1、精選優質文檔-傾情為你奉上數值計算方法復習提綱第一章 數值計算中的誤差分析1了解誤差及其主要來源，誤差估計；2了解誤差(絕對誤差、相對誤差)和有效數字的概念及其關系；3掌握算法及其穩定性，設計算法遵循的原則。1、 誤差的來源模型誤差觀測誤差截斷誤差舍入誤差2誤差與有效數字絕對誤差 E（x）=x-x 絕對誤差限 相對誤差 有效數字若，稱有n位有效數字。有效數字與誤差關系（1） m一定時，有效數字n越多，絕對誤差限越小；（2） 有n位有效數字，則相對誤差限為。選擇算法應遵循的原則1、 選用數值穩定的算法，控制誤差傳播；例 x2、 簡化計算步驟，減少運算次數；3、 避免兩個相近數相減，和接近零的數作

2、分母；避免第二章 線性方程組的數值解法1了解Gauss消元法、主元消元法基本思想及算法；2掌握矩陣的三角分解，并利用三角分解求解方程組；（Doolittle分解；Crout分解；Cholesky分解；追趕法） 3掌握迭代法的基本思想，Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法；4掌握向量與矩陣的范數及其性質,迭代法的收斂性及其判定 。本章主要解決線性方程組求解問題，假設n行n列線性方程組有唯一解，如何得到其解？ 兩類方法，第一是直接解法，得到其精確解；第二是迭代解法，得到其近似解。一、 Gauss消去法1、 順序auss消去法記方程組為：消元過程：經步消元，化為上三角方程組第步若回代過

3、程：、auss消去法避免回代，消元時上下同時消元、auss列主元消去法例 ：說明直接消元，出現錯誤由順序auss消去法，得；auss列主元消去法原理：每步消元前，選列主元，交換方程。算法：將方程組用增廣矩陣表示。（1）消元過程：對k=1,2,n-1,選主元，找 如果，則矩陣A奇異，程序結束；否則執行3。如果，則交換第k行與第行對應的元素位置， 消元，對i=k+1, ,n,計算 對j=L+1, ,n+1,計算 （2）回代過程：1若則矩陣A奇異，程序結束；否則執行。2 舉例說明。4、消元法應用（1）行列式計算；（2）矩陣求逆。二、利用矩陣三角分解求解線性方程組1、求解原理線性方程組寫成矩陣形式為：

4、AX=b若A=LU，則LUX= b，記UX=Y則LY= b若L、U為特殊矩陣，則求解線性方程組變為解兩個特殊線性方程組問題。2、 Doolittle分解L為下三角矩陣, U為上三角矩陣,不一定能分解,分解也不一定唯一;設L或U是單位三角矩陣, 若能分解,則可分解唯一.L是單位下三角矩陣,稱為Doolittle分解; U是單位上三角矩陣,稱為Crout分解；定理: n階矩陣A有唯一分解的充要條件為A的前n-1階主子式都不為0.Doolittle分解算法：由矩陣乘法：得到：算法特點：先計算U的行，再計算L的列，交替進行；存儲時可用緊湊格式。矩陣分解后，解兩個三角方程組：LY= b，UX=Y3、Cr

5、out分解若L為下三角矩陣，U是單位上三角矩陣，則稱Crout分解；算法特點：先計算L的列，再計算U的行，交替進行。4、正定對稱矩陣的平方根法（Cholesky分解）（1） 正定對稱矩陣性質與判定：定義：是n階對稱矩陣，若對任意非零向量，有，則稱A為正定對稱矩陣； 判定：A為n階正定對稱矩陣充要條件A的各階順序主子式大于0。（2） Cholesky分解定理：設A為n階正定對稱矩陣，則存在唯一主對角線元素都是正數的下三角陣L，使得.Cholesky分解算法：5、 追趕法 三對角矩陣的特殊分解三對角方程組的追趕法：追的過程LY=D趕的過程UX=Y2 線性方程組的迭代解法一、 Jacobi迭代公式例

