1、小學數學競賽學習材料六年級寒假第一講速算與巧算當一道計算題看起來比較復雜時，首先要認真觀察算式的特點，看看能不能運用計算定律、性質使計算簡便，同時還要分析算式中的數據，看看有沒有什么規律可供利用。例1計算：？(2001年全國小學數學奧林匹克決賽題)解：認真觀察算式的特點發現：(1)分子和分母都是由5項組成，每項又都是3個自然數的連乘積；(2)分子第二項的每個因數，分別是第一項每個因數的2倍，第三項的每個因數，分別是第一項每個因數的3倍，；(3)分母第二項的每個因數，分別是第一項每個因數的2倍，第三項的每個因數，分別是第一項每個因數的3倍，。于是分子可以提出公因式1×3×5，

2、分母可以提出公因式1×2×3。這樣就找到了巧算的方法：原式。例2計算。（吉林省第九屆小學數學邀請賽試題）解：觀察發現，如果把分母中2004×2005的2004變成20031，就會出現與分子相同的部分，于是原式1。例3計算19941234519921993。(第六屆小學生數學報數學競賽決賽題)解：首先把整數和分數分別計算：原式(1994123419921993)()觀察發現，兩個括號里各有1994項。1994123419921993(21)(43)(19941993)1×(1994÷2)997()×997166原式9971661163例

3、4計算（）÷。解：觀察發現，算式具有極為鮮明的特點，就是被除式和除式都與有密切的聯系，由此想到，如果根據商不變性質，用同時除一下被除式和除式，一定會使算式簡化。于是原式（）÷÷（÷）（÷÷÷）÷（÷）（1）÷3÷13。練習一1計算。(第五屆小學生數學報數學競賽決賽題)2計算。（吉林省第九屆小學數學邀請賽試題）3計算73÷844÷43。（吉林省第九屆小學數學邀請賽試題）4計算85×71×56×。（陳省身小學數學邀請賽試題）5(10.5&#

4、215;11.7×57×85)÷(1.7×1.9×5×7×9×11×13×15)？(2002年全國奧賽預賽題)6. 4×55×66×77×88×9？(2002年全國小學數學奧林匹克預賽題)7計算：(1×2×3×4××9×10×11)÷(27×25×24×22)？(2002年全國小學數學奧林匹克預賽題)8計算：3.6×42.3&#

5、215;3.7512.5×0.423×28？(2002年全國小學數學奧林匹克預賽題)9計算：(8.4×0.259.7)÷(1.05÷1584÷2.8)？(2002年全國小學數學奧林匹克決賽題)10(8.4×2.59.7)÷(1.05÷1.58.4÷0.28)？(2002年全國小學數學奧林匹克決賽題)11(54.25)×÷3.3÷1？(2002年全國小學數學奧林匹克決賽題)12. 1×(31)×0.7×28？(九章杯數學競賽初賽題)第二講

6、速算與巧算（二）例1計算。(第三屆小學生數學報數學競賽決賽題)解：觀察發現，這道題與上學期我們學過的“裂項相消法”極其類似，為了找到巧算的方法，任意取出一項來研究，比如第二項，首先想到這個分數會不會與和有什么內在聯系，。再取出，。于是想到下面的巧算方法：原式×()×(1)例2計算。（吉林省第九屆小學數學邀請賽試題）解：這道題與例1有相似的結構，很自然地想到，是否也可以用“裂項相消法”。試算發現，果然有可以相互抵消的部分。于是，原式（）（）（）（）11。例3計算。（吉林省第九屆小學數學邀請賽試題）解：觀察發現，只要給各項的分子先減去1，再加上1，就能分離出與分母相同的部分，使

7、算式簡化。于是原式111111。進一步觀察又發現，32182×4，521244×6，于是，原式6（）6（）6（）6。例4計算1248163264128256512。（陳省身小學數學邀請賽試題）解：觀察發現，相鄰兩個分數的整數部分，后一個數是前一個數的2倍；相鄰兩個分數的分數部分，后一個數是前一個數的。于是想到：如果給整數部分再加上1,與原有的1合成2，再與原有的2合成4，依次類推，最后得到2個512，等于1024，所以，原來的整數部分應該是102411023；如果給分數部分再加上，與原有的合成，再與原有的合成，依次類推，最后得到2個，等于1，所以原來的分數部分應該是1。因此

8、，原式的得數是1023。原式（112481632641282565121）（）（512×21）（×2）10231023。練習二1計算：。(哈爾濱數學競賽題)2計算1357911。(1998年南京市數學競賽決定題)3計算()3÷。(“六一杯”小學數學競賽題)4計算。（吉林省第九屆小學數學邀請賽試題）5計算 。（吉林省第九屆小學數學邀請賽試題）6計算。（吉林省第九屆小學數學邀請賽試題）7計算。（陳省身小學數學邀請賽試題）8計算。（2004年浙江省小學數學競賽試題）9計算。（吉林省第九屆小學數學邀請賽試題）10計算。（吉林省第九屆小學數學邀請賽試題）11計算。（吉林省第

