MATLAB相關函數，讀懂所給出的全部范例程序。實驗開始時，先在計算機上運行這些范例程序，觀察所得到的信號的波形圖。并結合范例程序所完成的工作，進一步分析程序中各個語句的作用，從而真正理解這些程序的編程算法。實驗前，一定要針對下面的實驗項目做好相應的實驗準備工作，包括事先編寫好相應的實驗程序等事項。Q4-1 給范例程序Program4_1加注釋。Q4-2

27、范例程序Program4_1中的連續時間信號x(t) 是什么信號？它的數學表達式為：Q4-3 在1/21/10之間選擇若干個不同Ts值，反復執行執行范例程序Program4_1，保存執行程序所得到的圖形。Ts = 1/2時的信號時域波形和頻譜圖Ts = 1/4時的信號時域波形和頻譜圖Ts = 1/8時的信號時域波形和頻譜圖根據上面的三幅圖形，作一個關于抽樣頻率是怎樣影響已抽樣信號頻譜的小結。答：程序Program4_1中的連續信號是否是帶限信號？如果不是帶限信號，是否可以選擇一個抽樣頻率能夠完全消除已抽樣信號中的頻譜的混疊？如果不是帶限信號，那么，這個連續時間信號在抽樣前必須濾波，請你選擇一個

28、較為合適的頻率作為防混疊濾波器的截止頻率，你選擇的這個截止頻率是多少？說明你的理由。答：Q4-4 請手工計算升余弦信號x(t) = 1+cos(pi*t).*u(t+1)-u(t-1) 的傅里葉變換的數學表達式，手工繪制其幅度頻譜圖。計算過程：手工繪制的升余弦信號x(t) = 1+cos(pi*t).*u(t+1)-u(t-1) 的幅度頻譜圖從上圖的幅度頻譜上看，升余弦信號是否是帶限信號？能否近似將它看作是一個帶限信號？如果可以，那么，估計信號的最高頻率大約是多少？答：Q4-5 閱讀范例程序Program4_2，在這個程序中，選擇的信號的最高頻率是多少？這個頻率選擇得是否恰當？為什么？答：Q4

29、-6 在18之間選擇抽樣頻率與信號最高頻率之比，即程序Program4_2中的a值，反復執行范例程序Program4_2，觀察重建信號與原信號之間的誤差，通過對誤差的分析，說明對于帶限信號而言，抽樣頻率越高，則頻譜混疊是否越小？答：RLC圖Q4-7 RLC串聯電路Q4-7 圖Q4-7是一個RLC串聯電路，在有些場合，可以把它用來作為一個濾波器使用，如果選擇不同的位置的信號作為輸出信號，該電路具有不同的濾波特性。該電路的輸出信號分別為y1(t)、y2(t)和y3(t)時，電路的輸入輸出微分方程和頻率響應的數學表達式分別形如：選擇y1(t)為輸出信號時（可將電路看成系統1）微分方程為 頻率響應為

30、選擇y2(t)為輸出信號時（可將電路看成系統2）微分方程為 頻率響應為 選擇y3(t)為輸出信號時（可將電路看成系統3）微分方程為 頻率響應為 請寫出上面的微分方程和頻率響應表達式中的參數x、wn與R、L、C之間的數學關系。Q4-8 編寫程序Q4_8，能夠接受從鍵盤輸入的x、wn之值，計算并在同一個圖形窗口的三個子圖中繪制出這三個頻率響應特性曲線，要求每個子圖有標題，繪制的頻率范圍為040弧度/秒。圖形布置如圖Q4-8所示。圖Q4-8 圖形布置（zeta = x， wn = wn）抄寫程序Q4_8如下：執行程序Q4_8，輸入zeta = 0.7，wn = 15，在圖形中的空白處，標上zeta 和wn之值，如圖Q4-8所示。保存所得到的圖形如下。 zeta = 0.7，wn = 15時的頻率響應曲線圖根據上面的圖形，請說明系統1、系統2和系統3分別具有何種濾波特性？答：固定zeta = 0.7，在230之間選擇不同的wn值，反復執行程序Q4_8，保存zeta = 0.7，wn = 5和zeta = 0.7，wn = 20所得到的兩