1、第三章第三章 數(shù)列小結(jié)數(shù)列小結(jié)1 1數(shù)列的有關(guān)概念數(shù)列的有關(guān)概念2 2等差數(shù)列和等比數(shù)列等差數(shù)列和等比數(shù)列3 3數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列的通項(xiàng)4 4數(shù)列的和數(shù)列的和一數(shù)列的有關(guān)概念一數(shù)列的有關(guān)概念數(shù)列也可以看作是一個(gè)定義域?yàn)樽匀粩?shù)集數(shù)列也可以看作是一個(gè)定義域?yàn)樽匀粩?shù)集NN或或NN的有限子集的有限子集1 1，2 2，nn的函數(shù)當(dāng)自變的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值，量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值，通項(xiàng)公式就是這一函數(shù)的解析式。通項(xiàng)公式就是這一函數(shù)的解析式。 兩種基本數(shù)列兩種基本數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列，是高考中的必考內(nèi)容，要熟練掌握這兩種是高考中的必考內(nèi)容，要熟練掌握

2、這兩種數(shù)列數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前的定義、通項(xiàng)公式、前 n n 項(xiàng)和公式以項(xiàng)和公式以及其性質(zhì)。及其性質(zhì)。 數(shù)列是數(shù)列是按一定次序排列的按一定次序排列的一列數(shù)一列數(shù)。二等差數(shù)列和等比數(shù)列二等差數(shù)列和等比數(shù)列1. 1.通項(xiàng)公通項(xiàng)公式特征式特征)d(naan11等差數(shù)列等差數(shù)列 等比數(shù)列等比數(shù)列2.2.前前n n項(xiàng)項(xiàng)和特征和特征2)(1naaSnn ），（ 11)1 (1 qqqaSnn2) 1(1dnnnaSn ) 1( ,11 qqqaaSnn 系數(shù)系數(shù)k k就是公差就是公差 ,11nnqaabknannnkaa bnanSn 2kkaSnn 是關(guān)于是關(guān)于n n 的的不含常數(shù)項(xiàng)不含常數(shù)項(xiàng)的二次函

3、數(shù)的二次函數(shù) a a 的的n n 次冪的次冪的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反互為相反 數(shù)。數(shù)。底數(shù)底數(shù)a a就是公比就是公比 3 3性質(zhì)性質(zhì)等差數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列等比數(shù)列pknm mnaadmn mnmnaaq dmnaamn)( mnmnqaa pkmnaaaa pkmnaaaa 成成等等比比、rqpaaa成等差、rqp也也成成等等差差、nnnnnSSSSS232 也也成成等等比比、nnnnnSSSSS232 也也是是等等差差數(shù)數(shù)列列、則則是是等等差差數(shù)數(shù)列列，、若若nnnnnnbakakaba 也也是是等等比比數(shù)數(shù)列列、則則是是等等比比數(shù)數(shù)列列，、若若nnknnnnbaakaba 成成

4、等等差差、rqpaaa例例1 如果一個(gè)等差數(shù)列的前如果一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)項(xiàng)和為和為354,前前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為奇數(shù)項(xiàng)的和之比為32:27,求公差求公差.典型例題講解典型例題講解例例2:an4aa8484aa 等比數(shù)列等比數(shù)列正數(shù)，且正數(shù)，且，求求中，各項(xiàng)均為中，各項(xiàng)均為41,aaaa53106nnSSSaa，求求，中中，等等差差數(shù)數(shù)列列例例113113: nnSdaaaaaaSSn1421300211141154113 ，解解得得，由由，得得解解法法一一：由由nnSBABABABASSSaBnAnSannn14141111213913132113112

5、，解解得得，代代入入得得，由由設(shè)設(shè)是是等等差差數(shù)數(shù)列列，解解法法二二：三如何求數(shù)列的通項(xiàng)三如何求數(shù)列的通項(xiàng)歸納法歸納法( (觀察法觀察法) ) 對于數(shù)列中所給出的一些項(xiàng)對于數(shù)列中所給出的一些項(xiàng), ,逐項(xiàng)分析項(xiàng)逐項(xiàng)分析項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)數(shù)n n的關(guān)系的關(guān)系, ,由此歸納出一般的公式。由此歸納出一般的公式。 在使用這種方法時(shí)要經(jīng)常用到一些基本在使用這種方法時(shí)要經(jīng)常用到一些基本數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式，例如：自然數(shù)列、奇偶數(shù)列、自然數(shù)平方例如：自然數(shù)列、奇偶數(shù)列、自然數(shù)平方數(shù)列、倒數(shù)數(shù)列、冪數(shù)列、符號數(shù)列等。數(shù)列、倒數(shù)數(shù)列、冪數(shù)列、符號數(shù)列等。2 3 )2()1(11nSSnSannn2.2.利用前