9、九屆小學數學邀請賽試題）12計算：？(2001年全國奧賽預賽題)第三講數列與數表例1計算：。(2001年全國奧賽預賽題)解：經驗告訴我們，象分母這樣的數列的和，總是等于中心數的平方。如12122，1232132,123432142，所以，分母102。分子(2212)(4232)(1002992)。這里要用到一個公式：a2b2(ab)×(ab)，給a、b不同的數值，很容易驗證它的正確性。所以，分子(21)×(21)(43)×(43)(10099)×(10099)3711199，根據等差數列的求和公式，分子101×50。原式50。例2將14個互不相

10、同的自然數從小到大排成一列，已知其總和為170，如果去掉最大的數和最小的數，那么剩下的數的總和為150，原來第二個數是。(1989年全國奧賽決賽題)解：由題意可知最大數與最小數之和為17015020，所以最大數不超過19。如果是19，去掉最大數和最小數后剩下的12個數的和是78918150，滿足要求；當最大數小于19，其余12個數的和小于150，不符合題意。所以原數列的第二個數是7。例3把63表示成幾個連續自然數的和，不同的方法有種。解：(1)顯然633132；(2)因為6321×3，所以，可以把63表示成3個連續自然數的和，其中間數為21，于是，63202122；(3)因為639&

11、#215;7，所以，636789101112；(4)因為637×9，所以，6334567891011。因此，把63表示成幾個連續自然數的和，一共有4種不同方法。例4北京的小朋友小京將自然數12008按以下格式排列：123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 他請上海的小朋友小滬用3×4(3行4列)的長方形框出12個數，使它們的和是2010。那么這12個數中最大的數是多少？(2003年小學數學奧林匹克預賽題)解：設最大的數是x。x(x1)(x2)

12、(x3)(x7)(x8)(x9)(x10)(x14)(x15)(x16)(x17)2010, 12x1022010，x176。練習三1將210拆成7個自然數的和，使這7個數從小到大排成一行后，相鄰兩個數的差都是5，那么第一個數A與第六個數B分別是多少？(1991年全國奧賽預賽題)2電視臺要播放30集電視連續劇。如果要求每天安排播出的集數互不相等，該電視連續劇最多可以播多少天？(第四屆“華羅庚金杯”少年數學邀請賽復賽題)3黑板上寫著從1開始的若干個連續自然數，擦去其中的一個后，其余各數的平均數是35，擦去的數是多少？(2001年全國奧賽預賽題)4. 有若干人的年齡的和是4476歲, 其中年齡最大

13、的不超過79歲, 最小的不低于30歲, 而年齡相同的人不超過3人, 那么，這些人中至少有多少位老年人(年齡不低于 60 歲的為老年人)? (2001 年全國奧賽預賽題)5有一串分數，其中第2001個分數是多少？(2001年全國奧賽預賽題)6某同學把他最喜愛的書順序編號為1, 2，3，所有編號之和是100的倍數且小于1000，他編號的最大數是多少？(2002年全國奧賽預賽題)7根據下表的8×8方格盤中已經填好的左下角4×4個方格中數字顯示的規律，找出方格盤中a與b的數值，并計算其和，ab？(2001年全國奧賽決賽題) b10 14 19 25 6 9 13 18 3 5 8

14、12 a 1 2 4 78把 11001 各數按下面的格式排列。用一個長方形框出九個數, 這九個數的和能不能等于1986, 2529, 1989? 如果能,寫出方框里最大的數和最小的數。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 995 996 997 998 999 1000 1001 9把自然數排成 A、B、C、D 四組如下表: A 1 8 9 16 B 2 7 10 15 C 3 6 11 14 D 4 5 12 13 (1) 77 在哪一組? (2) 1135有幾個數排在A組?

15、(3) C組中第56個數是幾?10把自然數按順序排成下面的樣子，24、27、42、63、100 分別在第幾行第幾列？ 1 2 3 4 8 7 6 5 9 10 11 12 16 15 14 13 11. 把自然數有規律地排成下表： A 1 6 7 12 B 2 5 8 11 C 3 4 9 10 (1) 到200為止，A組有幾數？(2) 73在哪一組？三位數的積？(3) C組第45個數是幾？12有10個等式： 12345678 9101112131415 第10個等式的左右兩邊的和都是多少？(上海市小學數學競賽題)第四講和差、和倍與差倍問題例1學校圖書室有520本不是故事書，有500本不是科技

