1、解三角形知識點總結及題型分類講解一、 知識點復習1、正弦定理及其變形asin Asin B sin C2R (R為三角形外接圓半徑)(1 a2RsinA,b 2Rsin B,c2RsinC (邊化角公式)ab(2) sin A ,sin B ,sin C2R2Rc (角化邊公式)2R( a:b:c sin A:sin B :sin Casin A a sin A b sin B，-bsin B c sin C c sinC2、正弦定理適用情況：(1)已知兩角及任一邊(2)已知兩邊和一邊的對角(需要判斷三角形解的情況) 已知a, b和A,求B時的解的情況：如果sinA sin B ,則B有唯解；

2、如果sin A sin B 1,則B有兩解;如果sin B 1,貝U B有唯一解；如果sinB 1,貝U B無解.3、余弦定理及其推論cosAa2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B 22,2cab 2abcosCcosB2bc2accosC2,22a b c2ab4、余弦定理適用情況：(1)已知兩邊及夾角；(2)已知三邊.5、常用的三角形面積公式1-q(1 ) S ABC 底同； 2 11 .一 1(2) S ABC absin C - bcsin A - casin B (兩邊夾一角). 2226、三角形中常用結論(1) a b c,b c a,a c b

3、(即兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊)(2)在 ABC中，A B a b sinA sin B(即大邊對大角，大角對大邊).(3)在ABC, ABC ，所以 sin(A B) sinC； cos(A B) cosC； tan(A B) tan C ./八 AB C AB C(4) sin cos , cos sin .2222二、典型例題題型1、計算問題(邊角互換)例1、在 ABC中，若sinA:sinB:sinC 3:5: 7 ,則角C的度數為答案：C 23例2、已知AB/, A 60 , a V3,則 a b c sin A sin B sin C答案：2例3、在銳角 ABC中，內角

4、A, B, C的對邊分別為a, b, c,且2asinB=b. 求角A的大小；TI題型2、三角形解的個數 例1.在 ABC中，已知b=40,c=20,C=8T ,則此三角形的解的情況是A.有一解 B.兩解C.無解 D.有解但個數不確定例2.在ABC中，分別根據下列條件解三角形，其中有兩解的是()Aa 7, b 14, A 30 ;B>b25,c30, C 150 ;Cb4,c5,B30;DaJ6,bV3,B60。例3.在AABC中,bsin A<a<b,則此三角形有A.一解 B.兩解C.無解 D.不確定例4,在 ABC中，a=x, b=2, B=15 ,若三角形ABCT兩個解

5、，則x的取值范圍例5.在 ABC中a ,b 3 (0), A 45o，則滿足此條件的三角形 有幾個?題型3、判斷三角形形狀例1在 ABC中，已知(a2 b2) sin(A B) (a2 b2) sin(A B),判斷該三角形的 形狀。答案：等腰三角形或直角三角形例 2 zABC中,sin 2A=sin 2B+sin 2C,則 ABC為A.直角三角形 B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.等腰三角形例3. ZXABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，若六二白二焉，則4ABC 為A.銳角三角形B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.任意三角形例 4.在 ABC 中，已知3b = A&isi

6、nB,且cosB = cofC,角 A是銳角，M ABC 的形狀是.例 5.在 ABC 中，若 sin A 二 2si口 Be口s C,且因in A* - sin sinC?,則ABC的形狀是.【點撥】判斷三角形形狀問題，一是應用正弦定理、余弦定理將已知條件轉化為 邊與邊之間的關系，通過因式分解等方法化簡得到邊與邊關系式， 從而判斷出三 角形的形狀；(角化邊)二是應用正弦定理、余弦定理將已知條件轉化為角與角之間三角函數的關系， 通 過三角包等變形以及三角形內角和定理得到內角之間的關系， 從而判斷出三角形 的形狀。(邊化角)題型4、求范圍或最值問題例1、在銳角 ABC中，BC=1 B=2A則烹的

