1、 真空中的靜電場基 本 要 求一、 理解電場強度和電勢這兩個基本概念和它們之間的聯系。二、掌握反映靜電場性質的兩個基本定理高斯定理和環流定理的重要意義及其應用。三、掌握從已知的電荷分布求場強和電勢分布的方法。內 容 提 要一、 真空中的庫侖定律庫侖定律的適用條件：1. 點電荷；2. 電荷靜止（或低速）。二、電場和電場強度電場 電荷能夠產生電場。電場是一種客觀存在的物質形態。電場對外表現的性質：1. 對處于電場中的其他帶電體有作用力；2. 在電場中移動其他帶電體時，電場力要對它做功，這也表明電場具有能量。電場強度的定義式點電荷場強公式場強疊加原理 電場中某點的場強等于每個電荷單獨在該點產生的場強

2、的疊加（矢量和）。幾種常見帶電體的場強1、電荷線密度為的無限長均勻帶電直線外一點的場強 2、電荷面密度為的無限大均勻帶電平面外一點的場強方向垂直于帶電平面。3、帶電Q、半徑為R的均勻帶電導體球面或導體球的場強分布r<R時， E =0r>R時，4、帶電Q、體密度為的均勻帶電球體場強分布r<R時，r>R時，三、電通量 高斯定理電場線（電力線）畫法 1. 電場線上某點的切線方向和該點場強方向一致；2. 通過垂直于的單位面積的電場線的條數等于該點的大小。電場線的性質 1. 兩條電場線不能相交；2. 電場線起自正電荷（或無窮遠處），止于負電荷（或無窮遠處），電場線有頭有尾，不是閉

3、合曲線。電場強度通量 電場強度通量也可形象地說成是通過該面積S的電場線的條數。高斯定理 真空中靜電場內，通過任意閉合曲面的電場強度通量等于該曲面所包圍的電量的代數和的1/e 0倍。高斯定理是描寫靜電場基本性質的基本定理，它反映了電場與形成電場的場源（電荷）之間的關系，說明靜電場是有源場。四、靜電場的保守性 環路定理靜電力做功的特點 電場力做的功只取決于被移動電荷的起點和終點的位置，與移動的路徑無關。靜電場的環路定理 上式說明靜電場力所做的功與路徑無關，也說明靜電場是保守力場。環路定理是靜電場的另一重要定理，可用環路定理檢驗一個電場是不是靜電場。環路定理要求電場線不能閉合，說明靜電場是無旋場。五

4、、電勢能、電勢和電勢差保守力做功和勢能增量的關系 Aa®b = 2(Wb 2 Wa) q0在電場中a、b兩點電勢能之差等于把q0自a點移至b點過程中電場力所做的功。電勢能 選標準點（勢能零點），且取W標=0，q0在電場中某點a的電勢能為即q0自a 移到 “標準點”的過程中電場力做的功。電勢能應屬于q0和產生電場的源電荷系統共有。電勢差 a、b兩點的電勢差即把單位正電荷自a®b過程中電場力做的功。電勢 電場中某點的電勢等于把單位正電荷自該點移到“標準點”過程中電場力做的功。點電荷電勢公式 電勢疊加原理 電場中某點的電勢等于各電荷單獨在該點產生的電勢的疊加（代數和）。六、場強和

5、電勢的關系 電勢梯度等勢面 電勢相等的點組成的面。等勢面和電場線的關系 等勢面與電場線處處垂直；電場線從高電勢處指向低電勢處；等勢面密處場強大。場強和電勢梯度的微分關系 或 解題方法與例題分析一、求場強的方法在普通物理學中，求解靜電場的場強的基本方法通常有以下三種：1. 用點電荷場強公式和場強疊加原理求場強；2. 由高斯定理求場強，這種方法只能求解一些典型的對稱性分布的帶電體的場強；3. 已知或求出電勢分布U后，再由求場強。熟練掌握求解靜電場場強的這三種方法是學好電磁學的關鍵。1. 用點電荷場強公式和場強疊加原理求場強原則上說，用點電荷場強公式和場強疊加原理可以求任何帶電體所產生的場強。帶電體

