1、永磁無刷直流電機空載氣隙磁場和繞組反電勢的解析計算王興華，勵慶孚，王曙鴻（西安交通大學電氣工程學院，陜西 西安710049）   摘  要：該文利用許-克變換構造了考慮齒槽效應的氣隙相對比磁導函數，該氣隙相對比磁導函數反映了齒槽效應對氣隙磁場分布的影響，且這種影響的程度隨氣隙中的徑向位置而變化。在忽略鐵心飽和的情況下，結合偏微分方程的解析算法，提出了一種考慮齒槽效應的永磁無刷直流電機空載氣隙磁場分布和相繞組反電動勢的解析計算方法。計算結果與二維有限元計算結果對比，其計算波形和大小吻合很好。證明此方法是正確的、可靠的，為永磁無刷直流電機優化設計和性能分析提

2、供了基本分析手段。    關鍵詞：永磁無刷電機；氣隙磁場；反電勢；解析計算1  引言    對于永久磁鋼表面安裝的永磁電機，由于定子鐵心開有若干槽，使氣隙磁導并非均勻值，從而導致電機氣隙磁場并非理想的梯形波，其中含有幅值較大的齒諧波，當電機旋轉時會引起相繞組交鏈磁鏈的波動，使相繞組反電勢出現波動，進而導致繞組相電流的脈動，引起電磁轉矩的波動，最終引起電機的振動和噪聲。    可見，要準確計算永磁電機的電磁轉矩波動，首先應準確計算電機氣隙內的磁場分布，從而可以準確計算出電機相繞組的反電動勢變化波形

3、和電機的電磁轉矩波動，以確定有效的改進措施和控制策略。而準確計算永磁電機氣隙內磁場分布的關鍵是如何考慮齒槽結構對氣隙磁場分布的影響。    在氣隙磁場的求解方法中，有限元數值計算方法可以準確計算出氣隙磁場的分布波形，具有通用性強、適用于各種媒質的特點。但其前處理過程復雜、計算時間較長，對使用者有較高的技術要求，在電機優化設計中不便采用。解析方法可以較準確地計算氣隙磁場分布波形，同時可以觀察到氣隙磁場分布與結構尺寸之間的關系，具有很大的工程實用價值。文獻1、2利用解析方法對氣隙磁場進行計算，求解出氣隙磁場的分布波形，但文中忽略了齒槽的影響。文獻3討論了永磁電機中定子

4、斜槽（或轉子斜極）、永磁體磁化方式、氣隙長度、轉子半徑和永磁體極弧系數對氣隙磁場分布的影響，給出計算氣隙磁場分布的經驗公式，由此計算出相繞組反電動勢變化波形，可是文中忽略了齒槽的影響，公式的通用性也較差。文獻4采用等效磁路的方法構造出考慮齒槽效應的氣隙磁導分布函數，以此求解電機內氣隙磁場的分布，但文中等效磁路法默認為齒槽效應對氣隙磁場分布的影響程度與氣隙內的徑向位置無關，這與實際磁場分布有一定偏差5。文獻6采用部分區域的方法，利用連續邊界條件求解齒槽對氣隙磁場的影響，但文中忽略了永磁體相對磁導率mr的影響。    本文以許-克變換為基礎，構造出考慮齒槽效應的氣隙相

5、對比磁導函數，該氣隙相對比磁導函數反映了齒槽效應對氣隙磁場的影響程度，且這種影響程度隨氣隙徑向位置而變化。在忽略鐵心飽和的情況下，本文結合偏微分方程的解析算法，提出了一種永磁無刷直流電機空載氣隙磁場分布和相繞組反電勢的解析計算方法，其計算結果與有限元計算結果對比，兩者吻合很好。證明此計算方法是正確的、可靠的，為永磁電機的設計和性能分析提供了依據。2  氣隙相對比磁導函數    在永久磁鋼表面安裝的永磁電機（以內轉子電機為例）中，定子鐵心表面開有若干個槽，轉子鐵心表面光滑。對于槽數較少的永磁電機，槽口寬與槽距比值較小，在分析一個槽距內氣隙磁導變化時，可忽略