7、值等于,AC的取值范圍為例2、在 ABC中， A 60 , BC=3則 ABC的兩邊 AC+AB的取值范圍是例3、在 ABC中，/ B 60 , AC=；4,則AB+2BC勺最大值例4、在 ABC中，/ B 60 , AC=3 ,則 ABC的周長的最大值為例5、zABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，且出地共十九二匕.(1) .求角A的大小(2)若a=1,求三角形ABC勺周長l的取值范圍.題型5、面積問題例1、 ABC的一個內角為120°,并且三邊構成公差為4的等差數列，則 ABC的面積為答案：I例2.設在 ABC的內角所對邊的長分別是，且 b=3, c=1, ABC勺面積為

8、血，求cosA與a的值；例3:在中，角的對邊分別為，。(I )求的值；(H)求的面積.例4： C的內角，C所對的邊分別為a, b, c.向量日=Q,與n - fcosA, sin B)平行.(I )求；(II )若a J7, b 2求 C的面積例5.在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c且滿足 (1)求ABC勺面積；(2)若c=1,求a的值.例6.在銳角 ABC中，內角A, B, C的對邊分別為a, b, c,且2asinB=b .(I )求角A的大小；(H)若 a=6, b+c=8,求 ABC的面積.例 7: ABC 的內角 A, B, C 的對邊分別為 a,b,c,已知 2cos

9、c(acosB+b cos A) c.(I)求 G(II )若c "/XABC的面積為3叵，求 ABC的周長.2題型六、邊化角，角化邊注意點：換完第一步觀察是否可以約分，能約分先約分怎么區分邊化角還是角化邊呢若兩邊都是正弦首先考慮角化邊，若 sin,cos都存在時首先考慮邊化角例1:在 ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c ,且滿足csinA=acosC .(I )求角C的大小；例2在ABC,內角A, B, C所對的邊分別是a,b,c.若3a=2b,則2sin 2B sin 2Asin 2A的值為.例3已知 ABC的內角A B、C的對邊分別為a、b、c, asin A+ c

10、sin C- V2asin C= bsin B.求B；若 A= 75° , b=2,求 a, c.例4在zABC,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且史必 cosB sinC a b c(I)證明：sin Asin B sinC ；(II )若 b2 c2 a2 6bc ,求 tan B .例5在ABC,內角A, B, C所對的邊分別為a, b, c.已知b+c=2acosB.(I)證明：A=2B; 2(II )若ABC勺面積5=里，求角A的大小.4例6 ABC的內角A, B, C所對的邊分別為a, b, c.(I )若 a, b, c成等差數列，證明：sin A sinC 2s

11、in A C ；(II )若a,b, c成等比數列，求cosB的最小值.題型七、三角變換與解三角形的綜合問題例 1.在zABC中，AC=6, cos R = ；* C 二彳(1) 求AB的長(2) 求。口占1一高的值變式練習.在ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a,b, c.曲由12c - csinB(1),求角C(2).若sin(B - 9) = g ,求;sin A的值2.在 ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c ,且3nB=2 tajiC=3(1).求角A的大小(2)若c=3,求b的長.題型八、解三角形與平面向量結合例1.在ABC中，角A, B, C所對的邊分別為

12、a,b, c,且 ABC的面積為S,凝,記=2s.(1)求bin A的值(2)若C=4克,近二16求b的值變 式 練 習 1. 在 銳 角 ABC 中，向 量m 二(me(A + yjj sin h + 彳)，n =(cos B, sin B),且m X n(1) .求A-B的值(2) .若cmB = 3 4c 二 & 求BT的長 V2. 在 ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c , 且M 二 (a - 佇，b + 匕)，n = (b - e,h),且m II n(1)求 B(2)若卜二.13, cos(A + 了)二警，求 a.題型九、以平面圖形為背景的解三角形問題

13、例1.在ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a,b, c,(1).求/ABC(2)若/ A=,D為三角形ABC外一點，DB=2, DC=1,求四邊形ABCEH積 的最大值。變式練習.如圖，在平面四邊形 ABCD中，DA, AB, DE=1, EC=/7 ,2 rEA=2,ZADC = t,且/ CBE, / BEC / BC皿等差數列. (1)求(2)求BE的長4、如圖，在梯形 ABCDK 已知 AD/ BC,AD=1,BD=/Hj NCAD*，tan /ADC=-2求：(1) CD的長(2)三角形BCD勺面積課時達標訓練1、在銳角 ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c(