6、可以分為連續和非連續帶電體，非連續帶電體（如電偶極子）的場強的求解方法較簡單，本書主要介紹連續帶電體的場強的求解方法積分法。用積分方法求任意帶電體的場強的基本思想是把帶電體看作電荷元的集合（電荷元可以是線元、面元或體元）。在電場中某點的場強為各電荷元在該點產生的場強的矢量和。積分法解題的主要步驟如下：將帶電體分成無數的電荷元，每一電荷元可視為點電荷，任一電荷元在空間某點場強為由場強的疊加原理，帶電體在該點產生的場強選擇適當的坐標系，把矢量積分化為分量積分式，如取直角坐標系，則Ex=Ex ，Ey=Ey ，Ez=Ez。根據積分式中各變量之間的關系，找出統一變量，由選定的坐標系和帶電體的形狀確定積分

7、限，注意積分要遍及整個帶電體。進行積分求得Ex 、E y 、Ez，再求出E 。在某些情況下，可把電荷連續分布的帶電體看作由許多微小寬度的帶電直線（或圓環）或者具有微小厚度的圓盤（或球殼）所組成。如無限大均勻的帶電直圓柱體可看作無限多圓盤所組成，這時可以取帶電圓盤為電荷元，以便求出無限大帶電圓柱體軸線上一點的場強。這樣取電荷元的好處是可以把二重積分或三重積分化為單重積分來做，使運算簡化。2. 由高斯定理求場強用高斯定理求場強必須要根據電場的對稱性，選擇適當的高斯面使場強E能提到積分號外。用高斯定理求場強的步驟大體如下：分析給定問題中電場的對稱性，如電場強度分別具有球對稱性、平面對稱性（無限大均勻

8、帶電的平板或平面）以及軸對稱性（無限長均勻帶電的圓柱體、圓柱面或直線等）時，能用高斯定理求解；選擇適當的高斯面，使場強E能提到積分號外面。如電場具有球對稱性時，高斯面選與帶電球同心的球面；電場具有軸對稱性時，高斯面取同軸的柱面；電場具有平面對稱性時，高斯面取軸垂直于平面并于平面對稱的柱面；求出高斯面所包圍的凈電荷q，代入高斯定理的表示式求出場強的大小。由場強的對稱性確定場強的方向。3. 求電勢分布U后，由求場強因為電勢是標量，已知電荷分布用積分求電勢比用積分求場強更為方便，所以對不能用高斯定理求場強的情況，先求電勢的函數式，再用上述關系求電場強度往往是比較方便的。例1 長厘米的直導線AB均勻地

9、分布著線密度為的電荷。求：（1）在導線的延長線上與導線一端B相距R處P點的場強； A dx O B P x R （a）R´A dx B x （b）圖81（2）在導線的垂直平分線上與導線中點相距處Q點的場強。解 （1）如圖81（a）所示，取A點為坐標原點，向右為x軸正方向。直導線上任一dx線元到A點距離為x，其電場強度為而各段在P處產生場強方向相同（沿x軸正方向），故總場強為方向沿x軸正方向。（2）若以導線AB中心為坐標原點，如圖81（b）所示。dx線元在Q點產生的電場為（方向如圖所示）由于對稱性，其疊加場強沿y正方向，水平方向相互抵消。在Q點的場強為方向沿y軸正方向。當導線l為無限長

10、時，由上式可求得場強為。圖82例2 一帶電細線彎成半徑為R的半圓形，其電荷線密度為=0sin，式中為半徑R與x軸所成的夾角， 0為一常數，如圖82所示，試求環心O處的電場強度。解 在處取電荷元，其電量為它在O點處產生的場強為在 x、y 軸上的兩個分量， 所以 例3 利用帶電量為Q、半徑為R的均勻帶電圓環在其軸線上任一點的場強公式推導一半徑為R、電荷面密度為的均勻帶電圓盤在其軸線上任一點的場強，并進一步推導電荷面密度為的無限大均勻帶電平面的場強。解 設盤心O點處為原點，x軸沿軸線方向，如圖83所示，在任意半徑r處取一寬為dr的圓環，其電量圖83當 R 時，即為“無限大”帶電平面例4 如圖84所示