16、書，已知故事書與科技書一共有700本，問圖書室里一共有多少本書？(天津市數學競賽題)解：認真分析“有520本不是故事書”和“有500本不是科技書”后悟出，原來科技書比故事書多52050020(本)，而故事書與科技書一共有700本，于是想到，如果故事書增加20本，就和科技書同樣多，所以科技書有(70020)÷2360(本)；如果科技書減少20本，就和故事同樣多，所以故事書有(70020)÷2340(本)。這樣一來，把故事書的本數和不是故事的本數合起來，就能得到圖書室共有圖書340520860(本)。當然用科技書的本數加上不是科技書的本數，也能得到總的本數。答：圖書室里一共有圖

17、書860本。在解題過程中遇到了已知兩個數的和與差求這兩個數的問題，這樣的問題叫“和差問題”。和差問題的數量關系是: (和差)÷2大數 (和差)÷2小數例2甲、乙、丙三個數的和是100, 無論甲數除以乙數還是乙數除以丙數, 都是商5余1, 求這三個數。解：如果把丙數看作1倍, 乙數就是5倍加 1, 甲數就是5倍加1的5倍加1, 即25倍加6, 所以從100中減去比整倍數多的1和6，剩下的就相當于丙數的152531倍，于是丙數是(10016)÷313, 乙數是 3×5116, 甲數是16×5181。答：甲數是81，乙數是16，丙數是3。在解題過程中

18、遇到了已知幾個數的和與倍數和，求這幾個數的問題，這類問題叫“和倍問題”。和倍問題的數量關系是：數量和÷倍數和一倍數例3李師傅某天生產一批零件，他把它們分成了甲、乙兩堆。如果從甲堆零件中拿出15個放到乙堆中，則兩堆零件的個數相等；如果從乙堆零件中拿出15個放到甲堆中，則甲堆零件的個數是乙堆的3倍。那么，甲堆原來有零件多少個？李師傅這一天共生產了零件多少個？(北京市第十二屆迎春杯數學競賽題)解：原來甲堆比乙堆多15×230(個)，乙堆給甲15個后，甲堆比乙堆多3015×260(個)，正好是乙堆的3倍，甲堆比乙堆多的部分正好是乙的312倍，所以乙堆這時有60÷

19、230(個)，原來有301545(個)零件，甲堆原來有453075(個)零件。李師傅這一天共生產了4575120(個)零件。答：甲堆原來有零件75個，李師傅這一天共生產零件120個。在解題過程中遇到了已知兩個數的差與倍數差，求這兩個數的問題，這類問題叫“差倍問題”。差倍問題的數量關系是: 數量差÷倍數差一倍數例4箱子里裝了一些乒乓球和羽毛球，乒乓球的個數是羽毛球的2倍。每次取出8個乒乓球和5個羽毛球，取了幾次以后，羽毛球沒有了，乒乓球還剩12個。乒乓球和羽毛球各有多少個？解法一：如果每次取出的乒乓球保持是羽毛球的2倍，乒乓球就不會有剩余，現在每次少取了5×282(個)，最后

20、剩下12個，說明取了12÷26(次)。羽毛球有5×630(個)，乒乓球有8×61260(個)。解法二：設取了x次。2×5x8x12x6。羽毛球有5×630(個)，乒乓球有8×61260(個)。答：乒乓球有60個，羽毛球有30個。練習四1一架照相機和它的皮套共100元，這架照相機比皮套貴90元，問皮套多少錢？(1983年美國小學數學奧林匹克競賽題)2. 已知被減數、減數與差的和是169，減數比差大15.5，減數是多少？3一個四位數, 千位數比個位數多3, 交換千位數和個位數得到另一個四位數, 已知這兩個四位數的和是14593, 原來的四

21、位數是多少?4五年級一班同學參加學校植樹活動，派男、女生共12人去取樹苗，如果男同學每人拿3棵，女同學每人拿2棵，正好全部取完；如果男、女生人數調換一下，就還差2棵不能取回。原來男女生各多少人(天津市數學競賽題)5“火樹銀花樓七層，層層紅燈倍加增，共有紅燈三八一，試問四層幾紅燈？”(第七屆“華羅庚金杯”少年數學邀請賽復賽題)6師傅和徒弟一起加工零件，每天加工的零件之和一樣多，第一天師傅加工的零件是徒弟的5倍，第二天徒弟比師傅多加工2個，如果徒弟再加工9個，那么他加工的零件就是他第一天加工的4倍。第二天師傅加工零件多少個？（吉林省第九屆小學數學邀請賽試題）7水果店出售甲、乙兩筐蘋果。甲筐比乙筐重

