1、拋物線拋物線y=ax2+c的圖象和性質的圖象和性質1.拋物線拋物線y=ax2的頂點是原點的頂點是原點,對稱軸是對稱軸是y軸軸. 2.當當a0時，拋物線時，拋物線y=ax2在在x軸的上方軸的上方(除頂點外除頂點外),它它的開口向上的開口向上,并且向上無限伸展；并且向上無限伸展； 當當a0時時,在對稱軸的左側在對稱軸的左側,y隨著隨著x的增大而減小；在的增大而減小；在對稱軸右側對稱軸右側,y隨著隨著x的增大而增大的增大而增大.當當x=0時函數時函數y的值最小的值最小. 當當a0a0圖圖象象開口方向開口方向頂點坐標頂點坐標對稱軸對稱軸增增減減性性極值極值xyOyxO向上向上向下向下(0 ,0)(0

2、,0)y軸y軸當當x0時，時，y隨著隨著x的增大而增大。的增大而增大。 當當x0時，時，y隨著隨著x的增大而減小。的增大而減小。 x=0時,y最小=0 x=0時,y最大=0拋物線y=ax2 (a0)的形狀是由|a|來確定的,一般說來, |a|越大,拋物線的開口就越小.例例2. 2. 在同一直角坐標系中在同一直角坐標系中, ,畫出二次函數畫出二次函數y=xy=x2 2+1+1和和y=xy=x2 2 的圖像的圖像解解: :先列表先列表x x-3-3-2 -2 -1 -10 01 1 2 23 3y=xy=x2 2+1+1y=xy=x2 210105 52 21 12 25 510109 94 41

3、 10 01 14 49 9然后描點畫圖然后描點畫圖, ,得到得到y= xy= x2 21,y=x1,y=x2 2的圖像的圖像. .x.-2-1012y=x241014y=x2+1 8642-2-4y-10-5510 xOy=x2y=x2+15 2 1 2 5函數函數y=x2+1的圖象與的圖象與y=x2的的圖象的位置有什么關系圖象的位置有什么關系?函數函數y=x2+1的圖的圖象可由象可由y=x2的圖的圖象沿象沿y軸向軸向上上平移平移1個單位長度得到個單位長度得到.函數函數y=x2+1的圖的圖象與象與y=x2的圖象的圖象的形狀相同嗎的形狀相同嗎?相同相同1 2 3 4 5x12345678910

4、yo-1-2-3-4-5(1) (1) 拋物線拋物線y=xy=x2 2+1,y=x+1,y=x2 2的開口方向、的開口方向、對稱軸、頂點各是什么對稱軸、頂點各是什么? ?(2)(2)拋物線拋物線y=xy=x2 2+1 +1 與拋物線與拋物線y=xy=x2 2有什么有什么關系關系? ?拋物線拋物線y=xy=x2 2+1:+1:開口向上開口向上, ,頂點為頂點為(0,1).(0,1).對稱軸是對稱軸是y y軸軸, ,拋物線拋物線y=xy=x2 2: :開口向上開口向上, ,頂點為頂點為(0, 0).(0, 0).對稱軸是對稱軸是y y軸軸, ,y=xy=x2 2+1+1y=xy=x2 2例例2.2

5、.在同一直角坐標系中在同一直角坐標系中, ,畫出二次函數畫出二次函數y=xy=x2 2 -2 -2和和y=xy=x2 2 的圖像的圖像解解: :先列表先列表x x-3-3-2 -2 -1 -10 01 1 2 23 3y=xy=x2 2 -2 -2y=xy=x2 27 72 2-1 -1-2-2-1 -12 27 79 94 41 10 01 14 49 9然后描點畫圖然后描點畫圖, ,得到得到y= xy= x2 2 -2,y=x -2,y=x2 2的圖像的圖像. .8642-2-4y-10-5510 xOx.-2-1012y=x241014y=x2-2y=x2y=x2-22 -1 -2 -1

6、 2函數函數y=x2-2的圖象的圖象可由可由y=x2的圖象的圖象沿沿y軸向軸向下下平移平移2個單位長度得到個單位長度得到.函數函數y=x2-2的圖象與的圖象與y=x2的的圖象的位置有什么關系圖象的位置有什么關系?函數函數y=x2+1的圖的圖象與象與y=x2的圖象的圖象的形狀相同嗎的形狀相同嗎?相同相同1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5(1) (1) 拋物線拋物線y=xy=x2 2+1,y=x+1,y=x2 2的開口方向、的開口方向、對稱軸、頂點各是什么對稱軸、頂點各是什么? ?(2)(2)拋物線拋物線y=xy=x2 2+1 +1 與拋物線與拋物線y=xy=x2