11、，一厚為a的無限大帶電平板，電荷體密度r = kx (0xa)， k為一正值常數。求： （1）板外兩側任一點 M1、M2的電場強度大小；（2）板內任一點M的電場強度；（3）場強最小的點在何處。圖84解 （1）在x處取厚為dx的平板，此平板帶電量電荷面密度為 則 （2）板內任一點M左側產生的場強方向沿x軸正向M右側產生的場強方向沿x軸負向所以 （3）E = 0 時場強最小，即例5 如圖85所示，圓錐體底面半徑為R，高為H，均勻帶電，電荷體密度為，求頂點A處的場強。圖85解 在離頂點A為x處選厚為dx的薄圓盤，此圓盤半徑為r。由圖知即 此薄圓盤的帶電量 電荷面密度 =電量/面積=利用例3均勻帶電圓

12、盤在軸線上任一點的場強結果可得此薄圓盤在A點的場強此題也可以在柱面坐標系中用三重積分來計算。 O b y Y圖86例6 半徑為R、長為的均勻帶電圓柱體，電荷體密度為，求圓柱體軸線上O點的場強。設O點離圓柱體近端的距離為b，如圖86所示。解 用積分法求解這題目時，如取點電荷為積分元，則要用三重積分。但是我們取圓盤為積分元，用圓盤在軸線上一點產生的場強的公式，只要計算定積分就可以求得圓柱體軸線上一點的場強。如圖86取坐標，距O點的距離y處，一厚度為dy的圓盤在O點產生的場強的大小dE = 方向與Y軸相反，式中是厚度為dy的圓盤上的電荷面密度，和圓柱體的電荷密度的關系=所以有dE = =（b）例7

13、如圖87（a）所示，在XY平面內有與Y軸平行、位于x= a/2和x=- a/2處的兩條無限長平行的均勻帶電細線，電荷密度分別為和-，求Z軸上任一點的電場強度。（a） 圖87解 過Z軸上任一點(0，0，z)分別以兩條帶電細線為軸作單位長度的圓柱形高斯面，如圖87（b）所示，按高斯定理求出兩帶電直線分別在該處產生的場強大小為式中正負號分別表示場強方向沿徑向朝外和朝里，如圖所示，按場強疊加原理，該處合場強的大小為 方向如圖所示或用矢量表示例8 真空中有一高h=20cm、底面半徑R=10cm的圓錐體。在其頂點與底面中心的中點上置一q =10-6C 的點電荷，求通過該圓錐體側面的電場強度通量。 （a）

14、（b）圖88解 以頂點與底面圓心的中點為球心，為半徑做一球面。可以看出，通過圓錐側面的電通量等于通過整個球面的電通量減去通過以圓錐底面為底的球冠面的電通量。整個球面的電通量為通過球冠面的電通量 式中S為球冠面面積 S=2pr(r- h/2)，S0為整球面積。通過圓錐側面的電通量二、求電勢的方法在普通物理學范圍內，求解靜電場電勢的基本方法通常有以下兩種：1. 用點電荷電勢公式和電勢疊加原理求場強；2. 已知或求出場強分布E后，再由UP=求電勢。熟練掌握求解靜電場電勢的這兩種方法是對學好電磁學大有裨益的。1. 用點電荷電勢公式和電勢疊加原理求場強把帶電體看為由許多電荷元組成的，帶電體在電場中某點產

15、生的電勢為各電荷元在該點產是的點勢dU的疊加，即U=用積分求電勢的步驟和用積分求場強相同，只是U =是一個標量積分，不用取分量式。2. 已知或求出場強分布E后，再由UP =，求電勢對有限大小的帶電體，通常選無限遠為電勢的零點，所以有 UP=用上式求電勢時應注意：選擇適當的路徑，因為上述積分與路徑無關，我們取積分路徑時，總是設法選取使積分計算比較簡便的路徑；對于在積分路徑上不同區域內場強的函數形式不同的情況，積分必須分段進行。如從r到R范圍內的場強為E1(r)，從R到“無窮遠”處場強為E2(r)，則P點的電勢UP（r）=1(r)dr+2(r)dr對能用高斯定理求場強的問題，用這種方法求電勢比較方

16、便。例9 一根長為L的細棒，彎成半圓形，其上均勻帶電，電荷線密度為，試求在圓心O點的電勢。解 半圓形導線半徑：O點電勢由電勢迭加原理求解。 ， 例10 如圖89所示，兩個均勻帶電的同心球面，半徑分別為R1和R2，帶電量分別為q1和q2。求場強和電勢的分布。 S1 圖89解 （1）對稱性分析：場強沿徑向；離球心O距離相等處，場強的大小相同。可見場強具有球對稱性可以用高斯定理求場強。（2）選擇高斯面：選與帶電球面同心的球面作為高斯面。 當r>R2時，取半徑為r的高斯面S1，如圖所示。由高斯定理因為場有上述的對稱性，所以解得 當R1<r<R2時，取半徑為r的高斯面S2，如圖所示。由