6、相鄰槽之間的影響；但對于槽數較多的永磁電機，相鄰槽之間的影響較大，不能忽略。本文只對槽數較少的永磁電機進行討論，故可由定子鐵心單個槽時的物理模型進行分析。圖1所示為轉子鐵心表面光滑、定子鐵心單個槽時的物理模型。為便于分析作如下假設：    （1）定子鐵心表面開槽，轉子鐵心表面光滑；    （2）槽深為無限深；    （3）鐵心磁導率為無窮大，定、轉子鐵心表面均為等標量磁位面，一面為0，另一面為W0；    （4）永磁材料退磁曲線為直線；    （

7、5）永磁體以相同磁導率的材料填充。    在圖1中，若定、轉子鐵心表面標量磁位差為W0，利用許-克變換可求得永磁體、氣隙和槽內區域任意點的磁通密度B。由于空氣、永磁體磁導率為常數，所以任意點磁通密度B與定、轉子鐵心表面之間的標量磁位差W0呈正比關系。參考文獻7，定義該比例系數K為該點對應的等效比磁導l，即B=W0·l。    一個齒距內的氣隙磁通密度分布如圖2所示，其中B0表示氣隙磁通密度因開槽而造成的脈振的振幅，S1為在氣隙半徑r處一個槽對氣隙磁場的影響寬度，ts為槽節距。    在保證氣隙磁

8、通不變的條件下，對圖2中S1區間內的磁密波形可利用0, 2p區間的余弦函數進行擬合，從圖2可看出余弦函數的幅值為B0，周期為S1。由卡特系數的定義可知：    在任意氣隙半徑r處：式中Bmax為定子齒面下均勻氣隙的磁密；Bmin為沿定子槽中心線上半徑r處的磁密。    在氣隙半徑r處，由文獻8中許-克變換可求得：式中  b0 為槽口寬度；    V由下式決定：其中Rs為定子內徑。   由以上分析可得，永磁電機定子鐵心單個槽的氣隙比磁導為式中  a為距槽中心

9、線的空間位置角；at為槽距角；Qs為定子槽數；    以齒面下氣隙均勻處的比磁導為基值，在氣隙半徑r處，永磁電機單個槽的相對比磁導函數為    忽略相鄰槽之間的影響，則整個永磁電機的氣隙比磁導分布為周期函數，且周期為at。在極坐標下，以a相繞組軸線為坐標軸，將式(8)進行傅立葉分解得電機等效氣隙內在半徑r處的相對比磁導分布函數為asa為a相繞組軸線與圖1中槽中心線之間的空間夾角。    由式(1)(6)可知：如圖1所示，在永磁電機定子鐵心的槽口區域，對于任意a空間位置角，不同的氣隙半徑r處具有不同的(r)

10、值。由式(7)可知不同的(r)值具有不同的氣隙相對比磁導函數值，可見在不同氣隙半徑處槽對氣隙磁場的影響程度并不相同。如圖3所示，為氣隙中定子鐵心內圓、氣隙平均半徑和永磁體表面處的相對比磁導函數分布波形。對比圖3(a)、(b)、(c)可看出氣隙相對比磁導與氣隙半徑的對應關系。3  空載氣隙磁場的計算    在忽略鐵心飽和時，永磁電機定子開槽對氣隙磁場的影響可用相對比磁導函數加以計算。永磁電機空載氣隙磁場可等效為永磁磁極在光滑氣隙內產生的氣隙磁場與氣隙相對比磁導函數的乘積。    當忽略定子開槽的影響時，以永磁磁極N極為極坐標軸

11、，永磁磁極在光滑氣隙內產生磁場的徑向分量為9    當np=1時式中    設在極坐標系下，以a相繞組軸線為極坐標軸。當轉子N極軸線位于g 角位置時，電機氣隙內半徑r處氣隙磁場的徑向分量為4  相繞組反電動勢的計算    當永磁無刷直流電機轉子旋轉時，永磁磁極產生的磁場是旋轉的，而定子齒槽是靜止不動的，因此電機中空載氣隙磁密分布是隨轉子旋轉而變化的。同時每相繞組所交鏈的磁鏈也隨時間而變化。變化的磁鏈在相繞組中感生旋轉電動勢      由于齒槽的影