7、2有什么有什么關系關系? ?拋物線拋物線y=xy=x2 2+1:+1:開口向上開口向上, ,頂點為頂點為(0,1).(0,1).對稱軸是對稱軸是y y軸軸, ,拋物線拋物線y=xy=x2 2: :開口向上開口向上, ,頂點為頂點為(0, 0).(0, 0).對稱軸是對稱軸是y y軸軸, ,y=xy=x2 2+1+1y=xy=x2 2(2)(2)拋物線拋物線y=xy=x2 2+1,y=x+1,y=x2 21 1與拋物線與拋物線y=xy=x2 2的異同點的異同點: :1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5y=xy=x2 2+1+1拋物線拋物線y=xy=x2 2拋物線拋物

8、線 y=xy=x2 21 1向向上上平移平移1 1個單位個單位拋物線拋物線y=xy=x2 2向向下下平移平移1 1個單位個單位y=xy=x2 21 1y=xy=x2 2拋物線拋物線 y=xy=x2 2+ +1 1相同點：相同點：形狀大小相同形狀大小相同開口方向相同開口方向相同對稱軸相同對稱軸相同不同點：不同點： 頂點的位置不同，頂點的位置不同，拋物線的位置也不拋物線的位置也不同同例例3.3.在同一直角坐標系中在同一直角坐標系中, ,畫出二次函畫出二次函數數y=-xy=-x2 2 和和y=-xy=-x2 2 +3+3， y=-xy=-x2 2 -2-2的圖像的圖像 函數函數y=ax2 (a0)和

9、函數和函數y=ax2+c (a0)的圖象形的圖象形狀狀 ，只是位置不同；當，只是位置不同；當c0時，函數時，函數y=ax2+c的圖象可由的圖象可由y=ax2的圖象向的圖象向 平移平移 個單位得到，個單位得到，當當c0時，函數時，函數y=ax2+c的圖象可由的圖象可由y=ax2的圖象的圖象向向 平移平移 個單位得到。個單位得到。42-2-4-6-8y-10-5510 xOy=-x2-2y=-x2+3y=-x2函數函數y=-x2-2的圖的圖象可由象可由y=-x2的圖的圖象沿象沿y軸向軸向下下平移平移2個單位長度得到個單位長度得到.函數函數y=-x2+3的圖的圖象可由象可由y=-x2的圖的圖象沿象沿

10、y軸向軸向上上平移平移3個單位長度得到個單位長度得到.圖象向上移還是向下移圖象向上移還是向下移,移多少個移多少個單位長度單位長度,有什么規律嗎有什么規律嗎?上加下減上加下減相同相同上上c下下|c|拋物線拋物線y=axy=ax2 2與與y=axy=ax2 2c c之間的關系是：之間的關系是：形狀大小相同，開口方向相同，對稱軸相同，形狀大小相同，開口方向相同，對稱軸相同，而頂點位置和拋物線的位置不同而頂點位置和拋物線的位置不同拋物線之間的平移規律：拋物線之間的平移規律：(c0)拋物線拋物線y=axy=ax2 2拋物線拋物線 y=axy=ax2 2c c向向上上平移平移c c個單位個單位拋物線拋物線

11、y=axy=ax2 2向向下下平移平移c c個單位個單位拋物線拋物線 y=axy=ax2 2+ +c c (1)函數函數y=4x2+5的圖象可由的圖象可由y=4x2的圖象的圖象 向向 平移平移 個單位得到；個單位得到；y=4x2-11的圖象的圖象 可由可由 y=4x2的圖象向的圖象向 平移平移 個單位得到。個單位得到。（3）將拋物線）將拋物線y=4x2向上平移向上平移3個單位，所得的個單位，所得的 拋物線的函數式是拋物線的函數式是 。 將拋物線將拋物線y=-5x2+1向下平移向下平移5個單位個單位,所得的所得的 拋物線的函數式是拋物線的函數式是 。(2)將函數將函數y=-3x2+4的圖象向的圖