6、： 其解為 方程變形得到迭代公式 給初值計算，觀察解的變化。一般地，對線性方程組若，則可從第i個方程中解出,得到Jacobi迭代公式：簡記為：二、 Gauss-Seidel迭代公式三、 SOR迭代公式四、 迭代公式的矩陣表示 3 迭代公式的收斂性一、 向量與矩陣的范數與性質1、 向量范數定義：向量，對應非負實數，滿足三條件：（1）非負性 （2）齊次性 （3）三角不等式 稱為向量范數2、 常見向量范數1范數 2范數 范數 3、 矩陣范數定義：方陣，對應非負實數，滿足三條件：（1）非負性 （2）齊次性 （3）三角不等式 （4）絕對值不等式 稱為矩陣范數；向量范數與矩陣范數相容性：4、常見矩陣范數1

7、范數，列范數 ： 范數，行范數 ： 2范數，譜范數 ：F范數：舉例計算二、 迭代公式收斂性的判定1、 向量的極限2、 矩陣的譜半徑： 為特征值；3、收斂性的判定收斂的充要條件：迭代公式收斂的充要條件為譜半徑。判定定理1：若則迭代公式收斂。判定定理2：若對方程AX=b的系數矩陣A為對角占優，則Jacobi迭代公式，Gauss-Seidel迭代公式收斂；判定定理3：若對方程AX=b的系數矩陣A為對稱正定，則Gauss-Seidel迭代公式收斂；Jacobi迭代公式收斂與Gauss-Seidel迭代公式收斂關系舉例：第三章 非線性方程的數值解法1了解二分法的原理與算法；2掌握一般迭代法的基本思想及其

8、收斂性判定 ；3掌握Newton切線法、弦截法，并用它們求方程近似根的方法。本章問題：求方程f(x)=0的根1 二分法一、 根的存在性定理：函數f(x)在區間a，b連續，且f(a).f(b)0,則方程f(x)=0在區間a，b有根。方程的根存在，不一定唯一，若在區間a，b上有唯一根，稱區間a，b為根隔離區間。二、 二分法（區間逐次分半法）原理：通過計算根隔離區間中點，將區間分半，縮小區間，得到方程近似根數列。 取 2 迭代法一、 迭代原理迭代法是一種逐次逼近法，由提供的遞推公式計算，逐次精確，直到滿足精度要求。方程f(x)=0變形為，得到遞推公式-簡單迭代公式稱為迭代函數給初值計算，得到數列，若

9、，則稱迭代收斂，否則發散。例：求方程寫出兩個簡單迭代公式：（1） （2）觀察計算得到數列的收斂性。迭代法的幾何解釋：二、 迭代收斂性判定收斂性定理：設方程的迭代函數在a，b滿足：（1）當時，；（2）在a，b可導，且，則（1）方程在a，b有唯一根； （2）迭代公式收斂，即；（3）誤差估計。說明可根據迭代函數的導數判斷迭代收斂性。三、 迭代公式的加速3 Newton 迭代法一、Newton切線公式幾何作法迭代公式例：利用解二次方程推導近似計算的公式。由Newton切線公式 三、 Newton弦截公式Newton切線公式的缺點及改進幾何作法迭代公式Newton弦截公式是兩步公式。第五章 插值法1.

10、掌握代數插值問題及其解存在唯一性，Lagrange插值多項式構造及其余項，插值基函數性質；2. 掌握差商的概念及其性質，Newton插值多項式構造，兩種插值法之間的區別與聯系；3了解差分與等距節點插值多項式公式；4. 掌握Hermite 插值問題及其構造方法。本章問題：函數復雜，或無表達式，構造簡單函數來代替。1 Lagrange插值一、代數插值問題及插值多項式存在唯一條件1、代數插值問題：已知在區間a,b中互異的n+1個點的函數值，求次數n次多項式且滿足，（i=0,1,n）.2、插值多項式存在唯一條件：定理：存在唯一條件是n+1個節點互異。二、Lagrange插值構造1、線形插值（n=1）幾