12、響，會使感生電動勢E的變化波形中含有一定的波紋。值得注意的是，永磁無刷直流電動機負載工作時，電樞繞組電流含有大量的諧波分量，電樞磁場為跳躍式步進磁場，所以電樞反應磁場也在相繞組中感生電動勢（變壓器電勢），尤其是繞組換向時電樞磁場的瞬變過程，會產生較大的感生電動勢脈沖。本文只討論空載時繞組的感生電動勢。    以集中式繞組為例，設每個線圈節距為ay機械角度，每相繞組串聯線圈個數為N，當轉子N極軸線與a相繞組軸線重合時為相繞組反電動勢的計時起點，即t=0時刻，則由式(11)、(13)和(14)計算出永磁電機a相繞組的感生電動勢為式中 ai為第i個線圈首邊的空

13、間位置角；w為轉子角速度；N5為單個集中線圈的匝數；r=w.t；    同理利用以上方法，根據繞組的具體排列方式可以計算分布繞組、短距繞組、分數槽繞組等各種繞組形式的相繞組感生電動勢瞬時值，進而可計算出瞬態的繞組線電勢和電樞繞組電流等參數。5  解析計算結果分析比較    為了驗證本計算模型的有效性，本文利用以上計算方法，對一臺6極、9槽，齒面加兩個輔助凹槽的永磁無刷直流電機的空載氣隙磁場和相繞組感生電動勢進行解析計算，同時利用二維有限元對其進行計算，兩者結果進行比較如圖4所示。圖中氣隙磁密分布波形含有較大的齒波紋，波形上凸

14、處對應齒的位置，波形下凹處對應槽的位置。比較圖4（a）和（b）的曲線可看出：在氣隙中，不同徑向位置齒槽對氣隙磁密的影響程度不同，即氣隙中不同徑向位置的相對比磁導不同，這與前面的分析結果是一致的。在定子齒邊緣處有限元計算值較解析計算值稍大，這是由于在定子齒邊緣處磁場具有聚磁效應，使該處的磁密變高，并且氣隙半徑越接近定子齒，這種聚磁效應越明顯。上述解析解不能精確考慮聚磁效應，除此以外，解析計算波形其余各點均與有限元結果相吻合，從圖中可看出本解析計算結果與二維有限元計算結果吻合較好，可見本解析計算方法是準確的、可靠的。    圖5為該永磁無刷直流電機在1500r/min

15、時，電機相繞組的感生電動勢波形。上述樣機為了減小齒槽定位力矩，在定子齒面上加兩個輔助凹槽，由于齒槽對氣隙磁場分布的影響使相繞組反電動勢波形中也含有較明顯的波紋。從圖中還可看出解析計算波形與二維有限元計算結果吻合很好。圖5中的相繞組電動勢齒波紋會引起相繞組電樞電流的脈動，導致電機產生電磁轉距波動。因此電機設計時應考慮齒槽結構對電機的氣隙磁場和反電動勢的影響，特別是在研究永磁無刷直流電機的轉矩波動和消除轉矩波動措施時更應該充分考慮這一點。本解析計算方法可以精確考慮齒槽結構對空載氣隙磁場和相繞組空載反電勢的影響，可為電機設計和電機的精確控制提供可靠的依據。6  結論  

16、  有限元方法可以精確計算永磁無刷直流電機的磁場分布和相繞組空載感生電動勢波形，但是其復雜的前處理和較長的計算時間不便于工程設計應用。本文基于電磁場的分離變量法和許-克變換，建立了考慮齒槽效應的永磁電機氣隙磁場的解析計算方法。可以簡捷快速地求解空載氣隙磁場分布及相繞組空載感生電動勢變化波形，并較好地反映了齒槽結構與電機空載氣隙磁場分布和相繞組空載感生電動勢變化波形的對應關系，為精確分析計算電機的各種工作特性提供了可靠的依據。參考文獻1  Boules NPrediction of no-load flux density distribution in PM machine

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