17、高斯定理 因場強有球對稱性，故解出 當r<R1時，取半徑為r的高斯面S3，如圖所示。由高斯定理因場強是球對稱的，則有所以 E=0從上面計算的結果得到場強的分布為知道了場強分布，可以從電勢的定義出發求出空間的電勢分布當r>R2時當R1<r<R2時當r<R1時當然，也可以用電勢疊加原理來求電勢的分布，把空間各點的電勢看為兩個帶電球殼在空間產生的電勢的疊加，求得的結果和從電勢定義出發求得的結果相同。如果我們對一個均勻帶電球面在空間產生的電勢分布的函數關系比較熟悉，那么用后一種解法是比較方便的。習 題一、填空題1、兩個正點電荷所帶電量分別為q1和q2，當它們相距r時，兩電

18、荷之間相互作用力為F= 。若q1+q2=Q，欲使兩電荷間的作用力最大，則它們所帶電量之比q1：q2= 。2、四個點電荷到坐標原點O的距離均為d，如圖810所示，則O點的電場強度E= 。y +2q+2q O -q x-q圖810 P·B·A·q' 圖811 ·q3、真空中兩塊互相平行的無限大均勻帶電平面，其中一塊的面電荷密度為+,另一塊的面電荷密度為+2，兩極板間的電場強度大小為 。4、半徑為R，均勻帶電Q的球面，若取無窮遠處為零電勢，則球心處的電勢V0= ；球面外離球心r處的電勢Vr= 。若在此球面挖去一小面積S（連同其上電荷），則球心處的電勢V

19、0= 。二、選擇題1、邊長為a的正方體中心放置一個電荷Q，通過一個側面的電位移矢量通量為： A.； B.； C.； D. 2、如圖811所示，閉合面S內有一點電荷q, P為S面上一點，S面外A點有一點電荷q'，若將q' 移到S面外另一點B處，則下述正確的是： A.S面的電通量改變，P點的場強不變；B.S面的電通量不變，P點的場強改變；C.S面的電通量和P點的場強都不變；D.S面的電通量和P點的場強都改變。3、關于電場強度定義式E=F/q0，指出下列說法中的正確者： A.場強E的大小與檢驗電荷q0的電量成反比；B.對場中某點，檢驗電荷受力F與q0的比值不因q0而變；C.檢驗電荷受

20、力F的方向就是場強E的方向；D.若場中某點不放檢驗電荷q0，則F=0，從而E=0。4、電場強度定義式E=F/q0,這一定義的適用范圍是： A.點電荷產生的電場； B.靜電場； C.勻強電場； D.任何電場。5、在SI制中，電場強度的量綱是： A.； B.； C.； D.。6、若將負點電荷q從電場中的a點移到b點，如圖812所示，則下述正確的是： A.電場力作負功；B.電場強度Ea<Eb；C.電勢能減小；-QA O B CD圖813D.電勢Va<Vb。 ·a ·b 圖8127、一電量為-Q的點電荷位于圓心O處，A、B、C、D為同一圓上的四個點，如圖813所示。現將

21、一實驗電荷從A點分別移到B、C、D各點，則： A.從A到B，電場力做功最大；B.從A到C，電場力做功最大；C.從A到D，電場力做功最大；D.從A到各點，電場力做功相等。三、判斷題（ ）1、閉合曲面內的電荷的代數和為零，閉合曲面上任一點的場強一定為零。（ ）2、閉合曲面上各點的場強為零，閉合曲面內一定沒有電荷。（ ）3、閉合曲面上各點的場強僅由面內的電荷決定。（ ）4、通過閉合曲面的電通量僅由面內的電荷決定。（ ）5、凡是對稱分布的均勻帶電系統都可以通過高斯定理求它的電場強度。四、計算題1、用細的不導電的塑料棒彎成半徑為50cm的圓弧，棒兩端點間的縫隙為1cm，棒上均勻分布著3.12×10-9C的正電荷。求圓心處場強的大小和方向。2、半徑為R的非金屬