11、何解釋；利用插值基函數構造：基函數：一次多項式滿足 -1次Lagrange插值多項式例1：求過點（4，2），（9，3）的1次Lagrange插值多項式，并計算近似值。2、拋物插值（n=2）幾何解釋；利用插值基函數構造：基函數：二次多項式滿足 -2次Lagrange插值多項式例2：求過點（1，1），（4，2），（9，3）的2次Lagrange插值多項式，并計算近似值。3、一般情形：利用插值基函數構造：基函數：n次多項式滿足 -n次Lagrange插值多項式三、插值余項定理：若則插值誤差，其中。2 分段插值一、分段線性插值在區間a，b，分為n個區間,i=0,1,2n-1每個區間由直線代替曲線，形成

12、分段線性插值函數，二、分段拋物插值3 Newton 插值一、差商及其性質定義：一階差商：二階差商：K階差商：性質：（1）差商可由節點函數值表示；（2）差商值與節點次序無關。二、Newton 插值多項式由差商定義。依次帶入- Newton 插值多項式計算時先造差商表；三、余項4 差分與等距節點插值多項式一、差分及其性質：二、等距節點插值多項式5 Hermite 插值一、帶導數的插值多項式1、問題：求次數不超過3次多項式；2、利用基函數構造二、一般情形1、問題：求次數不超過2n+1次多項式2、利用基函數構造見教材第七章 數值微積分1. 了解數值求積基本思想；2. 掌握Newton-Cotes公式（

13、梯形公式，Simpson公式，Cotes公式）推導及誤差；3. 了解Romberg 求積公式原理；4了解數值微分的方法。本章問題：數值積分問題求定積分 不能使用微積分公式情形存在問題：（1）f(x)表達式復雜，原函數更復雜； （2）f(x)表達式不復雜，但原函數復雜；（3）原函數不存在； （3）f(x)無表達式1 Newton-Cotes公式一、 數值求積基本思想1、 不利用原函數，直接利用函數值積分中值定理：為平均高度；機械求積方法：為求積節點；為求積系數。2、 幾個簡單求積公式左矩形公式右矩形公式中矩形公式梯形公式二、 Newton-Cotes公式1、公式推導由Lagrange插值多項式代

14、替函數f(x)記則求積系數的計算：-為Cotes系數；- Newton-Cotes求積公式2、Cotes系數性質對稱性：權性：3、常用公式n=1梯形公式：n=2Simpson,拋物公式：n=4Cotes公式： 4誤差估計：見教材 舉例說明。 2 Romberg 求積公式一、復化梯形公式將積分區間a,b， n等份，步長誤差估計：二、梯形公式遞推化三、Romberg 求積公式由梯形公式修正，提高精度3 Gauss型求積公式一、代數精確度定義：若求積公式對任意m次代數多項式精確成立，而對m+1次代數多項式不精確成立，稱求積公式具有m次代數精確度。判定：求積公式具有m次代數精確度求積公式對精確成立；而

15、對 不精確成立。例：梯形公式具有1次代數精確度；定理1：n+1個節點的插值型求積公式代數精確度至少為n；定理2；Newton-Cotes公式代數精確度至少為n；當n為偶數時，可達n+1次代數精確度。二、Gauss型求積公式定義：若n+1個節點求積公式具有2n+1次代數精確度，則稱為Gauss型求積公式，節點為Gauss點。Gauss點的特性：見教材第八章 常微分方程數值解1. 掌握 Euler方法（Euler公式，梯形公式，Euler預估-校正公式），局部截斷誤差，公式的階；2. 了解 Runge-Kutta 方法的基本思想及四階經典Runge-Kutta 公式；3. 掌握線性多步方法的原理與公式推導。本章問題：一階常微分方程初值問題 解的存在性定理：解析解的概念數值解的概念1 Euler方法一、 Euler公式導數離散化由向前差商代替導數得記為 - Euler顯式公式由向后差商代替導數得記為 - Euler隱式公式由中心差商代替導數得記為 - Euler兩步公式二、 Euler預估-校正公式梯形公式預估：校正：三、 誤差估計1 局部截斷誤差2 公