22、48千克。由于甲筐蘋果很受歡迎，每天賣出的數量是乙筐的2倍，4天后，兩筐蘋果的剩下的重量恰好相等。甲筐每天比乙筐多賣出多少蘋果？8盒子里有紅球和白球若干個。如果每次拿出1個紅球和1個白球，那么當拿到沒有紅球時，還剩下50個白球；如果每次拿出1個紅球和3個白球，那么當拿到沒有白球時，還剩下50個紅球。盒子里有紅球和白球各多少個？9公驢和母驢各馱著若干袋糧食趕路，母驢不知道自己身上馱了多少袋糧食，自認為比公驢馱的多，就抱怨說：“我馱的糧食太多了，幾乎要把我壓垮了。”公驢說：“你馱的并不多啊！假如從你背上拿1袋糧食給我，那么我馱的糧食袋數就是你的2倍。相反，如果從我背上拿1袋糧食給你，那么我們馱的糧

23、食袋數相等。”聽公驢這么一說，母驢算了一下，知道自己并沒有多馱，也就不再抱怨了。你知道公驢和母驢各馱了多少袋糧食嗎？10甲、乙、丙三所小學學生人數的總和為1999人，已知甲校學生人數的2倍，乙校學生人數減去3人與丙校學生人數加上4人都相等的。問：甲、乙、丙三所小學的學生人數分別是多少？(第七屆“華羅庚金杯”少年數學邀請賽初賽題) 11小明、小紅和小玲共有73塊糖，如果小玲吃掉3塊，小紅與小玲的糖就一樣多；如果小紅給小明2塊，小明的糖就是小紅的糖的2倍。那么，小紅原來有多少塊？(1995年全國小學數學奧林匹克預賽題) 12兩數相除，商4余8，被除數、除數、商、余數四數之和等于415，則被除數是多

24、少？(2002年全國小學數學奧林匹克預賽題)第五講盈虧、置換與還原問題例1買來一批蘋果，分給幼兒園大班的小朋友。如果每人分5個，那么蘋果還余32個；如果每人分8個，那么還有5個小朋友分不到蘋果。這批蘋果有多少個？(1998年全國小學數學奧林匹克預賽題)解法一：變更每人分蘋果的個數以后，蘋果從有剩余到不夠分，相差328×572(個)，這是由于每人多分了853(個)的緣故，所以幼兒園大班有小朋友72÷324(人)。如果按第一種分法，分了5×24120(個)以后，還剩32個蘋果，說明原來有蘋果12032152(個)；或者按第二種分法，只有24519(個)小朋友分到了蘋果

25、，說明蘋果的總數也是8×19152(個)。解法二：設幼兒園大班有x個小朋友。 5x328x5×8 3x72x2424×532152(個)答：這批蘋果的個數是152。 上面在解題過程中遇到了時而剩余也就是“盈”，時而不足也就是“虧”的問題，含有這類數量關系的問題, 叫做“盈虧問題”。解答盈虧問題, 關鍵是要找出兩個對應的差。如上題就是先求出兩次分蘋果的總差數和每人所分蘋果數量的差數, 再根據這兩個差數求出人數來的。例2 李老師用27.6元買了45本日記本和練習本, 日記本每本1.28 元, 練習本每本0.28元。兩種本各買了多少本?解法一: 兩種物品混在一起不好考慮

26、, 不妨假設所買的45本全是日記本, 就需要1.28×4557.6(元), 比原來多花57.627.630(元)。然后用日記本換練習本, 每換一本可以少花1.280.281(元), 直到把需要少花的錢換完, 一共換了30÷130(本)練習本, 也就是原來買了30本練習本, 買了453015(本)練習本。解法二：假設45本全是練習本, 只需要0.28×4512.6(元), 比原來少花27.612.615(元)。然后用練習本換日記本, 每換一本要多花1.280.281(元), 直到把需要多花的錢換完, 一共換了15÷115(本)日記本, 也就是原來買了15本

27、日記本, 買了451530(本)練習本。解法三：設買了x本日記本，筆記本就是45x本。1.28x0.28×(45x)27.61.28x0.28x12.627.6 x1545x451530(本)。 答：買日記本15本、練習本30本。上面在解題過程中遇到了需要置換的問題，這樣的問題叫做“置換問題”。解答置換問題, 首先要用假設的方法形成一個差, 再找到和它對應的另一個差。如上題首先從假設情況出發, 形成與實際情況總價的差, 再找到和它對應的兩種物品單價的差，才能最終解決問題。例3蘋果和梨各有若干只，如果5只蘋果和3只梨裝一袋，則還多4只蘋果時梨恰好裝完；如果7只蘋果和3只梨裝一袋，則蘋果

28、恰好裝完時，梨還多12只。那么蘋果和梨共有多少只？(1996年全國小學數學奧林匹克預賽題)解：因為兩次每袋都是裝3只梨，而第二次剩了12只梨，說明第二次比第一次少用了12÷34(個)袋子。設第一次用了x個袋子，第二次就用了x4個袋子。 (53)x4(73)×(x4)128x410x4012 2x32 x16所以，蘋果和梨共有(53)×164132(只)。答：蘋果和梨共有132只。例4在電腦中輸入一個整數，它會按如下的指令進行運算：如果輸入的是偶數，那么就把這個數除以2；如果輸入的是奇數，那么就給這個數加上3，然后對得數也同樣處理，并且要進行三次計算。如果最后的得數