6、利用前n n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求通項(xiàng)公式項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求通項(xiàng)公式nnnnaSSa求求出出方方法法一一：直直接接利利用用1 nnnnnnnnaSSSaSSa，再求的遞推關(guān)系式，求出與，得出消去方法二：利用11nnnnaNnanSa，求求滿滿足足：已已知知例例)(21 1) 1( 22211111 aanSaSanSnnnn，nnnaaa 112相相減減得得：解：解：111212212)2(21)2(121 nnnnnnnaaaaaa為為公公比比的的等等比比數(shù)數(shù)列列是是以以nnnnaanSSa，求求，：已已知知例例1)2(122212 )2(12212 nSSSSannnnn解：解：1122222

7、 nnnnnnSSSSSS2111 nnSS整整理理得得： ) 2( ,) 32)(12(2) 1(11212) 1(1111nnnSSnSanSnSnnnnn； 3 3累加累加/ /乘法。乘法。 型型)(1nfaann （疊加）（疊加）型型)(1nfaann （疊乘）（疊乘）型型，) 01(1 qpqpaanntaptattaptannn 11)(，首首項(xiàng)項(xiàng)為為其其公公比比為為為為一一等等比比數(shù)數(shù)列列，可可得得求求出出可可設(shè)設(shè)nnnnaaaa，求求，已已知知 21111121111223112121212121212121 nnnnnnnnaaaaaaaaaa相相加加得得例例:nnnnaaa

8、a，求求，已已知知2111 1122311212,2,22 nnnnnnaaaaaaaa1211222 nnaa相乘得相乘得2)1(12122 nnn例例: 4 4利用遞推關(guān)系，構(gòu)造新數(shù)列。利用遞推關(guān)系，構(gòu)造新數(shù)列。 型11nnnppaa型111nnnpaaa型型，) 01(1 qpqpaanntaptattaptannn 11)(，首首項(xiàng)項(xiàng)為為其其公公比比為為為為一一等等比比數(shù)數(shù)列列，可可得得求求出出可可設(shè)設(shè) nnnnaNnnaaaa，求，中，例：在)2( 43111為為首首項(xiàng)項(xiàng)的的等等比比數(shù)數(shù)列列以以為為公公比比是是以以2,32)2( 3)2(11 aaaannn24223311 ttta

9、atatannnn，解解得得令令得得：）（設(shè)設(shè)：233321 nnnnaa得：得：返回例例. .已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的遞推關(guān)系為的遞推關(guān)系為a an+2n+2-2a-2an+1n+1+a+an n=4=4，且，且a a1 1=1,a=1,a2 2=3=3，求通項(xiàng)公式求通項(xiàng)公式aan n 。解：解： 4212nnnaaa4)()(112nnnnaaaa令令b bn n=a=an+1n+1-a-an n則數(shù)列則數(shù)列bbn n 是公差為是公差為4 4的等差數(shù)列。的等差數(shù)列。 2) 1(1211aabdnbbn241naabnnn21412 aa22423 aa23434 aa2) 1(41n

10、aann兩邊分別相加得兩邊分別相加得： ) 1( 2)1(321 41nnaan3422nnan四數(shù)列的和四數(shù)列的和1 1裂項(xiàng)求和裂項(xiàng)求和3 3錯(cuò)位相減錯(cuò)位相減2 2分組求和分組求和 數(shù)列求和數(shù)列求和, ,一是把一個(gè)未知的數(shù)列變成若干一是把一個(gè)未知的數(shù)列變成若干個(gè)已知的數(shù)列個(gè)已知的數(shù)列, ,利用公式求和利用公式求和; ;二是把數(shù)列整二是把數(shù)列整理化簡理化簡, ,使某些項(xiàng)相約、相消使某些項(xiàng)相約、相消, ,成為關(guān)于成為關(guān)于n n的一的一個(gè)代數(shù)式。歸納起來個(gè)代數(shù)式。歸納起來, ,常用的方法有如下幾種。常用的方法有如下幾種。4 4倒序相加倒序相加1 1裂項(xiàng)相消裂項(xiàng)相消)12)(12()2(534312:222 nnnSn求求例例 121121211)12)(12(11nnnnan12)1(21211211211217151513131121 nnnnnnnnSn分組求和分組求和nSn 21321211例例：求求）（）（）（解解：nSn 21321211)(212)1(212nnnnn 考考慮慮到到：）（