12、象向 平移平移 個單位可得個單位可得 y=-3x2的圖象；將的圖象；將y=2x2-7的圖象向的圖象向 平移平移 個個 單位得到可由單位得到可由 y=2x2的圖象。將的圖象。將y=x2-7的圖象的圖象 向向 平移平移 個單位可得到個單位可得到 y=x2+2的圖象。的圖象。上上5下下11下下4上上7上上9y=4x2+3y=-5x2-4 當當a0時，拋物線時，拋物線y=ax2+c的開口的開口 ，對稱軸，對稱軸是是 ，頂點坐標是，頂點坐標是 ，在對稱軸的左側，在對稱軸的左側，y隨隨x的的增大而增大而 ，在對稱軸的右側，在對稱軸的右側,y隨隨x的增大而的增大而 ，當當x= 時，取得最時，取得最 值，這個

13、值等于值，這個值等于 ； 當當a0a0開口方向開口方向頂點坐標頂點坐標對稱軸對稱軸增增減減性性極值極值向上向上向下向下(0 ,c)(0 ,c)y軸y軸當當x0時，時，y隨著隨著x的增大而增大。的增大而增大。 當當x0時，時，y隨著隨著x的增大而減小。的增大而減小。 x=0時,y最小=0 x=0時,y最大=0拋物線y=ax2 +c (a0)的圖象可由y=ax2的圖象通過上下平移得到.（4）拋物線）拋物線y=-3x2+5的開口的開口 ，對稱軸是，對稱軸是 ，頂點坐標是頂點坐標是 ，在對稱軸的左側，在對稱軸的左側，y隨隨x的增大的增大而而 ，在對稱軸的右側，在對稱軸的右側，y隨隨x的增大而的增大而

14、，當當x= 時，取得最時，取得最 值，這個值等于值，這個值等于 。6.二次函數二次函數y=ax2+c (a0)的圖象經過點的圖象經過點A（1，-1），），B（2，5），則函數），則函數y=ax2+c的表達式為的表達式為 。若。若點點C(-2,m),D（n ,7）也在函數的圖象上，則點）也在函數的圖象上，則點C的坐標的坐標為為 點點D的坐標為的坐標為 .（5）拋物線）拋物線y=7x2-3的開口的開口 ，對稱軸是，對稱軸是 ，頂點坐標是頂點坐標是 ，在對稱軸的左側，在對稱軸的左側，y隨隨x的增大的增大而而 ，在對稱軸的右側，在對稱軸的右側，y隨隨x的增大而的增大而 ，當當x= 時，取得最時，取得最

15、 值，這個值等于值，這個值等于 。下下y軸軸(0,5)減小減小增大增大0大大5上上y軸軸(0,-3)減小減小 增大增大 0小小-3y=2x2-3(-2,5)7 ,5()7 ,5(或或 說出下列二次說出下列二次 函數的開口方向、函數的開口方向、對稱軸及頂點坐標對稱軸及頂點坐標 (1) y=5x2 (2) y=-3x2 +2 (3) y=8x2+6 (4) y= -x2-4向上，向上，y軸軸 （0, 0)向下，向下，y軸軸 （0, 2)向上，向上，y軸軸 （0, 6)向下，向下，y軸軸 （0, - 4)3 3、按下列要求求出拋物線的解析式：、按下列要求求出拋物線的解析式：（1 1）拋物線）拋物線y

16、=axy=ax2 2c c形狀與形狀與y=-2xy=-2x2 2+3+3的圖象形狀相同，但開口方向不同，頂點的圖象形狀相同，但開口方向不同，頂點坐標是（坐標是（0 0，1 1）, ,求拋物線的解析式。求拋物線的解析式。（2 2）拋物線）拋物線y=axy=ax2 2c c對稱軸是對稱軸是y y軸，頂軸，頂點（點（0 0，-3-3），且經過（），且經過（1 1，2 2），求拋），求拋物線的解析式物線的解析式. .(1)已知二次函數已知二次函數y=3x2+4,點點A(x1,y1), B(x2,y2),C(x3,y3), D(x4,y4)在其圖象上在其圖象上,且且x2 x40, 0 x3|x1|, |x3|x4|, 則則 ( )x1x2x3x4y1y4y3y2A.y1y2y3y4B.y2y1y3y4C.y3y2y4y1D.y4y2y3y1B x2 x1 B A o y x（2）已知二次）已知二次函數函數y=ax2+c ，當，當x取取x1,x2(x1 1x2, x1,x2分別是分別是A,B兩點的橫坐標兩點的橫坐標)時，函數值相等，時，函數值相等，則當則當x取取x1 1+ +x2時，函數值為時，函數值為 （ ） A. a+c B. a-c C. c D. cD)0(axa A o y x C o y x B o y x D o y x(3) 函數y=ax2-a與