29、是27，那么原來輸入的數可能是多少？解：可以倒過來想。第三次運算前的數只能數是27×254，而不會是27324，因為24是偶數，不應該進行加3的操作；第二次運算前的數可能是54×2108，或者54351；第一次運算前的數可能是108×2216，也可能是1083105，還可能是51×2102，而不會是51348，因為48是偶數，不應該進行加3的操作。所以原來輸入的數可能是216、105或102。象這樣的問題, 叫做“還原問題”。解答還原問題, 可以從最后的結果入手, 倒回去想, 根據四則運算間的互逆關系, 就能求出最初的數。練習五 1. 張老師臨下班前還在

30、為同學們批改作業, 如果每分鐘改5道題, 要晚下班4分鐘；如果每分鐘改8道題, 下班前5分鐘就可以改完。同學們的作業總共有多少道題?2一輛汽車從A地開往B地，如果每小時行80千米，則可提前0.5小時到達；如果每小時行60千米，將晚點0.5小時。問正點到達需要多少小時？A、B兩地相距多少千米？3幼兒園將一筐蘋果分給小朋友。如果分給大班的小朋友每人5個則余10個；如果分給小班的小朋友每人8個則缺2個。已知大班比小班多3個小朋友，這一筐蘋果共有多少個？4學校分配宿舍，如果每個房間住3人，則多出20人；如果每個房間住6人，則余下2人可以每人住一個房間。現在每個房間住10人，可以空出個房間。(1999年

31、哈爾濱小學數學競賽題)5. 一輛汽車參加拉力賽, 9天行了5000km。晴天平均每天行688km, 雨天平均每天行390km, 這期間有幾天是雨天?6用大、小兩臺水泵抽水，小水泵抽6小時，大水泵抽8小時，共抽水312立方米。已知小水泵5小時的抽水量等于大水泵2小時的抽水量。兩臺水泵每小時各抽水多少立方米？7小華從家到學校，步行一段路后開始跑步。他步行的速度是每分鐘30m，跑步的速度是每分鐘70m。步行時間比跑步時間多4分鐘，但是步行的距離卻比跑步的距離少200m。那么從他家到學校的距離是多少米？8學校組織學生種樹。三年級學生和六年級學生共有120人參加，三年級學生兩人種一棵，六年級學生每人種兩

32、棵，兩個年級一共種了180棵樹。問三年級和六年級各有多少人？9犀牛、羚羊、孔雀三種動物共有頭26個，腳80只，犄角20只。已知犀牛有4只腳、1只犄角，羚羊有4只腳、2只犄角，孔雀有2只腳。問犀牛、羚羊、孔雀各多少只？10. 有一個數, 先把它擴大3倍再增加100, 再縮小2倍減少36得50, 這個數是多少？1112加上24，減去20；再加上24，減去20；如此下去，至少要經過多少次運算，才能得到100？ 12. 將8個數從左到右排成一行，從第3個數開始，每個數都恰好等于它前面兩個數的和。如果第7個數與第8個數分別是81, 131，那么第1個數是多少？(1993年全國小學數學奧林匹克初賽題)第六

33、講年齡、植樹與消去問題例1姐姐現在的年齡是弟弟當年年齡的4倍，姐姐當年的年齡和弟弟現在的年齡相同，姐姐與弟弟現在的年齡和為26歲，則弟弟現在的年齡是多少歲？(2002年全國小學數學奧林匹克預賽題)解法一：因為姐姐當年的年齡和弟弟現在的年齡相同，所以姐姐現在的年齡與弟弟當年年齡的差里面，包含姐弟年齡差的2倍。而姐姐現在的年齡與弟弟當年年齡的差，又是弟弟當年年齡的413倍。據此可以畫出下面的示意圖：弟弟當姐姐當年年齡姐姐現年年齡 弟弟現在年齡在年齡姐姐現在的年齡是8份，弟弟現在的年齡是5份。弟弟現在的年齡是26÷(85)×510(歲)。解法二：設弟弟當年x歲，姐姐現在就是4x歲

34、。設姐弟年齡的差是y歲。列出方程組：4x(xy)262y3x根據, 5xy26。根據，yx。把y代入前式，得x4，于是y6。弟弟現在的年齡是4610(歲)。答：弟弟現在的年齡是10歲。象上面這樣涉及年齡的問題，叫做“年齡問題”。解答年齡問題，關鍵是要處理好年齡差，因為兩個人的年齡差是不隨時間的改變而改變的。例2小紅跟媽媽在馬路邊散步，路邊均勻地栽著一行樹，她們從第1棵樹走到第22棵樹用了7分鐘，然后她們又往前走了幾棵樹后就往回走，當她們回到第5棵樹時一共用了28分鐘，那么小紅是跟媽媽散步走到第幾棵樹時開始往回走的？解：從第1棵樹走到第22棵樹共走了22120(個)間隔，平均每分鐘走21