14、1) .設應 以二位蔽求證三角形ABC是等腰三角形(2) .設向量S=2 呂 in。一 t =(cos 2C , cost?), Hs 胃 t, sin A ="求 sin (了 一 B)的 值.2、在 ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c .已知a>b,a=5,c=6,與i口 B二.(1)求b和質nA的值(2)求+ T)的值mbcos C* m為常數.3、在ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c.(1)若m=2,且cosC二噂，求ccs A的值;(2)若m=4,求同i (C - B)的最大值.4、如圖，在梯形 ABCDK 已知 AD/ BC,

15、AD=1,BD=JRj，ZCAD= ,tan /ADC=-2求：(1) CD的長(2)三角形BCD勺面積5、已知函數f(x)=ys i n2x - cos>(1)求f (x)的最小值，并寫出取得最小值時自變量 x的取值集合;(2)設ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,且 c=j氏f=。若密inR = 2sinA|,求a,b的值。6.在銳角 ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,已知2cosB=2c-b.(1)若 cos(A+C)聆;，求 cosC 的值;(2)若b=5,AC CB - 5,求三角形ABC的面積;(3)若。是三角形ABC外接圓的圓心，且

16、tosB5 11； Ct cos C、一AB +1 AC = mAO,求m 的值 J11 IJ解三角形基礎練習1、滿足A 45 , c a a 2的ABC的個數為m ,則am為2、已知a 5,b 5國A 30 ,解三角形。3、在 ABC中，已知a 4 cm, b x cm , A 60 ,如果利用正弦定理解三角8.338、3形有兩解，則x的取值范圍是()A、x 4B、0x4 G 4 x4、在 ABC 中，若 S -(a2 b2 c2),則角 C4一5、設 R是 ABC外接圓的半徑，且2R(sin2A sin2C) (T2a b)sin B ,試求 ABC 面積的最大值。6、在 ABC 中，D

17、為邊 BC 上一點，BD 33 , sin B5一 ,cos13ADC 國，求 AD .57、在ABC中，已知a,b,c分別為角A,B,C的對邊，若a cosB ,試確定 ABC b cosA2c ab形狀。8、在 ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，已知8sA 2cosc cosBsin C(1)求；sin A1(2)若 cosB -,b 2,求 ABC 的面積。41、在 ABC 中，若(a b c)(b c a) 3bc ,且 sin A 2sinBcosC ,貝U ABC 是 A等邊三角形R鈍角三角形G直角三角形D等腰直角三角形2、 ABC中若面積S=1(a2 b2 c2)則角

18、C43、清源山是國家級風景名勝區，山頂有一鐵塔AB,在塔頂A處測得山下水平面上一點C的俯角為，在塔底B處測得點C的俯角為，若鐵塔的高為h m , 則清源山的高度為 m。八 hsin cosh cos sinA、Bsin()sin()hsin sinh cos cossin()sin()4、ABC的三個內角為A、B、C,求當A為何值時，cosA 2cosB-C取得最2大值，并求出這個最大值。5、在 ABC中，a,b,c分別為角 A B C的對邊，且滿足csinA acosC(1)求角C的大小（2）求T3sinA cos（B /的最大值，并求取得最大值時角 A,B的大小。正弦定理、余弦定理水平測試

19、題、選擇題1 .在 ABC中，角 A、B C的對邊分別為 a、b、c,若 a2+ c2 b2= /3ac, 則角B的值為2.A.3.5九 2冗W或二T63已知銳角 ABC的面積為3品 BC= 4, CA= 3,則角C的大小為750 B . 60° C. 450 D. 30°（2010上海高考）若 ABC的三個內角滿足 sin A： sin B： sin C= 5：11 ： 13,則AABCA. 一定是銳角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是鈍角三角形D.可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形4. 如果等腰三角形的周長是底邊長的 5倍，那么它的頂角的余弦值為5. （2010湖南高考）在4ABC中，角A, B