35、7;73(個)間隔。她們一共走了28分鐘，走了3×2884(個)間隔。這時她們走到第5棵樹，離第1棵樹還有514(個)間隔，說明如果她們走一個來回要走84488(個)間隔，這就是說，去的時候走了88÷244(個)間隔，所以她們是走到第44145(棵)樹時開始往回走的。 象上面這樣的問題, 叫做“植樹問題”。解答植樹問題的關鍵，是要處理好間隔數與棵數的關系。例3 大盒放有若干支同樣的鋼筆，小盒放有若干支同樣的圓珠筆，兩盒筆的總價相等。如果從大盒取出8支鋼筆放入小盒，從小盒取出10支圓珠筆放入大盒，必須在大盒中再添兩支同樣的鋼筆，兩盒筆的總價才相等；如果從大盒取出10支鋼筆放入

36、小盒，從小盒取出8支圓珠筆放入大盒，那么大盒內筆的總價比小盒少44元。每支鋼筆多少元？解：前一種換法說明，如果大盒少給小盒1支鋼筆，交換后兩盒筆的總價就會相等，由此得到：7支鋼筆10支圓珠筆(式)；后一種換法說明，10支鋼筆的總價比8支圓珠筆的總價多44÷222(元)，于是得到：10支鋼筆8支圓珠筆22元(式)；由式可得，1支圓珠筆0.7支鋼筆(式)；把式代入式可得，10支鋼筆5.6支鋼筆22元(式)；于是，1支鋼筆22÷(105.6)5(元)。 象上面這樣的問題, 叫做“消去問題”。解答消去問題的關鍵是, 要認真觀察已知條件, 先設法消去一種量, 使問題簡化。例4馮老師每

37、天早上做戶外運動，第一天他跑步2000m，散步1000m，共用24分鐘；第二天他跑步3000m，散步500m，共用22分鐘。如果他跑步和散步的速度不變，求馮老師跑步的速度。解法一：根據第一天的情況，如果他跑步1000m、散步500m，只要24÷212(分鐘)，再與第三天的情況對比，他跑步的速度是每分鐘(30001000)÷(2212)200(m)。解法二：根據第二天的情況，如果他跑步6000m、散步1000m，就要22×244(分鐘)，再與第三天的情況對比，他跑步的速度是每分鐘(60002000)÷(4424)200(m)。答：他跑步的速度是每分鐘200

38、m。練習六1祖父今年75歲，三個孫子的年齡分別是17歲、15歲、13歲，問：多少年后，三個孫子的年齡之和正好等于祖父的年齡？(1999年吉林省數學競賽題)2今年父親與兩個兒子年齡和相加是84歲，12年后父親的年齡正好等于兩個兒子年齡之和。父親今年多少歲？(1998湖北省黃岡市數學競賽題)3一個人2000年時的歲數正好等于他出生年份數字之和，這時他多少歲？(2000年全國奧賽預賽題)4今年小剛的3倍與小芳年齡的5倍相等，10年后小剛年齡的4倍與小芳年齡的5倍相等。小剛今年多少歲？(2001年全國小學數學奧林匹克奧賽預賽題)5兄弟倆都有點傻, 以為只有自己過一年長一歲而別人不會長大。有一天, 哥哥

39、對弟弟說：“再過5年我的年齡就是你的2倍。”弟弟說:“不對, 再過5年我和你一樣大。”這時他們倆各幾歲?6“重陽節”那天，延齡茶社來了25位老人品茶。他們的年齡恰好是25個連續自然數，并且兩年后這25位老人年齡之和又正好是2000歲。其中年齡最大的多少歲？(第五屆小學生數學報數學競賽決賽題)7今年，小明父母親年齡之和是小明的6倍。4年后，小明父母親年齡之和是小明的5倍。已知小明的父親比母親大2歲。那么，今年小明的父親多少歲？(北京市第十屆迎春杯數學競賽題)8. 在100長的河堤上每隔1m 種1棵柳樹，然后在每兩棵柳樹中間種1棵楊樹，接著在每棵楊樹和柳樹中間種1棵槐樹。那么這個河堤上一共種了多少

40、棵樹？9有一個報時鐘，每敲響一下聲音可持續3秒鐘。如果敲響6下，那么從敲響第一下到最后一下聲音結束，一共需要43秒鐘。那么如果敲響12下，從敲響第1下到第12下的聲音結束，一共需要多長時間？10有一棟樓，每層的臺階數相同。如果從第一層到第四層一共是48個臺階，那么當小紅從第一層開始到跨上第144個臺階時，她處在第幾層？(北京市第十一屆“迎春杯”數學競賽題)11科學家做一項試驗，每隔5小時做一次記錄。做第十二次記錄時，掛鐘時針恰好指向9，那么做第一次記錄時，掛鐘時針指向幾？(第一屆“華羅庚金杯”少年數學邀請賽初賽試題)12池塘的周圍栽了一些樹，小明和小紅沿同一方向繞池塘散步，邊走邊數樹的棵數。由

41、于兩人的出發點不同，因此小明數的第20棵是小紅數的第7棵；小明數的第7棵是小紅數的第94棵。那么池塘四周栽了多少棵樹？第七講綜合練習(一)1計算：(0.875×1÷6.5÷8)×1。2計算：。3計算：1×22×33×44×51999×2000。4計算。5張老師用66元錢買了紅、藍鉛筆若干支，已知藍鉛筆比紅鉛筆多30支，每支紅鉛筆0.4元，每支藍鉛筆0.8元。張老師共買了支鉛筆。6小剛進行珠算加法練習，用123，當加到某個數時，和是1000。在驗算時發現重復加了某一個數，這個數是。7有一堆黑、白棋子，黑子的

42、個數是白子的2倍。現在從這堆棋子中每次取出5枚黑子、3枚白子，取了若干次以后，白子全部取盡，黑子還剩10枚。那么原來黑子有枚，白子有枚。8幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果分給大班的小朋友，每人5個缺6個；如果分給小班的小朋友，每人4個余4個，已知大班比小班少2個小朋友。這一筐蘋果共有個。9今年父親的年齡是兒子的4倍，20年后，父親的年齡是兒子的2倍。兒子今年歲。10袋子里有若干個球，小明每次取出其中的一半再放回一個，照這樣一共做了5次，袋子里還有3個球。原來袋子里有個球。11某小學舉行一次數學競賽，共15道題，規定必須全做，每做對一道題得8分，每做錯一道題扣4分。小明共得了72分，他做對了道題

43、。12有6只盒子，每只盒子里放有同一種筆。6只盒子所裝筆的支枝數為17支、23支、33支、38支、49支、51支。在這些筆中，圓珠筆的支數是鋼筆支數的2倍，鋼筆支數是鉛筆支數的，只有一只盒子里放的是水彩筆，這盒水彩筆共有支。第八講平均數問題例 1 A、B、C、D、E五人在一次滿分為100分的考試中，得分都是大于91分的整數，而且得分各不相同。如果A、B、C的平均成績為95分，B、C、D的平均成績為94分，A是第一名，E是第三名，得96分，那么D得了多少分？解：從A、B、C的平均成績為95分，B、C、D的平均成績為94分可知，A比D多得95×394×33(分)。從第三名96分

44、可知，A得98、99或100分。(1)如果A得98分，D就是95分，B、C共得95×398187(分)，B、C只能是93分、94分，而E是第三名，得96分，這樣就沒有第二名，與題意不符；(2)如果A得99分，D就是96分，而E已得96分，也與題意不符；(3)A只能是100分，D是97分，是第二名，B、C一共得95×3100185(分)，B、C得92分、93分。 例 2 一次數學測驗，六(1)班全體平均91分，男生平均89分，女生平均92.5分，這個班有女生24人，有男生多少人？(第一屆“九章杯”數學競賽題)解法一：女生平均分比全班平均分高92.5911.5(分)，全體女生的

45、總數比按平均分計算的總分多了1.5×2436(分)，正是這部分分數提高了男生的平均分，每個男生提高了9189(分)，說明全班有男生36÷218(人)。解法二：設男生有x人。89x92.5×2491(x24)89x222091x2184 2x36x18答：全班有男生18人。例3老師在黑板上寫出了若干個從1開始的連續自然數1、2、3、，后來擦掉了其中的一個數，剩下的數平均數是10.8。被擦掉的那個數是多少？解：如果擦掉的是最小數1，那么剩下的n1個數就是：2、3、4、n，這n1個數的平均數就是(2n)×(n1)÷2÷(n1)(2n)

46、47;2；如果擦掉的是最大數n，那么剩下的n1個數就是：1、2、3、(n1)，這n1個數的平均數就是(1n1)×(n1)÷2÷(n1)n÷2。所以10.8，于是，19.6n21.6，因此n20或21。如果n20，這20個數的和就是(120)×20÷2210，擦去一個數后剩下19個數的和是10.8×19，得到一個小數，這是不可能的；如果n21，這21個數的和就是(121)×21÷2231，擦去一個數后剩下20個數的和是10.8×20216。所以擦去的數是23121615。例4圖中的“”里分別有五個

47、數A、B、C、D、E，“”里的數表示與它相連的所有“”中的數的平均數。C？(第四屆小學生數學報數學競賽題) 3 7ABCDE6解：因為左邊3個“”里面數的和是3×39，右邊3個“”里面的數的和是7×321, 5個“”里面的數的和是6×530，可以列出：ABC9CDE21 ABCDE30 觀察發現，如果把等式、相加再減去等式，得，(ABC)(CDE)(ABCDE)92130，C0。練習八1某8個數的平均數為50，如果把其中的一個數改為90，那么平均數就變成了60，問：被改動的數原來是多少？2小芳期末考試，語文、數學、自然的平均成績是93分，英語成績加入以后，平均成績

48、上升了1分。問小芳英語的成績是多少分？37個數的平均數是29，把這7個數排成一列，前3個數的平均數是25，后5個數的平均數是38。那么第三個數是多少？4有4個少先隊小隊收集廢品，甲、乙、丙3隊平均每隊收集24千克，乙、丙、丁3隊平均每隊收集26千克。已知丁隊收集28千克，甲隊收集多少千克？5六(1)班有幾個同學參加全年級數學競賽，賽后總結時，芳芳說，如果她能再做對最后那道18分的題目，他們的平均分就會達到92分；媛媛說，她險些做錯了一道6分的題目，否則他們的平均分就只有86分。這些同學共有幾個人？6科技小組有14名學生，進行小組測試時，有一名學生因病未能參加，其余學生的平均分是90分。后來這名

49、學生參加了補考，補考的成績比全組的平均成績高6.5分。這名學生補考時得了多少分？7在一次期中考試中，小明的英語成績與數學成績之和是194分，數學成績與語文成績之和是186分，語文成績與英語成績之和是180分。那么，小明的英語、數學、語文成績到底各是多少分？8有四個數，每次取出其中的三個數，算出它們的平均數，再加上另外一個數的一半，這樣計算了四次，得到的四個數分別是22、25、34、39。那么，原來四個數的平均數是多少？9有兩組數，第一組16個數的和是98，第二組的平均數是11，兩組中所有數的平均數是8，那么第二組有多少個數？(2002年全國小學數學奧林匹克決賽題)10六位同學數學考試的平均成績

50、是92.5分，他們的成績是互不相同的整數，最高分是99分，最低分是76分，則按分數從高到低居第三位的同學至少得多少分？(2002年全國小學數學奧林匹克預賽題)11六一班吳家敏同學病了，同學們折紙鶴祝她早日康復。第三小組的同學平均每人折了76只。已知每人至少折了70只, 并且其中有一個同學折了88只, 如果不把這個同學計算在內, 那么平均每人折74只。折得最快的同學最多折了多少只?12 某地舉辦足球比賽, 要求各隊在報名時必須如實填報每個隊員的年齡(周歲), 再計算出全隊的平均年齡。某隊有12名隊員,填報的平均年齡是24.78 歲, 經核查發現, 平均年齡的最后一位數字不對, 這支球隊的平均年齡

51、是多少歲?第九講行程問題 例 1 甲、乙二人在400m環形跑道上進行10000m賽跑，兩人從起點同時、同向出發，開始時甲的速度為每秒8m，乙為每秒6m，當甲每次追到乙后，甲的速度每秒減少2m，乙的速度每秒減少0.5m，這樣下去，直到甲發現乙第一次從后面追上自己開始，兩人都每秒增速0.5m，這樣一直跑到終點。那么，領先者到達終點時，另一人距離終點多少米？(吉林省第九屆小學數學邀請賽試題)解：(1)甲第一次追上乙用了400÷(86)200(秒)，這時甲跑了8×200÷4004(圈)，乙跑了6×200÷4003(圈)；(2)甲第二次追上乙用了400&

52、#247;(65.5)800(秒)，這時甲又跑了6×800÷40012(圈)，共跑了41216(圈)，乙又跑了5.5×800÷40011(圈)，共跑了31114(圈)；(3)乙第一次追上甲用了400÷(54)400(秒)，這時甲又跑了4×400÷4004(圈)，共跑了16420(圈)，乙又跑了5×400÷4005(圈)，共跑了14519(圈)；(4)乙繼續跑完全程用了(10000400×19)÷5.5436(秒)，乙同時又跑了4.5×4361963(m)，離終點還有10000400×20196336(m)。例 2 有個人沿公路步行，迎面來了一輛汽車，他問司機：“你后面有自行車嗎？”司機答道：“10分鐘前我超過一輛自行車。”這人繼續向前走了10分鐘，遇到了自行車。已知自行車的速度是步行速度的3倍，問汽車的速度是步行速度多少倍？解：畫出示意圖：步行10分鐘騎車10分鐘騎車10分鐘A D B C 汽車10分鐘設步行人在A點與汽車相遇，這時自行車在B點。10分鐘前，汽車在C點超過自行車；10分鐘后，步行人在D點與自行車相遇